具體的、形象的、抽象的:在高等初等數學中使用CPA方法

具體的、形象的、抽象的：在高等初等數學中使用CPA方法

深圳唐老師乒乓散文及翻譯2025-11-18 08:16

具體的、形象的、抽象的:在高等初等數學中使用CPA方法

教師可以通過在不同階段引入概念來幫助學生建立更深的數學理解和信心。

經過 勞倫斯·金斯伯格

2025年11月17日

雷切爾·赫斯/伊斯托克

四年前，我得到了一個極好的機會，成為一個小學項目的數學教練。但是當我開始的時候，沒有工作框架，沒有腳本可循。我從零開始。我必須決定我的重點是什么。

我研究了最佳實踐，我的研究一次又一次地讓我認識到被稱為CPA的教學風格(具體的、圖片的、抽象的)。在CPA中，學生的理解是分階段逐漸建立起來的，從物理(具體)到視覺(圖形)再到傳統的、符號(抽象)階段，大多數人想到數學時都會想到這個階段——一頁紙上的數字。我開始相信CPA應該是我數學課的支柱。

基于教育心理學家杰羅姆·布魯納的工作在20世紀80年代，CPA被引入新加坡數學課程，并在Jo Boaler等數學改革者的幫助下，于21世紀初引入美國。在那段時間里，研究表明CPA有多種好處，不僅包括更好的考試成績，還包括更深的概念理解和數學信心的增強——這是當問題變得棘手時堅持不懈的重要預測因素。

這些好處很大程度上歸功于CPA如何創建內置支架——給學生認知時間來更好地理解和處理所呈現的數學。對于你的賽車手來說，這可能意味著放慢速度去理解他們正在快速執行的概念，但可能沒有更深入地吸收。對你的徒步旅行者來說，CPA方法是一個處理數學和慢慢學習的機會。最終，兩種類型的學習者都會受益。

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注冊會計師在行動

根據我教小數的方法，讓我們來看一些CPA的具體例子。第一課著重于對小數代表什么的具體理解:一個整體的分割。為了理解這一點，我們來看看把一個整體分解成千分之一。

對于具體階段，我們使用十進制塊—物理的、有形的塊。通常，在處理整數時，一個小的單個立方體代表1，一列代表10，一個10x10的“表”代表100，一個大塊代表1，000。但是我教學生們從他們以前使用過的十個街區的基礎向后看。在五年級，我們是這樣做的:通常代表1000的大方塊現在代表一個整體，薄片現在是十分之一，列現在是百分之一，小的單個立方體現在是千分之一。這有助于學生明白，一個整體可以用千分之一或十分之一來創造。根據課程的不同，我們在一到兩節課中使用十進制數塊練習創建十進制數。

接下來，我們用圖畫練習。我們通過使用百分圖和千分圖來做到這一點。這些圖表代表了我們的整體。學生用彩色鉛筆在圖表上涂色，代表不同的值。根據課程的不同，這也可以是一到兩節課。

在上完具體的和圖示的課后，學生們準備學習如何加減小數。首先，我們回到具體階段，我要求學生通過組合兩個十進制值來具體地添加小數，每個十進制值都由塊的組合來表示。我喜歡使用一個位置值圖表，讓學生用圖表平面上的方塊算出方程式。然后我們用百分圖做類似的事情。當我們用圖畫添加時，我喜歡讓學生用兩種不同顏色的彩色鉛筆直觀地看到添加的過程。

一旦學生們學會了如何具體地、形象地解方程，我就教他們傳統的、抽象的加小數方法的步驟，并仔細注意小數點的對齊。

集成CPA

使用注冊會計師是一種實用的方式來支持您的學生變得更加舒適和數學能力。但是你不需要修改你的課程來使用CPA方法——你可以從整合它開始。這確實需要一點額外的時間和計劃，但是這段時間給了你的學生更充分地探索和理解數學的機會。隨著時間的推移，你可能會看到他們的信心和能力在增長。

至于一些具體的證明？以下是一些真實的學生對CPA的反思:

“因為很多學生學的比較抽象，所以人們不知道除法或者乘法實際上是干什么的。當你長大后，只知道如何解決問題對解決更難的問題沒有幫助，”一名學生說。“所以我喜歡CPA方法，因為它幫助我了解問題的實際含義。”

另一名學生這樣說:“(注冊會計師)教會了我一種新的方式，那就是……一步一步地走，確保我真正理解并記住了我正在學習的東西。我想這種方法會永遠伴隨著我。”