已知正實數x，y滿足14x+8y=11,求幾種情形下代數式最值

已知正實數x，y滿足14x+8y=11,求幾種情形下代數式最值

主要內容：

本文主要介紹：1.四種方法計算xy的最大值。2.兩種方法計算8/x+12/y的最小值。3.三種方法計算23x2+10y2的最小值。4.三種方法計算√2x+√13y的最大值。

情形：求xy的最大值：

●思路一：利用基本不等式計算求解，即正數a，b有：a+b≥2√ab。

對于本題有：14x+8y≥2√(14*8xy),則：

2√(14*8xy)≤11，即：14*8xy≤112/4,

xy≤121/448,

所以xy的最大值=121/448。

●思路二：中值計算法。設14x=11/2-t，8y=11/2+t，則：

x=1/14*(11/2-t)，y=1/8*(11/2+t),

代入所求表達式有：

xy=1/14*(11/2-t)*1/8*(11/2+t),

=-(1/112)*[t2-(11/2)2].

可知，當t=0時，xy有最大值為：xy=121/448。

●思路三：判別式計算法

通過變形為一元二次方程，利用根與判別式關系，計算最大值。

由已知條件可知：y=1/8*(11-14x),代入有：

xy=1/8*(11x-14x2)

=-1/8(14x2-11x)=-14/8(x2-11x/14)

=-14/8[(x-11/28)2-(11/28)2],

可知當x=11/28時，xy有最大值=121/448。

●思路四：多元函數導數法

設f(x,y)=xy-λ(14x+8y-11)，分別求f對x，y，λ的偏導數有：

F'x=y-14λ; F'y=x-8λ; F'λ=14x+8y-11;

令F'x=F'y= F'λ=0，則有：

x=8λ，y=14λ，代入14x+8y-11=0有：

112λ+112λ=11，λ=11/224,

進一步可以求出x=11/28，y=11/16,

則xy的最大值=11/28*11/16=121/448。

情形：求8/x+12/y的最小值：

▲思路一：系數調整法

原式=1/11*11*(8/x+12/y)

=1/11*(14x+8y)* (8/x+12/y)

=1/11*(112+168x/y+64y/x+96)

=1/11*(208+168x/y+64y/x)

≥1/11*(208+32√42)。

則其最小值=1/11*(208+32√42)。

▲思路二：多元函數法

設f(x,y)=8/x+12/y+(14x+8y-11)，分別求f對x，y，λ的偏導數有：

F'x=-8/x2+14λ;

F'y=-12/y2+8λ;

F'λ=14x+8y-11;

令F'x=F'y= F'λ=0，則有：

y=√(168/64)x,代入14x+8y-11=0有：

14x+8√(168/64)x-11=0，求出:

1/x=1/11*[14+√(8*168/8)],

則8/x+12/y的最小值為：

最小值=8/x+12/x*√(64 /168)

=[8+12 *√(64 /168)]*1/x

=[8+12 *√(64 /168)]*1/11*[14+√(8*168/8)]

=1/11*[112+2√(168*64)+96]

=1/11*(208+32√42)

情形：求23x2+10y2的最小值：

◆思路一：二次函數判別式法

由已知條件可知：y=1/8*(11-14x),代入有：

23x2+10y2

=23x2+10*1/82*(11-14x)2

=1/82(23*82x2+10*142x2-2*10*14*11x+10*112)

=1/82[(23*82+10*142)x2-2*10*14*11x+10*112].

則當x=10*14*11/(23*82+10*142)時，有最小值，即：

最小值=1/82*[-(10*14*11)2/(23*82+10*142)+10*112].

=1/82*(230*82*112/[(23*82+10*142)].

=1265/156.

◆思路二：柯西不等式法

23x2+10y2=(√23x)2+(√10y)2，由柯西不等式可得：

[(√23x)2+(√10y)2]*[(14/√23)2+(8/√10)2]≥(14x+8y)2,即：

[(√23x)2+(√10y)2]*[(14/√23)2+(8/√10)2]≥112,

所以：

(√23x)2+(√10y)2 ≥112/[(14/√23)2+(8/√10)2]

23x2+10y2≥112/[(14/√23)2+(8/√10)2]

=112*230/[(23*82+10*142)]

=1265/156.

◆思路三：導數計算法

設23x2+10y2的最小值為t，為定制，即：

23x2+10y2=t，兩邊對x求導，有：

23x+10y*dy/dx=0,即：dy/dx=-23x/10y。

對已知條件也對x求導有：

14+8*dy/dx=0,即：dy/dx=-14/8,則有：

14/8=23x/10y,即y=184x/140,代入已知條件有：

14*x+8*184x/140=11，則x=154*10/(23*82+10*142),

則y=88*23/(23*82+10*142).

代入所求表達式有：

最小值=23*(154*10)2/(23*82+10*142)2+10*(88*23)2/(23*82+10*142)2

=112*230/(23*82+10*142)

=1265/156.

情形：求√2x+√13y的最大值：

■思路一：三角換元法

由條件14x+8y=11,可設14x=11sin2a, 8y=11cos2a,則：

x=(11/14)sin2a,y=(11/8)cos2a,

代入所求式有：

√2x+√13y

=√[2*(11/14)sin2a]+√[13*(11/8))cos2a]

=√[2*(11/14)]sina+√[13*(11/8))]cosa,

所以其最大值

=√{[√2*(11/14)]2+[√13*(11/8))]2}

=33√14/28.

■思路二：柯西不等式法

根據題意有：

(14x+8y)(2/14+13/8)≥(√2x+√13y)2，則：

(√2x+√13y)2≤11*(1/7+13/8)，所以：

(√2x+√13y)max≤√[11*(1/7+13/8)]

即最大值= 33√14/28.

■思路三：導數計算法

設√2x+√13y的最小值為p，則對√2x+√13y=p其求導有：

√2/√x+√13/√y*dy/dx=0,即：dy/dx=-√2y/√13x;

對已知條件也對x求導有：

14+8*dy/dx=0,即：dy/dx=-14/8,則有：

14/8=√2y/√13x,即：y=(14/8)2*13x/2,

代入已知條件有：

14x+8*(14/8)2*13x/2=11，即：2x=88*22/[14(182+16)],

進一步可知：13y=154*132/[8(182+16)],

此時√2x+√13y

=p=2√{88/[14(182+16)]}+ 13√{154/[8(182+16)]}

=√[11(182+16)/112]

=33√14/28.