三維不等式柯西定理應(yīng)用舉例
三維不等式柯西定理:
(s?2+s?2+s?2)(t?2+t?2+t?2)≥(s?t?+s?t?+s?t?)2。
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定理證明:
證明:
定義函數(shù)f(x)為:
f(x)=(s?+t?x)2+(s?+t?x)2,
將f(x)轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)=ax2+bx+c得
f(x)=(t?2+t?2)x2+2(s?t?+s?t?)x+(s?2+s?2)
因為f(x)≥0,所以它只有一個解或無解,即
Δ=4(s?t?+s?t?)2?4(t?2+t?2)(s?2+s?2)≤0
所以: (t?2+t?2)(s?2+s?2)≥(s?t?+s?t?)2.
令函數(shù)f(x)=0,則每個平方項都必須為0,即
s?+t?x=0?x=?s?/t?,
s?+t?x=0?x=?s?/t?;
則要使函數(shù)有零點,即Δ=0,則必須有:
s?/t?=s?/t?,證畢。
※.若正數(shù)a,b,c,x,y,z滿足a2+b2+c2=298,x2+y2+z2=113,求ax+by+cz的最小值。
解:直接使用上述柯西三維不等式有:
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,
代入數(shù)值即可得:
298*113≥(ax+by+cz)2,即:
(ax+by+cz)2≤33674,
由于所有變量均為正數(shù),則:
ax+by+cz≤√33674,
所以ax+by+cz的最小值為:√33674.
※.若正數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=299,求x+y+z的最小值。
解:使用柯西三維不等式有:
(x2+y2+z2) (a2+b2+c2)≥(x+y+z)2, 即:
(x2+y2+z2) (12+12+12)≥(x+y+z)2,則:
299*3≥(x+y+z)2,進一步有:
(x+y+z)2≤897,
所以正數(shù)x+y+z的最小值=√897。
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※.若a+b+c=152,求256a2+36b2+36c2的最小值。
解:使用上述不等式,出現(xiàn)和的平方,即已知條件轉(zhuǎn)換為不等式右邊和的平方,則所求代數(shù)式需要變形成兩個三項式平方和的乘積。
256a2+36b2+36c2=(16a)2+(6b)2+(6c)2
進一步變形為:
[(16a)2+(6b)2+(6c)2][(1/16)2+(1/6)2+(1/6)2],
≥[(16a/16)+(6b /6)+(6c/6)]2,
=(a+b+c)2=1522,即:
(256a2+36b2+36c2)*(137*122/5762)≥1522,
所以:256a2+36b2+36c2≥(1/137)*72962。
※.若24x+3y+14z=121,求x2+y2+z2的最小值。
解:運用三維柯西不等式,有:
(x2+y2+z2)(242+32+142)≥(24x+3y+14z)2,即:
(x2+y2+z2)(242+32+142)≥1212,
(x2+y2+z2)*781≥1212,
x2+y2+z2≥1212/(781),
即:x2+y2+z2≥1331/71,
所以x2+y2+z2的最小值=1331/71。
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