“開胃菜”數學專欄第17期：用變量代換法求解微分方程

本期話題：在微分方程的理論中，變量代換方法有著廣泛的應用，通過變量代換，將方程轉化為相對容易解的方程類型，從而達到求解目的。例如，齊次方程、伯努利方程、歐拉方程、二階可降階方程等，都有固定的換元模式。但更多靈活的換元方法，主要靠經驗和積累，也是一個無止境的探索，其中熟練地湊微分和函數各種變形也起著重要作用。

本期話題，給大家提供幾個相對固定的換元模式，并介紹一些比較經典的換元案例，以饗讀者。

本專題推文的主體內容將在后續整理后上傳分享！由于電子文檔以外部鏈接存放具有不穩定性與不可控性，為此，咱們公眾號的部分封面圖片原始高清文件和推文中明確有PDF文檔分享的電子文檔下載請通過考研競賽交流圈（點擊打開）文件或美圖分類，或相應分類標簽快速獲取。文檔上傳時間一般要晚于推文幾天，或者會集中在月底上傳。咱號不贊成積累、打印電子文檔，希望學友們通過筆記本、草稿紙，抄抄寫寫學數學！

典型題

｜詳細分析

自主練習

｜專題訓練

參考解答將在下一期公布，歡迎大家直接在文后留言參與討論和批評指正（描述不清楚的問題可以直接在留言區上傳圖片）。

【注1】“開胃菜” 數學專欄是咱號為助力學友們攻克大學數學學習難關，特別聯合在大學數學教學領域擁有深厚積淀與豐富經驗的金義明老師共同打造的優質學習專欄。專欄以 “夯實數學基礎、拓展解題思路、提升問題解決能力” 為核心宗旨，聚焦學生在大學數學公共基礎課學習中的核心需求。無論是在課堂學習后，希望進一步鞏固相關課程的核心知識點，解決知識掌握不牢固的問題；還是在解題過程中，面臨思路狹窄、方法單一的困境，渴望拓寬解題視角；亦或是希望系統積累各類實用解題技巧，提升解題效率與準確性，專欄都將提供針對性的內容支持。

在推文內容定位上，專欄主要面向三類核心人群：針對考研備考學子，圍繞考研數學大綱，梳理高頻考點、解析經典真題，助力學子夯實考研數學基礎，突破備考難點；面向競賽備賽的數學學習愛好者，將分享競賽常用解題思路、技巧與典型例題，幫助同學提升競賽解題能力，從容應對賽事挑戰；同時，對于希望在大學數學相關課程學習中實現進一步提升與鞏固的學友，專欄也通過知識點深化講解、易錯點分析等內容，助力其穩步提升數學素養與學習成績。

【注2】對于練習，一定不要做完、核對完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類問題，或者某個知識點的應用、或某個題型的求解思路與方法，不僅對于解題思路要理解、掌握，同時對于涉及的知識點、解題思想與方法要總結，對于其中的一些結論、結果最好能夠記住。同時，對于給出的參考解答過程，要仔細推敲一下，為什么這么做？問題解決的突破口在哪里？還有沒其他更好的方法，自己的方法為什么不對，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時查漏補缺，保證在再出現類似問題時，能夠重現求解思路與過程，從而保證訓練的有效性！對于如何練習，可以參考推文：.

【注3】選擇的例題與練習題主要源于歷屆考研題、競賽題與經典教材與參考書，相關題目可能略有改動！建議（一定）自己在草稿紙上動手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細參考解答（多解）參看高數、數分綜合提高練習冊，點擊推文鏈接：了解詳情！

【注4】數學內容推文整理分享、閱讀都不容易，費時費力更費腦！參考解答僅供參考，解答過程與思路僅代表作者對問題的理解，解答過程不一定嚴謹或完全正確，或者是最優的，希望在對照完以后，不管是題目有問題，還是參考解答過程有問題，希望學友們在文后留言不吝指出！如果有更好的解題思路與過程，也歡迎通過管理員郵箱、微信或QQ以圖片、或Word文檔形式發送給管理員，對于分享的完整思路與解答過程，管理員將盡可能在第一時間推送和大家分享，謝謝！

上期練習參考簡答

往期推薦閱讀

1、

2、

3、

4、

微信公眾號：考研競賽數學(ID: xwmath)大學數學公共基礎課程分享交流平臺！支持咱號請點贊分享！