未知量是函數(shù)時(shí)，為什么需要無(wú)限維？ | 泛函分析第一講

導(dǎo)語(yǔ)

集智學(xué)園聯(lián)合東京都市大學(xué)賈伊陽(yáng)老師共同開(kāi)設(shè)了「」課程，本系列課程將以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)為核心，逐步建立泛函分析的基礎(chǔ)架構(gòu)。第一階段將探討從有限維跨越到無(wú)限維的動(dòng)機(jī)與基礎(chǔ)；第二階段將重點(diǎn)建立度量與完備性，掌握 Banach 空間與不動(dòng)點(diǎn)定理的精髓；第三階段將深入探討 Hilbert 空間的幾何結(jié)構(gòu)與對(duì)偶空間的映射體系。最終，在第四階段，將梳理完整的結(jié)構(gòu)總覽與應(yīng)用地圖，透視這些純粹的數(shù)學(xué)工具如何作為底層基石，廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代物理、復(fù)雜系統(tǒng)模擬與前沿計(jì)算科學(xué)中。

作為系列課程的第一講，賈伊陽(yáng)老師將以「為什么需要無(wú)限維？」為主題，從機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)問(wèn)題為案例進(jìn)入泛函分析的場(chǎng)景中，建立函數(shù)空間的思想動(dòng)機(jī)。正式分享將于3月29日（周日）19:00-21:00進(jìn)行。

主題：為什么需要無(wú)限維？

課程簡(jiǎn)介

機(jī)器學(xué)習(xí)中有一類問(wèn)題，目標(biāo)不是找一個(gè)數(shù)或一組參數(shù)，而是找一整個(gè)函數(shù)——用正則化控制模型復(fù)雜度，本質(zhì)是在函數(shù)空間里施加范數(shù)約束；核方法（SVM、高斯過(guò)程）直接工作在無(wú)限維Hilbert空間里；變分推斷優(yōu)化的對(duì)象是泛函，不是參數(shù)。這些方法背后都在用同一套語(yǔ)言：泛函分析。但傳統(tǒng)泛函分析課從公理和抽象定義出發(fā)，讓人很難看出它與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系。

作為系列課程的第一講，將從一個(gè)具體的機(jī)器學(xué)習(xí)例子（函數(shù)擬合 + 過(guò)擬合 + 正則化）出發(fā)，以應(yīng)用問(wèn)題為起點(diǎn)，循序推導(dǎo)出所需的數(shù)學(xué)框架。一個(gè)核心問(wèn)題是“為什么需要無(wú)限維”，并沿此引出三個(gè)核心追問(wèn)：函數(shù)到底屬于哪個(gè)空間？如何定義兩個(gè)函數(shù)之間的距離與收斂？函數(shù)為什么可以當(dāng)向量用？課程最后通過(guò)vector與covector的對(duì)偶結(jié)構(gòu)，將泛函的數(shù)學(xué)定義與機(jī)器學(xué)習(xí)中的優(yōu)化目標(biāo)打通。

本節(jié)課程面向具備基礎(chǔ)線性代數(shù)與機(jī)器學(xué)習(xí)背景的學(xué)員，以建立應(yīng)用直覺(jué)為優(yōu)先，數(shù)學(xué)嚴(yán)格性服務(wù)于理解，而非目的本身。

課程大綱

1. 引入：為什么需要無(wú)限維

2. 函數(shù)到底屬于哪個(gè)空間

   1. 不同函數(shù)空間的刻畫(huà)（連續(xù)函數(shù)、可微函數(shù)、平方可積函數(shù)）

   2. 函數(shù)空間的選擇如何影響問(wèn)題的可解性

3. 談距離、收斂與穩(wěn)定性

   1. 距離與范數(shù)：兩個(gè)函數(shù)怎樣算“接近”？

   2. 收斂性：一列函數(shù)怎樣算“收斂”？

   3. 穩(wěn)定性：極限與最優(yōu)解會(huì)不會(huì)跑掉？

4. 為什么函數(shù)可以看作向量

   1. 函數(shù)向量空間的線性結(jié)構(gòu)

   2. 從有限維線性代數(shù)走向無(wú)限維函數(shù)空間

   3. 反例：哪些函數(shù)集合不構(gòu)成向量空間

   4. 在函數(shù)向量空間可以討論的問(wèn)題

5. 泛函、對(duì)偶與機(jī)器學(xué)習(xí)

   1. 泛函的定義：輸入函數(shù)、輸出實(shí)數(shù)的映射

   2. Vector與covector（對(duì)偶）的概念

   3. Hilbert空間中的對(duì)偶結(jié)構(gòu)

   4. 機(jī)器學(xué)習(xí)中的對(duì)偶視角

6. 總結(jié)：函數(shù)、向量、對(duì)偶、泛函

關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)

• 泛函（Functional）：以函數(shù)為輸入、輸出實(shí)數(shù)的映射，如J[f]對(duì)整個(gè)函數(shù)整體評(píng)分。

• 函數(shù)空間（Function Space）：滿足特定條件的函數(shù)構(gòu)成的集合，如連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]。

• 賦范空間（Normed Space）：定義了“長(zhǎng)度”（范數(shù)）的向量空間，可度量函數(shù)大小。

• Hilbert空間：完備的內(nèi)積空間，是無(wú)限維幾何分析的核心舞臺(tái)。

• 正則化（Regularization）：在優(yōu)化目標(biāo)中加入范數(shù)懲罰，鼓勵(lì)平滑解、抑制過(guò)擬合。

• 收斂（Convergence）：函數(shù)列趨近某極限的過(guò)程，不同范數(shù)下含義不同。

• Covector（對(duì)偶向量）：作用在向量上輸出實(shí)數(shù)的線性映射，對(duì)應(yīng)泛函的幾何理解。

• 內(nèi)積（Inner Product）：衡量?jī)蓚€(gè)函數(shù)“方向相似程度”的運(yùn)算，推廣自有限維點(diǎn)積。

課程信息

課程主題：為什么需要無(wú)限維？

課程時(shí)間：2026年3月29日（周三） 19:00-21:00

課程形式：騰訊會(huì)議（會(huì)議信息見(jiàn)群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個(gè)工作日內(nèi)上線）

課程主講人

賈伊陽(yáng)，東京都市大學(xué)講師、前日本女子大學(xué)助理教授，前日本成蹊大學(xué)助理教授。研究重點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜性，算法，以及范疇相關(guān)理論。集智學(xué)園《》課程講師。

課程適用對(duì)象

• 做微分方程、數(shù)值算法、反問(wèn)題、信號(hào)處理、控制的學(xué)習(xí)者與研究者

• 做優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)推斷，希望理解正則化與泛化的結(jié)構(gòu)來(lái)源的研究者

• 讀量子/數(shù)學(xué)物理文獻(xiàn)，希望把 Hilbert 空間與算子語(yǔ)言用順手的研究者

• 更廣義地：經(jīng)常處理“函數(shù)作為未知量”的問(wèn)題、并且想要一套可遷移框架的研究者

1. 面對(duì)一個(gè)新問(wèn)題，你能先問(wèn)對(duì)問(wèn)題：該在哪個(gè)空間里解？該用哪個(gè)范數(shù)衡量誤差？需要什么完備性？算子是否有界？

2. 你能理解常見(jiàn)方法背后的統(tǒng)一邏輯：迭代為何收斂、正則化為何穩(wěn)定、最小二乘為何等價(jià)于投影、弱解為何成立。

3. 你會(huì)獲得一套“抽象但可落地”的語(yǔ)言：寫(xiě)證明、讀論文、做建模時(shí)，能把碎片化技巧收束到結(jié)構(gòu)層面。

1. 課程形式：騰訊會(huì)議直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播。本系列課程不安排免費(fèi)直播。

2. 課程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19點(diǎn)-21點(diǎn)進(jìn)行。

3. 課程定價(jià)：原價(jià)499

   1. 早早鳥(niǎo)價(jià)299，截止時(shí)間：2026年3月22日中午12點(diǎn)

   2. 早鳥(niǎo)價(jià)399，截止時(shí)間：2026年3月30日中午12點(diǎn)

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付費(fèi)流程：

2. 課程頁(yè)面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開(kāi)發(fā)票。

課程共創(chuàng)任務(wù)：課程字幕

為鼓勵(lì)學(xué)員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識(shí)傳播成果，并構(gòu)建課程知識(shí)共建社群。為此，我們特別設(shè)立激勵(lì)機(jī)制，讓您的學(xué)習(xí)之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結(jié)束后，助教會(huì)于課程群內(nèi)發(fā)布字幕共創(chuàng)任務(wù)。學(xué)員通過(guò)參與這些任務(wù)，不僅能加深對(duì)內(nèi)容的理解，還可獲得積分獎(jiǎng)勵(lì)。積分可兌換其他讀書(shū)會(huì)課程或?qū)嵨铼?jiǎng)品，助力您的持續(xù)成長(zhǎng)。