巧思秒通選擇壓軸——反比例函數小綜合

巧思秒通選擇壓軸

反比例函數小綜合

在2022版新課標中，對反比例函數內容要求如下：

①結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式；

②能畫反比例函數的圖象，根據圖象和表達式y=k/x(k≠0)探索并理解k>0和k<0的圖象的變化情況；

③能用反比例函數解決簡單實際問題；

關于反比例函數的圖象——雙曲線，2013版教材中有一個信息技術應用內容，如下圖：

其實這條性質在學生畫雙曲線的時候，可以直觀感受到，結合幾何畫板的探索，更加深了印象，有時在解題過程中想起它，效果出奇地好。

題目

如圖，在直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A，C分別在x、y軸上，反比例函數y=k/x(k≠0,x>0)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M，N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM，ON，MN。下列結論：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若∠MON=45°，MN=2，則點C的坐標為(0,√2+1)，正確的有（ ）

A、4個 B、3個 C、2個 D、1個

解析：

根據反比例函數的對稱性及正方形的對稱性，不妨將其公共對稱軸作出來觀察，如下圖：

①點A、C關于直線y=x軸對稱，點M、N也關于直線y=x軸對稱，則△CON與△OAM也關于它軸對稱，因此△CON≌△OAM；

②容易得到ON=OM，而不一定與MN相等，因此這個結論是錯誤的；

③借助第一個結論中的全等，再加上矩形ODNC中，對角線ON將它分成兩個全等的三角形，于是可得到△NDO≌△OAM，如下圖：

將這兩個三角形的重疊部分減掉，剩下部分面積相等，并將藍色部分替換成紅色部分，即梯形DAMN變成了△MON；

④若MN與直線y=x相交于點E，如下圖：

依然由這個組合圖形的軸對稱性，∠COB=45°，∠NOE=1/2∠MON=22.5°，于是∠CON=22.5°，在等腰△MON中，OE是其底邊上的中線、高，則∠OEN=90°，易得E、C關于ON軸對稱，CN=EN，同理AM=EM；

接下來就容易計算了，△BMN是等腰直角三角形，于是BN=BM=√2，而點E是MN中點，則EN=EM=1，于是AM=1，得到正方形邊長AB=√2+1，則點C(0,√2+1).

解題思考

實際解題過程中，有不少學生不自覺用“解析法”，將正方形頂點用參數表示，然后再去計算點坐標、線段長度和圖形面積，較為復雜，作為選擇題壓軸題，通常都會有一定技巧，這些技巧的來源則是對基礎概念的理解，以及對函數、幾何圖形的性質的熟練運用，只有深入理解以上內容，才有可能在解答過程中游刃有余。