概率超圖和概率超超圖綜述
Review of Probabilistic HyperGraph and ProbabilisticSuperHyperGraph
https://sor-journal.org/index.php/sor/article/view/51/44
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摘要
不確定性遍布許多現(xiàn)實世界網(wǎng)絡(luò),然而現(xiàn)有的模型,如概率圖和超圖,僅捕捉成對或固定階的交互。我們引入了概率 n-超超圖(Probabilistic n-SuperHyperGraphs)的新概念,它通過在多個冪集層級上向“超級邊”分配概率,統(tǒng)一了嵌套的高階關(guān)系與邊級不確定性。我們提出了一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问娇蚣埽茖?dǎo)了基本性質(zhì)——包括度數(shù)和恒等式以及在子結(jié)構(gòu)下的封閉性——并表明我們的模型將經(jīng)典概率圖和超圖作為特例包含在內(nèi)。這些結(jié)果為更具表達力和可擴展性的方法鋪平了道路,以用于跨越不同應(yīng)用領(lǐng)域的復(fù)雜、充滿不確定性系統(tǒng)的建模和分析。
關(guān)鍵詞:超超圖,超圖,概率超圖,概率超超圖,概率圖,概率
- 預(yù)備知識
本節(jié)提供了對本論文討論至關(guān)重要的基本概念和定義的概述。在整個論文中,所有集合和結(jié)構(gòu)均假設(shè)為有限的。除非另有說明,符號 n 表示一個非負整數(shù)。
1.1 超超圖
圖論研究圖的性質(zhì)和應(yīng)用,圖是由邊連接的頂點結(jié)構(gòu),用于建模關(guān)系和現(xiàn)實世界網(wǎng)絡(luò) [1, 2]。在經(jīng)典圖論中,超圖通過允許邊(稱為超邊)連接兩個以上的頂點,擴展了傳統(tǒng)圖的概念。這種更廣泛的框架使得能夠?qū)υ刂g更復(fù)雜的關(guān)系進行建模,從而增強了其在各個領(lǐng)域的實用性 [3–6]。超超圖是超圖概念的高級擴展,將遞歸冪集結(jié)構(gòu)整合到經(jīng)典模型中。這一概念最近被引入并在文獻中得到了廣泛研究 [7–13]。包括相關(guān)概念,我們在下面描述它們。
定義 1.1(基集)。基集 S 是衍生出冪集和超結(jié)構(gòu)等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)集合。其形式化定義為:
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1.2 概率圖和概率超圖
概率量化了基于系統(tǒng)中的隨機性或不確定性而事件發(fā)生的可能性 [22–27]。概率圖是一種圖,其中每條邊都帶有一個關(guān)聯(lián)的概率,反映頂點之間連接的不確定性,從而使得概率網(wǎng)絡(luò)分析成為可能 [28–31]。概率超圖是一種超圖,其中每條超邊都帶有一個關(guān)聯(lián)的概率,反映多頂點關(guān)系的不確定性,從而使得高階網(wǎng)絡(luò)的概率建模成為可能(參見 [32–35])。
定義 1.9(概率圖)。(參見 [28–31])概率圖是一個三元組:
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- 結(jié)果:概率 n-超超圖
概率 n-超超圖將概率超圖擴展至嵌套冪集層級,通過向 n 級超級邊分配概率,以用于復(fù)雜的層級不確定性建模(參見[36])。
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例 2.2(概率 2-超超圖的現(xiàn)實世界示例:智能建筑傳感器網(wǎng)絡(luò))。考慮一座配備了多個無線傳感器的智能建筑。我們將該層級結(jié)構(gòu)建模如下:
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例 2.3(概率 2-超超圖的現(xiàn)實世界示例:基因-通路-超通路網(wǎng)絡(luò))。 考慮一個生物網(wǎng)絡(luò),其中單個基因形成通路,而通路反過來形成更高階的“超通路”。我們通過以下方式將其建模為概率 2-超超圖:
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- 結(jié)論與未來工作
在本文中,我們對概率 n n -超超圖的數(shù)學(xué)性質(zhì)進行了簡潔的研究,并討論了它們在推進概率網(wǎng)絡(luò)建模領(lǐng)域方面的潛力。作為未來工作,我們打算通過結(jié)合額外的不確定性處理范式來擴展此框架,例如模糊集 [37, 38]、粗糙集 [39]、直覺模糊集 [40]、雙極模糊集 [41, 42]、超模糊集 [43, 44]、猶豫模糊集 [45]、圖片模糊集 [46]、中性集 [47, 48] 和 Plithogenic 集 [49, 50]。我們還旨在探索使用諸如超概率和超超概率 [22, 24] 等概念進行進一步推廣,這可能為建模復(fù)雜概率結(jié)構(gòu)提供一個更全面的框架。
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