超級超圖神經網絡與多元生圖神經網絡：理論基礎

超級超圖神經網絡與多元生圖神經網絡：理論基礎

Superhypergraph Neural Networks and Plithogenic Graph NeuralNetworks: Theoretical FoundationsNetworks: Theoretical Foundations

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第 17 章 超級超圖神經網絡與多元生圖神經網絡：理論基礎

摘要：

超圖通過允許邊連接多個節點來擴展傳統圖，而超級超圖則進一步泛化這一概念，以表示更復雜的關系。

神經網絡受生物系統啟發，廣泛用于模式識別、數據分類和預測等任務。圖神經網絡（GNNs）作為一個成熟的框架，最近已被擴展為超圖神經網絡（HGNNs），其性質與應用正被積極研究。

多元生圖框架通過整合多值屬性以及隸屬度函數與矛盾函數，增強了圖的表示能力，從而實現了對復雜關系的精細建模。在處理不確定性方面，模糊圖與中性圖等概念已獲得廣泛關注。眾所周知，多元生圖是模糊圖與中性圖的泛化。此外，模糊圖神經網絡已被提出，并成為一個活躍的研究領域。

本文建立了超級超圖神經網絡（SHGNNs）與多元生圖神經網絡的理論基礎，將神經網絡的適用性擴展至這些高級圖結構。盡管本文提出了數學泛化與證明，但未來的計算實驗仍有待開展。

關鍵詞：超圖，超級超圖，神經網絡，中性圖，模糊圖 MSC2010（2010 年數學學科分類）：05C65 - 超圖，05C82 - 圖論及其應用，03E72 - 模糊集理論

1 引言

1.1 超圖與超級超圖

圖論作為數學的一個關鍵領域，專注于理解由頂點（節點）和邊（連接）組成的網絡 [100, 102]。這些數學結構有效地建模了元素之間的關系、依賴性和轉換，使其成為跨各個領域的通用工具 [45, 58, 95, 156]。

圖論的基礎重要性推動了其在眾多學科中的發展和應用，包括：

? 計算科學：圖在電路設計和優化計算工作流中至關重要，正如最近關于基于圖的優化技術的研究中所強調的那樣 [40, 41, 405]。

? 化學和生物學：化學圖論對分子結構和相互作用進行建模 [42, 380]，而生物信息學利用圖來研究蛋白質結構和基因相互作用 [6, 373, 377]。

? 項目管理：圖被用于分析工作流和依賴關系，促進項目管理框架中的高效資源分配和調度 [202, 296, 368]。

? 概率建模：貝葉斯網絡采用圖結構來表示隨機變量之間的條件依賴性 [277, 418]。

? 圖數據庫：現代數據存儲和檢索系統越來越依賴圖數據庫，因為它們能夠有效建模復雜關系 [21, 22, 31, 141, 166, 261, 304]。

超圖是傳統圖的泛化，擴展并抽象了圖論中的概念 [51,60,152,153,164]。超圖在機器學習、生物學、社會科學和圖數據庫分析等領域有著廣泛的應用（例如，[69,85,139,187,232,403,427,443]）。從集合論的角度來看，超圖可以被視為其頂點集的冪集，而不會有誤解的風險。

超級超圖（SuperHyperGraph）的概念最近作為超圖的一種更一般的擴展而出現，產生了類似于超圖研究中的實質性研究興趣 [126,130,340]。在該領域已經進行了大量的研究 [122,126,128,130,170,171,340,341,343,346,351]。

超級超圖是超級超結構（Superhyperstructure）的一種類型。它可以被視為應用于圖的 n 次冪集（n-th-Power Set）[331] 概念的擴展。超級超結構和 n 次冪集的定義如下所示。

超級超結構的其他例子包括超級超代數 [197, 198, 212, 213, 221, 299, 300, 331, 342]、超級超拓撲 [348, 349, 358, 407, 422]、超級超函數 [345, 350] 以及超級超軟集 [126, 127, 265, 347, 360]，所有這些在該領域都廣為人知。因此，從數學和實踐的角度來看，對超圖和超級超圖的研究都具有重要意義。作為參考，超級超圖之間的關系如圖 1 所示。

1.2 圖神經網絡

本子節提供了圖神經網絡的概述。近年來，機器學習（參見 [28, 186, 273, 304, 405, 419]）、人工智能（參見 [5, 34, 321, 374]）和大數據（參見 [49, 79, 200, 257]）等領域獲得了顯著的關注。本文專注于在這些領域中發揮關鍵作用的神經網絡。

神經網絡是一種受生物神經系統啟發的計算模型，旨在用于模式識別、數據分類和預測等任務 [20, 25, 46, 223, 393, 411, 412]。在此基礎上，圖神經網絡 (GNN) 將神經網絡擴展到圖結構，使得能夠對節點、邊及其相關特征之間的關系進行建模 [94, 205, 269, 297, 316, 324, 386, 404, 429, 440, 447]。

基于這一概念，超圖神經網絡 (HGNNs) 通過利用超邊來捕捉同時涉及多個節點的高階關系，從而擴展了傳統的圖神經網絡 (GNNs) [70, 115, 181, 183, 204, 369, 401]。相關概念包括超網絡 (Hypernetworks)，已在 [76, 167, 225, 363, 388] 等工作中得到廣泛研究。此外，基于有向圖的網絡，如有向圖神經網絡 [177–179, 325, 450]，以及基于混合圖結構的網絡，如混合圖神經網絡 [163]，也廣為人知。

鑒于這些領域研究的廣泛應用，對圖神經網絡的研究至關重要。

1.3 不確定圖

模糊集的概念于 1965 年被引入 [430]。模糊集為解決現實世界中的不確定性提供了一個框架，并已應用于包括圖論、代數、拓撲和邏輯在內的各個領域。此外，模糊集的擴展，如中性集（neutrosophic sets）[332,334]，已被開發出來以處理甚至更復雜形式的不確定性。

這些處理不確定性的概念與實際應用高度兼容 [47,208,235,263,270,278,322]。例如，中性集通過引入三個隸屬度——真（truth）、 indeterminacy（indeterminacy）和假（falsity）——來擴展模糊集，使它們在信息不完整或沖突的場景中特別有價值。應用包括：

• 醫療決策（Healthcare Decision-Making）： 當數據不完整或矛盾時，中性集通過平衡有效性（真）、不確定性（ indeterminacy）和風險（假）來協助評估治療方案 [29,196]。
• 社交網絡分析（Social Network Analysis）： 它們在社交網絡中建模用戶之間的關系，如信任、懷疑和分歧 [108,253,309,382]。
• 工程故障診斷（Fault Diagnosis in Engineering）： 中性集通過考慮不確定和沖突的診斷證據來識別機械系統中的故障（參見 [155,226,326]）。
• 市場分析（Market Analysis）： 企業利用它們來分析客戶偏好，整合正面反饋（真）、模糊響應（ indeterminacy）和負面反饋（假）[43,264,312]。

本文考察了各種不確定圖模型，包括模糊圖、直覺模糊圖、中性圖和多元生圖（Plithogenic Graphs）。這些模型通過引入不確定性程度擴展了經典圖論，從而能夠對模糊和復雜的關系進行更細致的分析 [120,121,123–127,129,131,132]。

不確定圖模型的例子包括以下內容：

• 模糊圖（Fuzzy Graph）： 模糊圖利用隸屬函數來表示頂點和邊中的不確定性，從而實現更靈活的關系建模 [8,10,12,274,306]。
• 中性圖（Neutrosophic Graph）： 中性圖通過為頂點和邊引入真、 indeterminacy 和假程度來擴展模糊圖，提供更豐富的數據表示 [26,63,192,272,371,372,420]。眾所周知，中性圖可以泛化模糊圖。
• 多元生圖（Plithogenic Graph）： 多元生圖框架利用隸屬函數和矛盾函數對具有多值屬性的圖進行建模，提供復雜關系的詳細表示 [121,338,357]。人們廣泛認為多元生圖可以泛化中性圖。

這些概念，包括基于集合的方法，被應用于決策 [18] 以及神經網絡 [24,112,113,416,442] 和機器學習 [96,142,238,246] 中。這突顯了研究與不確定圖相關概念的重要性。

作為參考，不確定圖之間的關系如圖 2 所示（參見 [126]）。由于圖 2 是一個高度簡化的圖表，鼓勵讀者如有需要參考文獻（如 [126]）以獲取更多細節。

1.4 我們的貢獻

本子節突出了我們工作的關鍵貢獻。雖然針對超圖的圖神經網絡（GNNs）已被廣泛研究，但之前的研究尚未探索專為超級超圖量身定制的 GNNs 的開發。

在本文中，我們引入了超級超圖神經網絡（SHGNN），這是超圖神經網絡的數學擴展，利用了超級超圖的獨特結構屬性。此外，我們考察了不確定圖神經模型，例如中性圖神經網絡和多元生圖神經網絡，它們解決了類似的挑戰。重要的是，我們證明了中性圖神經網絡和多元生圖神經網絡都作為模糊圖神經網絡的數學泛化。 這項工作本質上是理論性的，專注于建立 SHGNNs 和 PGNNs 的數學框架。它不包含計算實驗或實際實現。因此，我們希望專家和讀者將來能進行計算實驗。對于精確的定義和詳細的符號，鼓勵讀者參考相關文獻，例如 [115]。

在本文中，我們對圖神經網絡之間的關系進行了理論考察，如圖 3 所示。該圖表說明箭頭起始處的概念被包含在（并被泛化為）箭頭指向處的概念。

雖然與前面討論的圖神經網絡沒有直接關系，但本文還探討了超圖理論中的幾個擴展概念，包括多級 k 路超圖劃分、超級超圖隨機游走和超級超圖 Turán 問題。由于這些調查僅限于理論考慮，希望將來能根據需要開展計算實驗和實際驗證。

2 預備知識與定義

在本節中，我們簡要概述了本文通篇使用的定義和符號。雖然我們力求使內容對不同背景的讀者都具有可讀性，但無法全面涵蓋所有相關細節。鼓勵讀者根據需要參考所引用的文獻以獲取更多信息。

2.1 基本圖概念

本子節概述了基礎的圖概念。為了全面理解圖論和符號，請參考 [100–102, 158, 406]。此外，在討論圖論時，通常會使用基本的集合論概念。鼓勵讀者根據需要參考 [117, 182, 201, 389] 等文獻。

2.1 基本圖概念

本子節概述了基礎的圖概念。為了全面理解圖論和符號，請參考 [100–102, 158, 406]。此外，在討論圖論時，通常會使用基本的集合論概念。鼓勵讀者根據需要參考 [117, 182, 201, 389] 等文獻。

2.2 | 算法復雜性的基本定義

本子節介紹了用于分析后續部分中描述的算法的基本定義。

定義 2.7 (算法)。[320] 算法是逐步的、定義明確的程序或規則，用于解決問題或執行任務，通常在計算中實現。

定義 2.8 (時間復雜性)。(參見 [283, 320]) 算法的時間復雜性是執行它所需的計算時間總量，表示為輸入大小的函數。設 T ( n , m )
表示大小為 n 和 m 的輸入的時間復雜性。總時間復雜性定義為：

2.3 | 基本圖神經網絡概念

以下是圖神經網絡（GNNs）的幾個定義。讀者可參考講義或引言以獲取更多細節（參見 [3, 94, 111, 205, 269, 297, 316, 324, 415, 440]）。

定義 2.11. (參見 [32,135,260]) 矩陣是一個矩形數組，由數字、符號或表達式組成，排列成行和列。形式上，一個 m × n 矩陣 A 定義為：

例 2.22（圖卷積網絡）。設想一個社交網絡（參見 [319]），其中每個人（節點）都有一個屬性，例如他們對特定主題的興趣（例如，體育、音樂或技術）。節點之間的邊代表人與人之間的關系或友誼。每個人還有初始屬性（節點特征），例如代表他們對這些主題興趣的分數。

GCN 的目標是通過將他們自己的特征與來自他們朋友（相鄰節點）的信息相結合，來預測一個人的整體興趣概況。

通過堆疊這個過程的多個層，每個節點對其在圖中更廣泛的鄰域獲得更全面的理解。例如，在兩層之后，一個人的概況不僅反映他們直接朋友的興趣，還反映他們朋友的朋友的興趣。

這個過程使得 GCN 能夠有效地在圖結構上學習和傳播信息，使它們成為節點分類、圖分類和鏈接預測等任務的強大工具。

2.4 超圖概念

超圖通過允許稱為超邊的邊連接任意數量的頂點，而不是僅限于成對連接，從而擴展了傳統圖的概念 [51,140,152–154]。這種靈活性使得超圖在各個領域（如計算機科學和生物學）中對建模復雜關系非常有效 [114,148,195,294]。形式化定義如下所示。

2.5 | 超級超圖

超級超圖是一種高級結構，通過允許頂點和邊成為集合來擴展超圖。定義如下所示 [340, 341]。

2.7 | 不確定圖

模糊集的概念大約于半個世紀前被引入，推動了旨在建模不確定性的各種圖論的發展 [430]。在本節中，我們概述了幾種框架的定義，包括模糊圖、直覺模糊圖、中性圖和單值五劃分中性圖。

模糊圖經常在清晰圖的背景下進行分析 [121]。為了提供基礎，我們首先給出清晰圖的定義 [121]。

我們提供了應用于實際場景的模糊圖和中性圖的例子。這些例子證明了不確定圖以其能夠對現實世界中的各種現象進行建模而聞名 [7, 18, 64, 160, 192, 329]。

例 2.38（模糊圖：具有不同友誼強度的社交網絡）。考慮一個社交網絡，其中個體根據他們的友誼進行連接，且具有不同的強度（參見 [248, 252, 310, 402]）。這可以使用模糊圖來建模，其中頂點代表個體，邊代表具有不同強度程度的友誼。

愛麗絲在網絡中高度活躍，頻繁參與，而戴夫是最不活躍的。愛麗絲和鮑勃有著深厚的友誼，而卡羅爾和戴夫的連接較弱。 該模糊圖通過對關系強度和活動水平的變化進行建模，允許對社交網絡進行細致的分析，有助于社區檢測或推薦系統等任務（參見 [71, 93, 409, 413]）。

例 2.39（中性圖：具有不確定性的疾病傳播網絡）。在流行病學中，了解疾病在人群中的傳播至關重要。中性圖可以對感染狀態和傳播概率中的不確定性進行建模（參見 [4, 270, 328]）。

2.8 | 模糊圖神經網絡 (F-GNN)

在本子節中，我們介紹模糊圖神經網絡 (F-GNN) 的概念。模糊圖神經網絡 (F-GNN) 是一種圖推理模型，結合了模糊邏輯和圖神經網絡 (GNNs) 的原理。它專門設計用于處理圖結構信息內的模糊和不確定數據（參見 [78, 116, 162, 224, 295, 392, 439, 442]）。下面，我們展示 F-GNN 的形式化定義。

定義 2.43. [104] 一個 F-GNN 被定義為一個五元組：

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