郝柏林：牛頓力學三百年｜特別推薦

編者按

《物理與工程》重新刊發郝柏林先生1986年的文章《牛頓力學三百年》，孫昌璞院士撰寫了專門的評述文章《重讀《牛頓力學三百年》：經典力學縱深與復雜系統物理開端》。孫院士的文章不僅是一篇導讀，還是一篇關于關于統計物理和復雜系統發端、發展和前瞻的評述文章，也是一篇如何學習、發展和緬懷前輩學術思想的范文。另外，鄭偉謀研究員為《牛頓力學三百年》寫了一篇導讀。本文是這次重新刊發活動的第二部分：鄭偉謀研究員的導語和郝柏林先生的原文。感謝郝柏林先生的女兒郝炘博士授權我們刊物重新刊發，感謝北京大學出版社提供郝先生文章的原始出處：孫小禮、樓格主編《人·自然·社會》(北京大學出版社，1988)。

導語

郝先生的文章是基于他1986年在北京大學的一次報告。當年還是非線性科學發展的黃金時期。距今不到四十年，當今的許多物理系大學生，甚至年青學者對非線性動力學的概念，往往感到陌生。一些物理學概念雖然重要，其“半衰期”未必就很長。此文以很小的篇幅，描繪了牛頓力學建立之后學科發展三百年的方方面面，非大家手筆不可為。《物理與工程》決定重新刊發此文，相信物理界與工程界的讀者都會從中受益。“經過近300年的發展，現代自然科學才清楚認識到，我們對于牛頓力學原來只懂得了極小的一部分。人們從大學課本中學到的關于牛頓力學的基本概念，竟然只適用于極為稀少的特例，而力學系統的典型行為在大多數教科書中根本沒有提到。這種認識迄今還停留在較為狹窄的專家圈子中。有必要使它逐漸成為廣大自然科學工作者的共同的認識，并且引起哲學界的注意。”導言中的這一段話，今天讀來，也仍然是振聾發聵。

——鄭偉謀(中國科學院理論物理研究所)

牛頓力學三百年

郝柏林

中國科學院理論物理研究所,北京100190

摘要

自1687年牛頓的名著《原理》首次出版以來,牛頓力學經過300年的發展,今天人們才開始對它有比較完整的認識。在這個經典的領域中,仍然有原則性的難題和挑戰。

關鍵詞 牛頓力學;不可積性;KAM定理;內在隨機性;統計物理

THREE HUNDRED YEARS OF NEWTONIAN MECHANICS

HAO Bailin

(Institute of Theoretical Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190)

Abstract Developments of Newtonian Mechanics since publication of Principia in 1689 are reviewed with an emphasis on problems of nonintegrability and implications of the KAM theorem.

Key words Newtonian mechanics; nonintegrability; KAM theorem; intrinsic stochasticity; statistical physics

DOI:10.27024/j.wlygc.2026.02.24.is

牛頓的《自然哲學之數學原理》一書拉丁文初版于1687年問世。英文譯本在牛頓逝世后兩年，即1729年出版，1931年上海商務印書館印行的《萬有文庫》曾收入鄭太樸譯自德文的中文本，共分十冊。三百年來，用大寫字母起頭的拉丁文“原理”(Principia)一字，一直在哲學和自然科學文獻中特指牛頓的這一部經典著作。可以毫不夸大地說，這部書決定了整個西方近代自然科學的發展模式。

牛頓誕生在伽利略去世的那一年，即1642年的12月25日（按新歷計算，是1643年1月4日)。從1679年開始，在與胡克(R.Hooke)的通訊和爭論中，牛頓深入研究了行星的軌道運動問題。1684年底，牛頓因哈雷(E.Halley)的求教而撰寫了“論運動”一文。然而，只是在《原理》一書中，牛頓才完整地表述了他的絕對時空觀、運動三定律和萬有引力定律。因此，以《原理》一書的出版，標志牛頓力學的誕生，是極為自然的。

牛頓力學的發展史，早有大量論文和專著，不是這篇短文的評述對象。本文主旨，是說明經過近三百年的發展，現代自然科學才清楚認識到，我們對于牛頓力學原來只懂得了極小的一部分。人們從大學課本中學到的關于牛頓力學的基本概念，竟然只適用于極為稀少的特例，而力學系統的典型行為在大多數教科書中根本沒有提到。這種認識迄今還停留在較為狹窄的專家圈子中。有必要使它逐漸成為廣大自然科學工作者的共同的認識，并且引起哲學界的注意。

太陽系的穩定性

天體運行始終是牛頓力學的第一塊試金石。《原理》一書第三篇專門討論了“宇宙系統”。不過牛頓當時所研究的“宇宙”，只是到土星為止的太陽系，包括六大行星和它們的某些衛星。1781年發現天王星時，牛頓已經去世54年。天體力學在拉普拉斯(P.S.Laplace，1749—1827)的五卷巨著《天體力學》(出版于1798—1825年期間)中，發展到甚為詳盡的程度。拉普拉斯應用微擾論級數計算天體軌道，確定了擾動的周期性質，論證了土星環不可能是一個實體，對于木星的幾個衛星的運動，也得到了與觀察一致的計算結果。他甚至證明了一個太陽系穩定性的定理，拉普拉斯對于牛頓力學的確定論威力深信不疑，曾經宣稱只要給定了初始條件，就可以預言太陽系的整個未來。

拉格朗日(J.-L.Lagrange，1736—1813)開始用變分方法于牛頓力學。和《原理》書中的幾何方法不同，拉格朗日使解析方法登峰造極。他的專著《解析力學》中竟然沒有插圖。經過許多人的努力之后，牛頓力學的基本出發點可以用變分原理表述得極為簡練。力學系統由廣義坐標和廣義速度的某個函數（拉氏函數)刻畫。保證這個函數在一定區間上的積分達到極值(極大或極小)的條件，就是運動方程。這種普遍的表述，提供了建立新的物理理論的一般框架。后來，從狹義相對論到弱電統一理論，都采用了這種數學形式。拉格朗日也證明過自己的太陽系穩定性定理。

1846年根據對天王星軌道所受擾動的理論計算，預言并且觀察到了海王星。這一發現可以說是經典的牛頓力學的輝煌頂點。(1930年用類似的方法，找到了太陽系的第九顆行星——冥王星)。從十九世紀中期開始，那些最終導致量子力學、狹義相對論和廣義相對論誕生的實驗事實逐步顯現出來。二十世紀初建立的這幾個新理論，當然是對牛頓力學的最偉大的發展。然而，我們還是回到這篇文章開頭所提到的、尚未被人們所充分認識的那個側面。

對太陽系穩定性的不同提法，可能導致不同的結論。例如，考慮擾動的近似程度不同，或要求穩定時間有限與無窮，當然后果會有差別。一種合理的抽象模型是把太陽系作為N體問題。N-1個小質量的行星，圍繞著大質量的中心質點運動。它們遵從牛頓的運動定律，按照牛頓萬有引力定律互相吸引。假定這個N體系統中的質點過去從來沒有發生過碰撞，問這樣的系統在今后無限長的時間中，會不會發生質點碰撞或逃逸?

十九世紀的數學家們已經知道，N體問題屬于不可積分(見下一節)的難題，只能尋求近似解。迪里克萊(P.G.L.Dirichlet)曾經在1858年宣稱找到了逼近N體問題解的方法。他在翌年去世，使這一方法成了千古之謎。20年后，魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass)構造了N體問題的級數解，但不能證明級數是否收斂。1885年他通過另一位數學家，把這一問題呈交給瑞典國王奧斯卡二世，作為征獎論文題目。法國科學家龐加萊(H.Poincaré，1854—1912)的長達二百多頁的得獎論文，雖然沒有解決這個問題，卻揭開了牛頓力學的新篇章。他的結論甚至是近乎否定的：N體問題的級數解由于小分母問題而很可能不收斂。龐加萊在研究過程中闡明了不可積系統運動的復雜性。它的工作后來總結在三卷《天體力學的新方法》(1892，1893，1899)中。

我們簡單解釋一下小分母問題。N體問題在“零級近似”下，忽略小質量之間的互相作用，成為N-1個二體問題。每個二體問題給出一定頻率的周期解。加入相互作用之后，如果某些頻率之間存在簡單的比例關系，就會出現共振現象。太陽系中就有不少這種接近共振的情形。例如，按角位移計算，木星每天運行299.1秒，而土星運行120.5秒，幾乎滿足

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這類差值進入級數展開式，成為小分母，危及收斂性。不過魏爾斯特拉斯當年就曾指出，龐加萊本人也承認，這些論據并不足以證明級數就是不收斂的。

由于量子理論和相對論的迅猛發展，以及日新月異的技術進步，吸引了絕大多數物理學家的注意力，十九世紀末就提出來的這個尖銳問題，被留給數學家們去靜心研究。二十世紀六十年代初，終于出現了牛頓力學發展史上最重大的突破——KAM定理。經典的太陽系穩定性問題，才在一定意義上得到了正面解決。近二十多年，物理學家們一直在消化，引伸或者“破壞”這個定理。不過，為了稍事介紹KAM理論，我們必須回顧力學系統的可積分問題。

不可積分的力學系統

英國天文學家哈密頓(W.R.Hamilton，1805—1865)繼續發展變分方法來研究牛頓力學。他用廣義坐標和廣義動量來表示系統的能量，現在通稱為哈密頓函數。對于自由度為N的系統，N個廣義坐標和N個廣義動量，張成2N維的相空間。牛頓力學成為相空間中的幾何學。用現代觀點說，這是一種辛(symplectic)幾何學，它源于哈密頓運動方程組的反對稱性質。這是2N個一階常微分方程，來自后來以哈密頓命名的變分原理。哈密頓方程的數學形式便于對力學系統作一種重要分類。如果可以實現一系列坐標和動量的變換，在每一步變換下都保持相應的哈密頓方程成立，使得哈密頓函數最終只依賴于N個新的廣義動量（這時特稱為“作用量變量”)，而新的廣義坐標(“角度變量”)完全不出現在其中。這N個新的廣義動量就是運動不變量(也叫運動積分)，而且運動方程可以簡單地積分出來。即使不能明顯解出來，也表示成為一批積分。這樣的力學系統稱為可積分的系統。可積分系統的典型行為是周期和準周期運動。所謂準周期運動，發生在各種頻率成分之比不是有理數(如

所有自由度為1的系統都是可積的。十九世紀的數學家，像雅可比(C.G.J.Jacobi，1804—1815)，劉維(J.Liouville)，卡瓦列夫斯卡婭(S.Kovalevski），曾經花了大量精力去尋求可積系統。然而，N體問題是不可積分的，甚至限制于平面之中的三體問題也是不可積分的。到了龐加萊的時代已經清楚，力學系統一般說來是不可積分的：除了最平常的運動積分(如能量)，根本不存在N個運動不變量。

不可積分系統的運動圖象十分復雜，數學處理也極為困難。1941年西格爾(C.L.Siegel)曾經寫道：“……這看來超乎已知分析方法的威力”。阿諾德(V.I.Arnold)在60年代初回顧歷史時也說過：“動力學中的不可積分問題曾非現代數學工具所及”。其實，在龐加萊的著作中對于不可積系統的運動圖象已經有相當深刻的認識。然而，在絕大多數為物理系學生用的力學教科書中，只講述可以積分甚至可以明顯求解的實例。這就在一代代學者心目中描繪了牛頓力學的完完全全確定論形象。

那么，天下究竟有多少不可積分的力學系統呢?“一切可能的力學系統”不大好表示出來，可以先取相當普遍的某大類系統來加以研究。例如，取所謂解析哈密頓函數：它可以表示為廣義動量和廣義坐標的一切可能乘積的線性組合，不同的組合系數(可能包含大量零系數)對應不同的力學系統。如果允許每個系數沿一個坐標軸取值，它們就支撐起一個無窮維的空間，其每一點代表一個力學系統。在這樣的空間中有多少點是可積分的系統呢?答案在四十年代就由西格爾等人給出。原來，在一切解析哈密頓中，可積哈密頓的“測度”為零。這就是說，把全部可積分的點湊到一起，在上述空間中的體積仍然是零。反過來說，如果在這個空間中任意抓一個點，它幾乎必定對應不可積分的力學系統。

事實上，可積分的系統如此稀少，以致不可能用它們來逼近不可積分的系統。這句話應當與有理數和無理數的關系對比。大家知道，在數軸上存在著可數無窮多個有理數，它們的測度為零，但是又是“稠密”的，即多到足以用來逼近無理數。然而，在解析哈密頓函數的空間中，可積分系統是“稀疏”的，少到不能用來逼近不可積分系統的程度。這就給不可積系統的研究帶來更大的困難。

然而，不可積系統的運動圖象究竟如何呢?

KAM定理

對付難題的一種辦法，是從容易的情形開始，一步一步往難處走。既然不可積系統的運動很難研究，那就先考察“弱”不可積、或者說近可積系統。假定系統的哈密頓函數可以分成兩部分

其中H0是可積的，因此只依賴于作用量Ji，V是使H變得不可積的擾動，自然含有角度變量θ

i

問題的答案由蘇聯數學家科爾莫戈羅夫(A.N.Kolmogorov)在1954年指出，1963年他的學生阿諾德(V.I.Arnold)給出了對于解析哈密頓函數的完全證明。同時，莫塞爾（J.Moser)對于只存在一定階導數(最初是333階，后來有人弱化為5階)的哈密頓函數也給出了證明。因此，這個定理現在以KAM命名。

KAM定理的嚴格表述和證明，要用到拓撲、分析和數論等各方面的知識。我們只限于粗略地介紹一下它的內容，然后轉而評述它的物理后果。KAM定理的大意是：在擾動(或者說非線性)較小、

V

從表面上看，這個定理的結論，一方面有些出乎意外，一方面又似乎平淡無奇。

出乎意外的是，人們(包括龐加菜)原來以為小分母引起的共振現象會破壞可積系統的不變環面，而定理的結論恰好相反。這個問題須從兩個層次理解。用未擾動的哈密頓函數H0的種種頻率，可以構造許許多多的組合，其中總會出現接近零的共振情況。然而，第一，只有組合系數較小的低階(小于4階)的共振才有危險性，高階共振恨本不影響微擾級數的收斂性；第二，低階共振的區域在相空間中是彼此隔開的，只有參數

平淡無奇則在于，對大多數軌道而言，弱不可積性好象并沒有帶來本質上新的后果。不過，仔細一想就看出事情并非如此平淡。物理學中常常用理想氣體或者簡單諧振子的集合來描述處于平衡態的氣體或固體。這樣作的時候，通常要說明一個“顯而易見”的事實：只要計入無限小的相互作用，這些理想的體系就會“熱化”而趨近平衡。KAM定理告訴我們，事實可能完全不是這樣! 凡是KAM定理有效的情形，統計物理學的基本前提就不成立。遵從KAM定理的運動限于N維環面上，根本不能分散到2N-1維的等能面上，哪里談得上“等能面上處處概率相等”。下一節介紹遍歷理論時，我們再繼續討論這個問題。

從天體力學的角度看，KAM定理給出了許多重要的正面結果。它的證明過程提供了成功地解決小分母問題的方法。它調和了魏爾斯特拉斯和龐加萊關于N體問題級數解是否收斂的爭論，從而在較為廣泛的意義下解決了太陽系的穩定性問題。當然，對于更為實際的條件，太陽系的穩定性問題仍未解決。

自由度為N的保守系統，具有2N維的相空間。能量守恒條件使運動首先限于2N-1維的等能“超面”上，KAM定理的成立進一步把它局限到

N

物理學家們更關心KAM條件不成立時會發生什么情況。既然這“非現代數學工具所及”，人們就求助于另一種新式武器——現代電子計算機。伊儂(M.Hénon)、福特(J.Ford)等人作了大量數值實驗，發現破壞任何一個KAM條件，運動圖象都變得更為“混沌”。例如，參數ε增大的過程中，環面逐個破壞。每個環面都是由頻率之比為無理數的準周期運動造成的。越難用有理數逼近的無理數，相應的環面堅持得越久。逼近最慢的最“高貴”的無理數就是黃金比(-1)/2≈0.618…，它對應最后消失的一個環面。其實，環面才消失時在原來的位置上只是出現了大大小小的空隙，它們具有康托爾(G.Cantor)集合的結構，仍然使迷走軌道的擴散受到一些限制。這些KAM環面剩下的“魂”，有時就叫作康托爾環面(Cantori)。KAM環面的破壞過程，可以用重正化群的方法研究。(關于康托爾集合和重正化群，可以參看《科學》第38卷（1986年）第1期“分形與分維”一文。)

數學家們早就證明，KAM環面破壞時，要出現個數相同的“橢圓”和“雙曲”型的不動點或周期點。橢圓點附近是穩定的周期運動。在雙曲點附近存在穩定和不穩定的“不變流形”。如果不穩定流形離開雙曲點后，最終又回到它附近，其間會和穩定流形發生無窮多次橫截相交。這些交點稱為同宿點。出現一個同宿點，就會有無窮多個同宿點。如果上述圖象發生在不同的雙曲點之間，則稱為異宿點。同宿點和異宿點的存在，使得運動狀態極為敏感地依賴于初始條件。毫厘之差，就會使軌道從穩定流形落到不穩定流形；或者反之，導致不同的長時間行為。龐加萊早在其《天體力學的新方法》第三卷中就描寫了同宿和異宿軌道，意識到它們使運動圖象變得極為復雜。只是現代電子計算機才使得人們清楚看到這種情景怎樣出現在一個個具體的數學模型和力學系統中。

KAM定理是一種整體的關于穩定性的論斷。軌道的不穩定性則是力學運動中出現隨機性，不可預言性和混沌的原因。這就把我們帶回到十九世紀末物理學提出的另一個基本問題。

遍歷理論

十九世紀下半葉，統計物理學的方法在麥克斯韋(J.K.Maxwell)、玻爾茲曼(L.Boltzmann)、吉布斯（J.V.Gibbs)等人的工作中臻于完備。這種處理復雜系統的概率論的方法，與當時占統治地位的牛頓力學的確定論觀點格格不入。必須在兩者之間尋求聯系，解決統計力學的奠基問題。

玻爾茲曼最早提出了遍歷性假定：“力學系統在運動過程中要經歷等能面上一切可能的狀態，因此沿軌道的長時間平均可以換成對等能面上各種狀態的平均。早就知道，遍歷假定的這種原始提法并不普遍成立，具體系統是否遍歷更難判定。這是留給數學家們去靜心研究的另—類難題。最近二、三十年遍歷理論有了重大進展。這些進展使它離開統計物理學的基礎越來越遠，卻成為研究復雜的力學系統和更一般的微分動力系統的強大工具。遍歷理論的進展有兩個方面。

一方面，動力系統的遍歷性質分成許多層次。最低的層次是狹義的“遍歷”，上面還有“混合”、科爾莫戈羅夫流(K流)、伯努利流等等，愈往上隨機性質愈強。處在上面的層次必定具有下面各層的遍歷性質，但反之不成立。例如，存在著是K流而非伯努利流的動力系統，它當然是遍歷和混合的。

另一方面，證明了一批具體系統的遍歷或非遍歷性質。例如，有限個耦合諧振子系統是不遍歷的(這是KAM定理的直接后果)。但封在盒子中的兩個剛球，卻是遍歷甚至混合的系統。這后一個例子，恰好反映了KAM定理條件中光滑性要求的重要意義。剛球作用勢非解析，因而KAM定理并不成立。

遍歷性并不取決于自由度大小，而是反映著運動軌道不穩定性的程度。簡單的“遍歷”并不要求鄰近軌道相互分離，它們可以在等能面上并肩游歷。混合性則要求時間足夠長之后，出發點鄰域中的軌道要彌散到等能面上任何一個點附近。猶如一滴墨汁落入水杯拌勻之后，任意取出一滴水都會含有墨汁分子。但是，混合性并不限制相鄰軌道的分離速率。到了K流這一層，任何在初始時刻相鄰的軌道，下一時刻就必須以指數方式分開。表征相鄰軌道分離速度整體性(即沿軌道長時間平均得到)的特征量，有李雅普諾夫(A.M.Lyapunov)指數，K熵和各種信息維數。K流的基本特征是具有正的K熵，而K熵在一定意義上是所有正的李雅普諾夫指數之和。這樣，我們就有了區分簡單和復雜力學系統的定量判據。如果相空間中每個點都導致零熵，系統是簡單的。如果某些測度不為零的初值集合給出正K熵，則運動開始具有隨機性。上節介紹KAM定理時，提到有限的小區域中存在著迷走軌道，定量的特征就是它們導致正的K熵。

必須指出，K熵以及遍歷理論中引入的其他熵，與熱力學熵根本不同。熱力學熵本質上是靜態的，是對狀態劃分和計數的結果，而K熵和動力系統的整個時間演化過程聯系著。這兩者之間的關系，目前并不完全清楚。

我們多次提及運動的隨機性。這種隨機性是不可積力學系統的內秉性質，并不來自隨機外力、環境漲落、噪聲干擾等外界因素。牛頓力學具有內在的隨機性，具有確定論傳統的天體力學家們也開始接受這一命題。

天體力學是確定論科學嗎?

這是當代著名的天體力學家，《軌道理論》一書的作者策比黑利(V.Szebehely)在同事們為他祝賀六十壽辰時提出的問題，他甚至指出，那些堅持確定論的人是在自欺欺人，不是推動科學前進、而是倒退。

確實，天體力學中已經有若干個認真研究過的內在隨機性的實例，我們從三體問題中引證兩個。

第一個例子是蘇聯數學家西特尼科夫(K.Sitnikov）、阿列克賽耶夫(V.M.Alekseev)等人在60年代證明的。取兩個相同的大質量M，它們有一個運動平面，再拿一個小質量m，令它在穿過兩個大質量的質心并垂直于上述平面的直線上運動。質點m在一定高度以一定初速開始運動后，可能在時刻T1、T2、…Tn多次經過此平面，然后逃逸，也可能一直來回蕩下去。西特尼科夫等人的結果可以尖銳地表述為：先給定任意個隨機數，存在相應的初始條件，使得質點m依次以這些隨機數為時間間隔，穿過大質量的軌道平面，然后逃逸掉。換言之，無論對

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第二個例子是策比黑利本人在198年給出的。考慮小質量m在大質量M1和M2作用下的運動，忽略小質點對大質點的影響，而且把運動限制在平面內。這是自由度為2的平面三體問題，由一個4階常微分方程組描述。在力學系統的某些平衡點附近，小質點可能作范圍有限的擺動(天文學中稱為“天平動”),也可能離開平衡點遠去。策比黑利等試圖用精密的數值計算確定這兩種行為的邊界。結果發現兩類初值之間并沒有光滑、連續的邊界：擺動初值附近有導致逃逸的初值，而逃逸點附近又存在擺動點，初值的微小差別會導致定性的不同結果。

這兩個例子，一個解析、一個數值，都是精密可信的科學結論。它們并沒有引用任何外來的隨機因素，一切都發生在牛頓力學的“確定論”框架里。這兩個例子又都是能量守恒的保守系統。更為現實的物理模型應是耗散系統，例如流體。牛頓雖然在《原理》一書中曾經討論過流體的運動，流體力學的建立卻是十九世紀的事。流體力學方程具有宏觀層次上的內在隨機性，它應有助于認識湍流的發生機制。這是當前甚為活躍的混沌研究領域。它正在從力學系統借用同宿、異宿、遍歷種種概念。

有限性和隨機性

純粹確定論的描述和純粹概率論的描述都是理想化的極限，隱含著承認某種無窮過程是可以實現的。

如果說牛頓力學給出的質點運動軌道是確定的，這就意味著能以無窮精密的測量來確定和區分軌道。只要承認在人類的任何歷史發展階段測量精度都是有限的，科學技術的進步可以縮小測量誤差，但不能作到誤差為零，那么就可以構造出隨機的軌道，它原則上不能靠測量手段同確定軌道區分(只要在牛頓軌道上附加小于測量精度的隨機漲落就成了)。

同樣，一個完全隨機的過程應當能通過無窮長的隨機性檢驗。以均勻分布存(0，1)區間上的隨機數為例。如只取來N個隨機數，就只能要求它們在一定限度內通過隨機性檢驗，允許存在量級約為N-1/2的統計漲落。只要N不是無窮大，就談不上純隨機數，就可以設計某種確定論過程來產生N個數，使它們同樣好的通過隨機性檢驗。

承認有限測量情度和有限的隨機性鹼驗，并不是對人類認識能力的侮辱。事實上自然界的許多基本規律，都可以用否定形式表述：不能制造出第一類和第二類永動機，溫度不可能降到絕對零度，不能區分引力質量和慣性質量，質量有限的物體不能以光速運動，微觀粒子的坐標和動量不能同時精確測定，等等。看來，承認某種有限性原則(其確切表述還有待于科學發展的啟示)，我們才能從確定論和概率論的對立中解脫出來，建立更符合客觀世界的理論物理體系。

在一定意義上，現代數學的狀況要比物理學好。二十世紀初的數學，曾是分析、代數、幾何三個正統的分枝(及其交叉)加上“四不像”的概率論。自從三十年代用測度論建立了概率論的公理體系，使它成為現代數學的一個平等的組成部分。現在概率論和隨機過程的概念在許多數學領域中發揮著作用。諸如“幾乎處處”、“除去測度為零的集合”、“在一般(generic)條件下”這些提法，早已成為有嚴格涵義的現代數學語言。

相比之下，物理學中自牛頓以來的傳統就更為推崇確定論描述，而把概率論作為“不得已而為之”的補充，以至兩套描述長期涇渭分明。隨著對不可積系統中內在隨機性的認識，這種情況正在發生變化。牛頓力學有兩個公認的推廣，1/c≠0(c是光速)時是相對論力學，普朗克常數h≠0時是量子力學。是否存在著第三種推廣，存在著另一個基本常數，存在著像光速不變那樣的基本原理呢?目前只能作一些猜測。如果能從微觀上定義熱力學熵，熵不為零的系統是“復雜系統”，必須引用統計描述。玻爾茲曼常數k應以某種方式自然地進入理論體系，相應的基本物理原理可能與前面論及的有限性原則有關。k趨近零時，熵和溫度都會從理論中消失。果真如此，則經典的牛頓力學就是h=k=1/c=0的極限情況。它的延伸是量子力學(h≠0)，相對論力學(1/c≠0)和復雜系統的統計力學(k≠0)。總之，牛頓力學經過三百年發展，人們才開始對它有比較完整的認識。這個經典的領域，仍然有原則性的難題和挑戰。

參考文獻

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HAO B L. Bifurcation, chaos, strange attractor, turbulence and all that—On intrinsic stochasticity in deterministic systems， Progress in Physics，1983, 3（3）: 329-416. (in Chinese)

【編后記】根據孫小禮、樓格主編的文集《人·自然·社會》(北京大學出版社,1988)的編者前言，北京大學1985年秋季學期為物理系研究生試開“自然科學的哲學問題”課程，課程由若干講座組成，郝柏林先生的這篇文章《牛頓力學三百年》是的這些講座中的一個。根據郝先生自己的說法，他的講座實際完成在1986年。1987年郝先生在《科學》上發表了這個講座的文章版本，和1988年收錄進入文集《人·自然·社會》時的版本稍有不同。重印此文時，我們以文集中的版本為準，同時參考了《科學》上的版本。

作者簡介: 郝柏林，中國科學院理論物理研究所研究員。

引文格式: 郝柏林. 牛頓力學三百年[J]. 物理與工程，2026：網絡首發.

Cite this article: HAO B L. Three hundred years of Newtonian mechanics[J]. Physics and Engineering, 2026， 36（1）： online first. (in Chinese)

誠摯感謝鄭偉謀老師與劉全慧老師帶我們重溫經典，并進行精彩點播與編撰按語！