阿拉伯式幾何圖案的繪制方法舉例

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

在撒拉遜藝術(shù)中使用的復(fù)雜直線紋樣，有一類可稱為"阿拉伯幾何紋樣"，其繪制方法很奇特，數(shù)學(xué)家可能會(huì)感興趣。

圖1所示為這類復(fù)雜圖案的"重復(fù)"。重復(fù)圖案的中心是一顆十六射線的星。在重復(fù)圖案的四個(gè)角上，各有四分之一顆這樣的星。圖的左下方顯示了構(gòu)造線，通過這些構(gòu)造線可以很容易地繪制出這種圖案。這些以單線顯示的構(gòu)造線由一些多邊形組成。每個(gè)多邊形的每條邊的中心都有兩條圖案線交叉。通過觀察可以很容易地看出這些圖案線的繪制方法。進(jìn)入構(gòu)造八邊形的圖案線平行于其半徑繪制。進(jìn)入其他多邊形的圖案線則相互平行，以此類推。

圖1

唯一的困難在于繪制多邊形。我們必須從八邊形開始。具體步驟如下。點(diǎn) B 是重復(fù)平面的中心。將角 ABC 分成四等分，用虛線表示。對(duì)角 ACB 也做同樣的處理。其中兩條虛線相交于 E，那么 E 就是所需的八邊形的中心。另一個(gè)交點(diǎn)在 D 處，那么 ED 線就是八邊形的半徑。如圖左側(cè)所示，其他多邊形是通過延長八邊形的半徑形成的。16 邊形是圖案中 16 條射線星星的基礎(chǔ)，它的具體尺寸并不重要。如果標(biāo)出的 GH 等于 AF，那么 BH 或 BH 左右就是 16 角形的半徑。

圖 2 顯示了這種圖案的一個(gè)奇特變化。重復(fù)圖案的四角分別由四角十六射線星組成，但類似的星卻從圖案中心消失了。如圖左下方所示，除了四角十六宮格外，結(jié)構(gòu)線還包括八角形、長方形和不規(guī)則七角形。首先，從上一個(gè)圖案中相同的中心開始繪制兩個(gè)大小相同的八邊形。但每個(gè)八邊形只畫四條邊，例如 CD、DE、EF 和 FG。在 L 和 M 處重復(fù)這些完整的八邊形，將這些八邊形的對(duì)角連接起來，從而形成長方形 N 和 P。在 R 和 S 處重復(fù)這些不規(guī)則的七角形。完成這些構(gòu)造線后，就可以用與之前相同的方法繪制圖案了，無需進(jìn)一步說明。

圖2

圖 3 展示了阿拉伯工匠獨(dú)具匠心的一個(gè)奇特例子。這個(gè)圖案的重復(fù)部分是一個(gè)正方形。四個(gè)角上各有一顆二十射線星的四分之一。重復(fù)圖案的中心是一顆十二角星。將角 NBE 分成五等分，如虛線所示。然后畫出一個(gè)半徑為 BF 的二十邊形的四分之一和一個(gè)半徑為 EF 的十二邊形。

圖3

這些大多邊形在 G 和 H 處有兩條邊重疊。在這個(gè)空間中畫一個(gè)盡可能規(guī)則的七邊形，它的三個(gè)角要觸及多邊形相鄰邊的中心。這樣畫出的七邊形就是圖案的一部分。與通常的做法相反，在繪制圖案的其余部分時(shí)，不再使用多邊形的邊。從中心點(diǎn) E 和 B 開始，繪制兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓在 G 和 H 之間的中間點(diǎn)相交。通過這些圓與半徑相交的每一點(diǎn)，繪制一對(duì)圖案線。在這些圓內(nèi)畫出稍小的圓，圓的大小需要猜測，這些圓以虛線表示。在這些圓與半徑相交處的兩側(cè)，用圓點(diǎn)標(biāo)出一些點(diǎn)。這些點(diǎn)與線間的確切距離并不重要。在 R 和 S 處還需要較小的圓。它們的具體尺寸并不重要，只需猜測即可。進(jìn)行這些猜測時(shí)要注意的一點(diǎn)是，圖案空間應(yīng)盡可能規(guī)則。如果不可能實(shí)現(xiàn)徑向?qū)ΨQ，至少也要實(shí)現(xiàn)左右對(duì)稱。

所有這些圖案的一個(gè)特點(diǎn)是，兩條線在一個(gè)點(diǎn)上交叉，但一個(gè)點(diǎn)絕不是幾條線的交匯點(diǎn)。因此，每條直線在幫助限制一個(gè)圖案空間后，又會(huì)繼續(xù)幫助限制另一個(gè)圖案空間。因此，圖案的不同部分是相互依存的。這種相互依存的外觀可以通過線條的交錯(cuò)來增加美感。

通常情況下，如圖 1 和圖 3 所示，每條花紋線從重復(fù)邊上的任意一點(diǎn)開始，沿著之字形路線穿過圖案，直到到達(dá)邊上的其他點(diǎn)。但在某些情況下，如圖 2，一些圖案線標(biāo)出了封閉的區(qū)域。我無法從結(jié)構(gòu)線看出完成后的圖案中是否會(huì)有這樣的封閉區(qū)域。

在這里描述的圖案中，圖1和圖2來自阿爾罕布拉宮的一個(gè)圓頂（參見Remains in Spain; the Alhambra, by A. E. Calvert），圖3參見Bourgoin, Les Elements de l'Art Arabe。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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