4道三元函數(shù)的二階偏導數(shù)計算練習題及參考答案

主要內(nèi)容：

本文以下述4道三元函數(shù)習題為例，詳細介紹使用全微分、直接法計算三元函數(shù)的一階偏導數(shù)，并利用鏈式求導法則，進一步計算其3個二階偏導數(shù)的計算過程。

1.設(shè)z=f(32x2+57y2)+24x,求z對x,y的所有二階偏導數(shù)。

2.設(shè)z=xln(50x+52y),求z的二階偏導數(shù)?2z/?x2、?2z/?y2、?2z/?x?y。

3.z=ln(41-43x+45y)+13x2y的二階偏導數(shù)計算。

4.求z(x,y)=e^[xyln(30x2+23y2)]的二階偏導數(shù)。

詳細步驟：

1.設(shè)z=f(32x2+57y2)+24x,求z對x,y的所有二階偏導數(shù)。

解：首先求一階偏導數(shù)，使用全微分法有：

∵dz=f'(32x2+57y2)*(2*32xdx+2*57ydy)+24dx,

∴?z/?x=64xf'(32x2+57y2)+24;

?z/?y=114yf'(32x2+57y2)。

進一步求二階偏導數(shù)，有：

?2z/?x2

=64f'(32x2+57y2)+64xf''(32x2+57y2)*2*32x

=64f'(32x2+57y2)+642x2f''(32x2+57y2);

?2z/?y2

=114f'(32x2+57y2)+114yf''(32x2+57y2)*2*57y

=114f'(32x2+57y2)+1142y2f''(32x2+57y2);

?2z/?x?y=?2z/?y?x

=64xf''(32x2+57y2)*2*57y

=4*32*57xyf''(32x2+57y2)。

2.設(shè)z=xln(50x+52y),求z的二階偏導數(shù)?2z/?x2、?2z/?y2、?2z/?x?y。

解：先使用全微分求出一階偏導數(shù)：

dz=ln(50x+52y)dx+x(50dx+52dy)/(50x+52y)

=[ln(50x+52y)+50x/(50x+52y)]dx+52xdy/(50x+52y)

?z/?x=ln(50x+52y)+50x/(50x+52y),

?z/?y=52x/(50x+52y)，進一步求偏導數(shù)有：

?2z/?x2

=50/(50x+52y)+50[(50x+52y)-50x]/(50x+52y)2

=50/(50x+52y)+50*52y/(50x+52y)2

=50*(50x+2*52y)/(50x+52y)2;

?2z/?y2

=-52x*52/(50x+52y)2=-522x/(50x+52y)2;

?2z/?x?y=?2z/?y?x

=52(50x+52y–50x)/(50x+52y)2

=522y/(50x+52y)2.

3.z=ln(41-43x+45y)+13x2y的二階偏導數(shù)計算

解：先使用全微分求出一階偏導數(shù)：

dz=(41-43x+45y)'/(41-43x+45y)+2*13xydx+13x2dy

=(-43dx+45dy)/(41-43x+45y)+2*13xydx+13x2dy

=[2*13xy-43/(41-43x+45y)]dx+[13x2+45/(41-43x+45y)]dy;

根據(jù)全微分，則一階偏導數(shù)有：

dz/dx=2*13xy-43/(41-43x+45y);

dz/dy=13x2+45/(41-43x+45y).

再求二階偏導數(shù)如下：

?2z/?x2

=2*13y+43*(-43)/(41-43x+45y)2

=2*13y-432/(41-43x+45y)2;

?2z/?y2

=0-452/(41-43x+45y)2

=-452/(41-43x+45y)2;

?2z/?x?y

=2*13x-43*(-45)/(41-43x+45y)2

=2*13x+43*45/(41-43x+45y)2.

4.求z(x,y)=e^[xyln(30x2+23y2)]的二階偏導數(shù)

(1)計算一階偏導數(shù)

1)先求對x的偏導數(shù)，此時將y看成常數(shù)，有：

z=e^[xyln(30x2+23y2)]，

?z/?x=z[yln(30x2+23y2)+xy*2*30x/(30x2+23y2)

=z[yln(30x2+23y2)+2*30x2y/(30x2+23y2)],

2)再求對y的偏導數(shù)，此時將x看成常數(shù)，有：

?z/?y=z[xln(30x2+23y2)+xy*2*23y/(30x2+23y2)]

=z[xln(30x2+23y2)+2*23xy2/(30x2+23y2)]。

(2)對?z/?x再次對x求導，有：

?2z/?x2=z*(?z/?x)2+z{y*2*30x/(30x2+23y2)+2*30[2xy*(30x2+23y2)-x2y*2*30x]/(30x2+23y2)2},

=z(?z/?x)2+2*30xyz[1/(30x2+23y2)+(2*23y2)/(30x2+23y2)2]

=z(?z/?x)2+2*30xyz(30x2+3*23y2)/(30x2+23y2)2。

(3)對?z/?y再次對y求導，有：

?2z/?y2=z(?z/?y)2+z{2*23xy/(30x2+23y2)+2*23[2xy(30x2+23y2)-xy2*2*23y]/(30x2+23y2)2}

=z(?z/?y)2+z[2*23xy/(30x2+23y2)+2*23*2xy*30x2/(30x2+23y2)2]

=z(?z/?y)2+2*23xyz[1/(30x2+23y2)+2*30x2/(30x2+23y2)2]

=z(?z/?y)2+2*23yz*(3*30x2+23y2)/(30x2+23y2)2。

(4)對?z/?y再次對x求導，或?z/?x再次對y求導有：

?2z/?x?y=?2z/?y?x

=z[xln(30x2+23y2)+2*23xy2/(30x2+23y2)][yln(30x2+23y2)+2*30x2y/(30x2+23y2)]+z{ln(30x2+23y2)+y*2*23y/(30x2+23y2)+2*30*x2[(30x2+23y2)-y*2*23y]/(30x2+23y2)2}

=?z/?y*[yln(30x2+23y2)+2*30x2y/(30x2+23y2)]+z{ln(30x2+23y2)+2*23y2/(30x2+23y2)+2*30*x2(30x2-23y2)/(30x2+23y2)2}

=(1/z)*?z/?y*?z/?x+z{ln(30x2+23y2)+2*(302x?+232y?)/(30x2+23y2)2}.