特魯謝瓷磚：從組合數(shù)學(xué)的圖形處理到密鋪的法則

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1704 年，法國神父塞巴斯蒂安·特魯謝發(fā)表了一篇題為 “關(guān)于組合的備忘錄”（Mémoire sur les Combinaisons）的短文，研究了一組正方形瓷磚的可行圖案，每塊瓷磚都被對角分割成兩個彩色三角形（特魯謝，1704 年；萊曼，2009 年）（圖 1）。他研究了 “組合數(shù)學(xué)的圖形處理”，這在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界基本上是革命性的（Smith 和 Boucher，1987 年）。1987 年，C.S. Smith 發(fā)表了《塞巴斯蒂安·特魯謝的密鋪模式和結(jié)構(gòu)層次拓?fù)鋵W(xué)》一文，分析了特魯謝的密鋪模式，并提出了現(xiàn)在公認(rèn)的特魯謝原始密鋪模式的變體（Smith 和 Boucher，1987 年）。在這一變體中，史密斯在對角線上使用了弧線，取代了特魯謝原始拼塊中的兩個三角形。每個四分之一圓弧的中點(diǎn)都將正方形拼塊的邊緣一分為二，這樣當(dāng)拼塊相鄰排列時(shí)，圓弧就會相遇，形成一組相連的圓弧（圖 2）。拼塊的旋轉(zhuǎn)特性允許多種拼塊排列方式。本研究利用史密斯對特魯謝拼塊的變體（以下稱為“特魯謝拼塊”）作為特魯謝拼塊法則的基礎(chǔ)。

圖1：塞巴斯蒂安·特魯謝的原始拼塊：a特魯謝的雙色拼塊，b兩塊拼塊的可能組合，c 拼塊圖案示例。拼塊重繪自（Smith 和 Boucher，1987 年）

圖2：C.S. Smith 的 “特魯謝拼塊”：（a）特魯謝拼塊，（b）兩塊拼塊的可能組合，（c）拼塊圖案示例。拼塊重繪自（Smith 和 Boucher，1987 年）

組合數(shù)學(xué)的圖形處理和形狀法則

特魯謝之所以希望探索組合問題的視覺方面，是因?yàn)樗^察了一堆有對角線分割的瓷磚，并想象如何用一塊瓷磚實(shí)現(xiàn)各種視覺上悅目的圖案。史密斯指出，雖然特魯謝在他的論文中計(jì)算的所有關(guān)系都可以用簡單的組合數(shù)學(xué)來表示，但視覺展示對許多人來說更有意義，它捕捉到了藝術(shù)家使用的一些規(guī)則，“無論他們是否意識到這些規(guī)則”（史密斯和鮑徹，1987 年）。特魯謝的興趣在于使用可視化表示來計(jì)算可能的瓷磚排列，然后將這些空間關(guān)系作為生成瓷磚圖案系列的基礎(chǔ)，這與形狀法則論述的雄心壯志不謀而合。本研究利用這種共同的興趣，研究形狀法則如何使我們對特魯切瓷磚及其在設(shè)計(jì)中的可能應(yīng)用的理解正規(guī)化并加以擴(kuò)展。在史密斯對特魯謝拼塊的拓?fù)鋵W(xué)研究（史密斯和鮑徹，1987年）的基礎(chǔ)上，本研究使用形狀規(guī)則來設(shè)計(jì)特魯謝拼塊的其他變體。

形狀規(guī)則是形狀法則的基本組成部分，而形狀法則是對設(shè)計(jì)進(jìn)行生成描述的最強(qiáng)大的形式主義之一（Stiny 和 Gips 1972; Stiny 1980a, 2006; Knight 1994）。形狀規(guī)則的一般書寫形式為 A→B，其中形狀A(yù)（有時(shí)包含在規(guī)則應(yīng)用的設(shè)計(jì)環(huán)境中）用形狀B代替。形狀法則是一組連續(xù)應(yīng)用的形狀規(guī)則，用于生成設(shè)計(jì)，形狀規(guī)則中描述的視覺計(jì)算直接對點(diǎn)、線、平面和體積進(jìn)行操作。斯坦尼（1977: 89-98）的冰射線法則展示了如何將形狀法則應(yīng)用于研究裝飾格子設(shè)計(jì)的參數(shù)結(jié)構(gòu)，以及具有可觀察到的周期性或規(guī)則性結(jié)構(gòu)的更簡單圖案，這與特魯謝論文中的研究不謀而合。斯坦尼的簡單格子圖案和特魯謝的組合拼貼系統(tǒng)的關(guān)鍵設(shè)計(jì)操作都是單個圖案和單個拼塊的方向，這為將特魯謝的邏輯轉(zhuǎn)化為基于規(guī)則的規(guī)范提供了一個起點(diǎn)。本研究采用形狀法則生成特魯謝拼塊的變體，以描述二維和三維生成式拼塊系統(tǒng)，從而完成了這項(xiàng)工作。請注意，在這種法則中，形狀并不融合，而是被定義為“集合法則”，例如 Stiny 為幼兒園積木物理游戲定義的法則（Stiny 1980b）。

特魯謝拼塊法則

特魯謝拼塊法則由三套規(guī)則組成：（1）二維拼塊規(guī)則；（2）二維圖案規(guī)則；（3）三維拼塊規(guī)則。根據(jù)設(shè)計(jì)意圖，這些規(guī)則集可以單獨(dú)使用，也可以按順序連續(xù)使用。

二維拼塊規(guī)則

第一套形狀規(guī)則用于生成根植于特魯謝拼塊邏輯的二維拼塊。雖然史密斯最初的“特魯謝拼貼法”完全基于正方形，但其中的通用規(guī)則擴(kuò)展了“特魯謝拼貼法”的拼貼邏輯，納入了其他可以拼貼平面的正多邊形和不規(guī)則多邊形，并引入了更多拼貼變化。法則以初始形狀規(guī)則開始，該規(guī)則用于在笛卡爾平面上的多邊形上放置標(biāo)簽。然后，由和運(yùn)算和一般變換組成的形狀規(guī)則被遞歸應(yīng)用。生成的每塊瓷磚都是一個封閉的形狀，對角線上有弧線；弧線的程度由參數(shù)變量控制（中心點(diǎn)：（x0，y0）；半徑：r0）。色域被用作權(quán)重（Knight，1989 年；Stiny，1992 年），以區(qū)分拼塊的特定區(qū)域，在此階段使用這一慣例來生成一對具有互補(bǔ)色域的反向拼塊。這些權(quán)重隨后將用于為法則中的三維拼塊規(guī)則參數(shù)提供信息。圖3展示了使用規(guī)則生成二維正方形特魯謝拼塊的推導(dǎo)示例。

圖3：使用二維拼塊規(guī)則產(chǎn)生正方形拼塊的樣本推導(dǎo)

二維圖案規(guī)則

二維圖案規(guī)則用于創(chuàng)建基本的貼磚配置，然后在基本圖案中放置特定的瓷磚圖案。根據(jù)特魯謝拼塊的性質(zhì)，形狀規(guī)則在生成二維拼塊配置時(shí)利用了旋轉(zhuǎn)和折射。這些規(guī)則同樣利用權(quán)重和標(biāo)簽來指定方向，并區(qū)分使用前一組規(guī)則生成的兩對拼塊。二維圖案規(guī)則可以由 x → x + t(x) 和 x → x + t (x‘) 兩種模式定義，在這兩種模式中，一個拼塊的平移版本或一個拼塊的平移和倒置版本會被復(fù)制到該拼塊的鄰近位置。圖4顯示了六種二維圖案，它們是使用相同的二維密鋪配置（如左圖所示）生成的，其中不同的正方形特魯謝拼塊是使用上一組規(guī)則中的二維拼塊規(guī)則生成的。

圖4：采用不同二維特魯謝拼塊的二維拼塊配置示例

三維拼塊規(guī)則

三維拼塊規(guī)則以各種方式將二維拼塊轉(zhuǎn)換為三維拼塊。參數(shù)形狀規(guī)則用于控制單個拼塊不同區(qū)域的深度，這些區(qū)域之前已指定了顏色權(quán)重。生成的三維拼塊可以以不同的圖案和深度組合在一起，生成三維圖案。圖5顯示了基于圖4所示二維拼塊配置的六種三維圖案。圖中的拼塊是利用規(guī)則生成的，這些規(guī)則通過擠壓將二維拼塊轉(zhuǎn)化為三維拼塊。

圖5：使用不同三維特魯謝拼塊的三維圖案樣本

結(jié)論

本文介紹的特魯謝拼塊法則是一個用于設(shè)計(jì)二維和三維拼塊和圖案的生成系統(tǒng)。在他的“組合學(xué)圖形處理”中，特魯謝定義了組合二維拼塊生成各種抽象圖案的視覺關(guān)系（史密斯和鮑徹，1987 年）。本文概述的特魯謝拼塊法則以特魯謝的視覺符號為基礎(chǔ)，同時(shí)定義了二維圖案規(guī)則，并將其擴(kuò)展到拼塊幾何、形狀和三維方面的更多變化。圖6舉例說明了一些二維和三維拼塊，以及使用該法則可以生成的圖案。請注意，推導(dǎo)并不局限于這些示例。該法則為生成二維和三維拼塊和圖案提供了一個開放式框架。

圖6：設(shè)計(jì)變化：a 二維拼塊樣本，b 二維圖案樣本，c 三維拼塊樣本

特魯謝拼塊法則適用于各種設(shè)計(jì)場景。該法則可用于設(shè)計(jì)和制造地板磚和墻板，例如Worre Foged和Scafdi（2022：101-110）設(shè)計(jì)的隔音板，只需一小部分獨(dú)特的組件就能生成視覺上有趣且可定制的圖案。另一方面，特魯謝拼塊法則的使用并不局限于設(shè)計(jì)建筑拼塊和面板。正如萊昂內(nèi)爾·馬奇（Lionel March，2015：553-578）在《1960 年以來的數(shù)學(xué)與建筑》一書中所論述的，這類形式主義也可用于城市規(guī)劃和空間設(shè)計(jì)。例如，最近由 Matsys 設(shè)計(jì)的概念瓷磚屋項(xiàng)目就在生成平面布局時(shí)使用了特魯謝拼塊邏輯。

會議期間，我們將介紹特魯謝拼塊邏輯的背景，詳細(xì)介紹特魯謝拼塊法則，以及我們?nèi)绾螌⑻佤斨x的“組合”視覺符號轉(zhuǎn)化為形狀規(guī)則，舉例說明潛在的使用案例，并討論其局限性。

參考文獻(xiàn)

Knight, Terry W. (1989). Color Grammars: Designing with Lines and Colors. Environment and Planning B: Planning and Design, 16(4), 417-449. https://doi.org/10.1068/b160417

Knight, Terry W. (1994). Transformations in Design: A Formal Approach to Stylistic Change and Innovation in the Visual Arts. Cambridge ; New York: Cambridge University Press.

March, Lionel. (2015). Mathematics and architecture since 1960. In Architecture and Mathematics from antiquity to the future volume II, eds. K. Williams and M.J. Ostwald, 553–578. Birkh?user.

Reimann, David A. (2009). Text from Truchet Tiles. In: Bridges Conference Proceedings, Banf, Canada, p. 325–326

Smith, Cyril Stanley, & Boucher, Pauline. (1987). The Tiling Patterns of Sebastien Truchet and the Topology of Structural Hierarchy. Leonardo, 20(4), 373-385.

Stiny, George. (1977). Ice-Ray: A Note on the Generation of Chinese Lattice Designs. Environment and Planning B: Planning and Design, 4(1), 89-98. https://doi.org/10.1068/b040089

Stiny, G 1980a Introduction to shape and shape grammars Environment and Planning b: Planning and Design 7 3 343 351 https://doi.org/10.1068/b070343

Stiny, G. (1980b). Kindergarten grammars: designing with Froebel’s building gifts. Environment and Planning B, 7(4), 409-462

Stiny, George. (1992). Weights. Environment and Planning B: Planning and Design, 19(4), 371-488

Stiny, George. (2006). Shape: Talking About Seeing and Doing. Cambridge, MA: MIT Press.

Stiny, George and Gips, James (1972). Shape Grammars and the Generative Specifcation of Painting and Sculpture. Paper presented at the Information Processing 71, Amsterdam: North-Holland

Truchet, Sebastian (1704) Mémoire sur les Combinaisons. Mémoires de l’Académie Royale des Sciences,

363–372

Worre Foged, Isak, & Scafdi, Antonio. (2022). A Design and Fabrication Method for Hemp Based Acoustic Elements. In: Co-creating the Future: Inclusion in and through Design: Proceedings of the 40th Conference on Education and Research in Computer Aided Architectural Design in Europe 1: 101–110.

Natalie Walter, Heather Ligler, Benay Gürsoy, From Graphical Treatment of Combinatorics to Tiling Grammars

青山不改，綠水長流，在下告退。

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