老郭帶你學數學，什么是離散量和連續量？

打發業余時間的方法有很多，追劇的、看小說的、練書法的、學跳舞的……不過，我從來沒見過業余時間學數學的。這是因為學數學的大腦中樞是人的痛苦中樞，大腦在處理數字和感受針刺是同一片區域，所以有的人學數學就頭痛，這導致他們對數學產生天生逃避反應。越逃避，自然就越難學。不過今天老郭想用一種比較溫柔的方式，以離散量和連續量為例，療愈這種數學頭痛。

一、多少個和多少

我們可以說書架上有多少本書，但不能說杯子里有多少個水，對于水只能說多少而不能說多少個，因此多少個和多少的意義是不一樣的。

書是分離、獨立存在的，數學上把很多這樣的分離的物體的集合叫做集，我們在數數目的時候，回答的時候要帶上單位，比如書的單位是本，蘋果則是個，羊可以用只等等，這類東西就稱作離散量。

與這些帶單位的離散量相比，測量有多少水這樣的量就稱作連續量。因為杯子里的水不是一個個分離的，而是連續變化的（不考慮物質的可分性）。不論杯子里的水分到多么微量也是水，不改變。把兩杯水倒入同一個大杯中，是一大杯水，也沒有接縫。像水這樣能夠自由地分開和結合的東西就被稱為連續量。

二、離散量和連續量的轉換

在生活中離散量和連續量也不是絕對的。我的母親跟我說過這樣一件事，當年自然災害的時候（1962年），家里有一小碗黃豆，可是全家有8口人，不夠分，姥姥吧黃豆做成了豆漿，這樣所有人就都能吃到黃豆了。姥姥把離散量的黃豆，變成了連續量的豆漿，從而解決了分黃豆的難題。

就像姥姥分黃豆這個例子那樣，數學中的離散量和連續量概念是隨著人類進化過程，在生產和生活中自然形成的。像摘果子這種，有自然數1、2、3……就夠了，但如果是一個部落有30人，出去打了1頭牛，7只羊這種情況，就需要把離散的量變成連續的量才好分。

三、連續量的測量

是不是感覺回到了老郭擅長的物理啊，事實上，數學是一種抽象的思維方法，當然也包含著對物理操作的抽象。如前文所說的，那些離散的量，我們對其的操作是數（讀屬），而對于連續量，我們就需要進行測量。

比如隨便抓兩把黃豆比較那邊的多，就可以找來兩只碗，分別一個個放入黃豆，最后那邊有剩余那邊就多。但對于不可以數的連續量就不能這樣操作了。比如比較兩個人的身高，你可以讓他們站在一起，誰的個頭高一眼就能看出來。但如果是比較兩個樓盤中的兩棟樓，就不能把它們湊一塊比較。

既然不能直接比較，自然就產生了間接比較的需要，出于間接比較的需要，就產生了單位。比如長度、時間、質量都是如此。隨著不同地區的人大范圍的比較需要，就產生了對于最基本的度量單位進行統一的需要，這種情況在中國秦朝的時候就出現了，叫做統一度量衡。

以測量距離為例，有一張弓的射程是150步，你自然會想到的是，把射程分割成150份，這里面的“步”就是最基本的測量單位，所以說測量離不開分割，連續量的測量，就是要把連續量分割成離散量進行數數后的比較。

四、連續量的表示方法

還是以前面那張弓為例，測量實際射出去的箭的射程會發現，每次發射，射程都不是在精確的150步，可能會遠一點，也有可能會近一點。那么差的那點怎么辦呢？其實也好辦，就是找來一根繩子長度等于標準步長的繩子。

通過折疊繩子使得折疊后的長度剛好等于差的那點距離就可以了。如果繩子被折成7折，那么這張弓本次發射的距離可以是150右1/7步或者是149右6/7步。很顯然，用這樣方法得到的是一個用分數來表達的連續量。

然而，用分數來表達一個連續量并不直觀。回憶一下初中數學中我們學到的實數軸，就是一根標記有零點、正方向、兩端無限延伸的直線。由于直線是連續的，可以無限細分下去的，這樣就是不論多少都能分割。

而直線上點的位置，可以用小數來表示。比如身高是176厘米，可以表示成1.76米。用這樣的表示方法，別說是比較兩個樓盤中樓宇的高度，就是去比較兩個星球上山峰的高度也行。同樣的，所有的連續量都可以用這樣的數軸來表示，或者用它在數軸上的坐標（數字）來表示。

結束語

相信您看到這里應該明白了，數學中的離散量和連續量是真實存在的，它們是具有離散性質和連續性質的所有物體的高度抽象。希望看完本篇文章的您，能多少療愈一些數學逃避反應，也祝您能在數學的海洋中——乘風破浪。