非洲工藝美術中的數學思想

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

非洲豐富多彩的文化多樣性在房屋裝飾、建筑風格、聚落和圍墻形狀的多樣性中清晰可見（Oliver 1971; Denyer 1978; Bourdier and Trinh 1985; Guidoni 1987; Eglash 1998）。多樣性中的統一性體現在對于對稱形式和圖案的藝術和幾何探索的重要性上。形狀和裝飾并不是一成不變的；它們可能會隨著季節的變化而變化，標志著家庭組成的變化，或為特殊儀式而選擇（Wenzel 1972; Courtney-Clarke 1986, 1990; Changuion, Matthews and Changuion 1989; Gerdes 1998d, 1996）。一些傳統的非洲建筑理念可能來自于其他文化領域的經驗和知識，如編織籃子（Gerdes 1990: 107–111, 1998c）。

本文舉例說明非洲傳統建筑中的幾何構思，并就非洲藝術和手工藝啟發下的建筑造型提出進一步的建議。

矩形建筑

撒哈拉以南的大多數非洲民族傳統上都用圓形或矩形底座建造房屋。在莫桑比克農民中，有兩種建造長方形基座的方法很常見。在這兩種情況下，矩形形狀都不是照搬矩形或從一個個直角開始建造的結果（Gerdes 1998a: Chap. 12）。

圖24.1說明了第一種方法。建房者首先在地板上放下兩根等長的竹棍。然后這兩根棒與另外兩個同樣長度但通常稍短的棒組合。（b）現在移動木棒以形成四邊形（c）的閉合。進一步調整數字，直到對角線（用繩子測量）相等（d）。然后，從棍子現在躺在地板上的地方畫線，房屋建造者就可以開始了。這種構造方法反映了這樣的知識：當平行四邊形的對角線全等時，平行四邊形就變成了矩形。矩形形狀是四邊形連續變換的結果：四邊形收斂為矩形，矩形是其極限。

圖24.1 莫桑比克建造房屋矩形基座的第一種傳統方法示意圖。

圖24.2展示了第二種方法。建房者先將兩根等長的繩子在中點綁在一起（a）。在地上鋪上一根竹棍，竹棍的長度等于房屋所需的寬度，然后在竹棍的兩端點插入大頭針。每根繩子的端點都綁在其中一個大頭針上 (b)。然后拉伸繩索，并在繩索的其余兩個端點上將新的大頭針插入地面。這四個大頭針決定了要建的房子的四個頂點（c）。這個矩形結構說明了這樣一個知識：只要兩條相等長的曲線在中點相交，經過連續變換成為直線段，它們就會構成矩形的對角線。矩形的定義元素是它的寬度和對角線的長度。在這兩種構造方法中，矩形的四個直角都會同時出現。

圖24.2 莫桑比克建造房屋矩形基座的第二種傳統方法示意圖。

不斷變化的墻壁裝飾

恩貢戈人是剛果/扎伊爾中部庫巴王國的民族文化群體之一，在恩貢戈人中，用墊子裝飾房屋和宮殿的墻壁非常普遍。1910年出版了匈牙利民族學家托爾戴（Torday）觀察到的此類建筑席墊作品集。圖 24.3 展示了一些例子。這些平面圖案具有各種對稱性。在水平方向上，我們可以看到由垂直藤蔓編織在一起的木棍。圖 24.4 展示了另一個例子，這次是喀麥隆巴米萊克族首領家門上方部分墻壁上裝飾的辮狀墊子的細節，這也是根據季節、儀式或生命周期更換裝飾的一種可能方式。另一種可能的方式是 "litema "傳統。

圖24.3來自剛果/扎伊爾的恩貢戈人的建筑墊示例

圖24.4來自喀麥隆巴米萊克的建筑墊示例

在萊索托和南非鄰近地區，索托婦女形成了用圖案裝飾房屋墻壁的傳統。首先用泥漿和糞便的混合物將墻壁整齊地抹上灰漿，并經常用天然染料上色。當最后一層泥漿還未干透時，婦女們就用食指在墻上刻畫圖案。她們的藝術是季節性的：太陽曬干后會裂開，雨水會沖刷掉。在訂婚宴會、婚禮和重要的宗教慶典等特殊場合前，整個村莊都要重新裝飾。索托族婦女稱他們的幾何圖案為 litema（單數：tema）。對稱是 litema 圖案的基本特征。這些圖案通常由基本的正方形組成。索托族婦女會先鋪設一個方格網，然后在每個方格中再現基本圖案（見圖 24.5 中的例子）。對稱通常是雙色對稱：方格邊上的水平和垂直反射將顏色反轉（見圖 24.6 中的例子）。

圖24.5 索托族的墻飾實例

圖24.6 索托族雙色對稱的墻飾實例。

方圓：籃筐對建筑的建議

底部為方形、開口為圓形的運輸和儲藏籃子可以這樣編織：籃壁上的線要么與方形邊垂直，要么與方形邊成 45 度角。莫桑比克北部的馬孔德籃子編織者使用第二種方法編織likalala籃子。他們首先用 6 + 2（4×4）股或 38 股雙向線編織（斜紋編織）一個正方形墊子（圖 24.7a）。在正方形邊的中點 A、B、C 和 D 處，將突出的三角形 1、2、3 和 4 折疊并交織后，籃子的四角就會翹起（圖 24.7b）。

圖 24.7 (a) 第一個正方形墊子。(b) 待折疊的三角形。(c) likalala籃子的形狀。

對角編織的籃子（如 likalala）具有這樣的特性：每個水平交叉點，包括底部的方形和頂部的圓形，都具有相同的周長。倒置的、顛倒的 likalala可能是一種有吸引力的建筑結構形狀。底圓匯聚到方形屋頂：雖然所有水平交點都很平滑（所有點都允許切線），但極限曲線--方形--卻不平滑。

生活在塞內加爾-幾內亞邊境地區的巴薩里人編織著一種非常特別的 likalala 籃子。這是一種極端的情況：使用最少的股數，每個方向 2 或 4 股。圖 24.8a 展示了這種 2×2 的迷你籃子。他們稱這種一上一下的辮子迷你籃子為 epog edepog；它被用作避孕套 。

圖24.8（a）epog ede pog迷你籃子的形狀。（b）epog ede pog迷你籃子底部。

有時，巴薩里的編織者并不制作邊緣，而是以開始時的方式完成小籃子。他們用一個方形頂蓋將其封口。閉合的 "籃子 "是扭曲的：頂部的正方形圍繞籃子的軸線旋轉，與底部的正方形成 90° 角（圖 24.9）。籃子的高度是正方形邊長的 1.5 倍。封閉的小籃子用來制作叮當項圈，稱為 "班博約"。一個項圈由大約 20 個這樣的封閉式小 "籃子 "組成。正方形的邊長約 2-3 厘米。線穿過底部和頂部方形的中心，小鈴鐺筐里裝著小石頭，當舞者在奧曼加雷宴會上戴上項圈時，這些小石頭就會響起來。鈴籃還可以構成有趣的建筑造型。底層方形平滑地匯聚到中圈，然后回到方形屋頂。所有水平交叉點的周長相同。

圖 24.9 小型扭曲封閉式籃子。

我們可以編織一個比 "鈴鐺 "還小的閉合捻線籃。為了避免絞線受到過大的壓力，我們可以用硬紙板做成條狀，然后對折幾次，使展開后的條狀呈現出圖 24.10a 所示的折線。只需一條這樣的紙條，就能編織出圖 24.10b 中的扭曲十面體花籃，它可能會給人帶來美麗的建筑外形靈感。圖 24.10c 從上方顯示了十面體。其所有水平交叉點的周長相同，八個壁面中的每一個都是底面和頂面正方形的四分之一（Gerdes 1998a: Chap. 16）。

圖 24.10 (a) 帶褶皺的長條。(b) 扭轉的十面體籃子。(c) 從上方看十面體。

分形結構：籃筐對建筑的啟示

在莫桑比克北部、坦桑尼亞南部、剛果/扎伊爾地區和塞內加爾，人們編織一種金字塔形的籃子--在莫桑比克北部的馬庫瓦語中稱為 eheleo（圖 24.11）。在坦桑尼亞和莫桑比克，它被用作制鹽的漏斗（Gerdes 1998a: Chap. 10）。eheleo 呈三角金字塔形：它的底部（或漏斗的頂部）是一個等邊三角形，其他三個面是等腰直角三角形。圖 24.12 展示了一個旋轉的 eheleo 金字塔，它是立方體的一部分。eheleo 的形狀對于建筑探索來說非常有趣。圖 24.13 展示了一個探索 eheleo 直角和非洲藝術中相似性思想的結構組成。每一個新加入的金字塔的高度都與上一個金字塔的高度成固定比例（圖 24.13 中的比例為 2/3）。我們可以通過這種層層遞進的方式，將金字塔引入其他金字塔內部（例如，使用玻璃或其他透明材料），從而將分形建筑結構形象化。另一種利用 eheleo 金字塔制作分形建筑結構的方法是將大小不同的 eheleo 金字塔連接在等邊三角形底座上。圖 24.14 展示了構建這種分形結構的前四個階段（從上往下看）。

圖24.11 Eheleo漏斗。

圖24.12立方體中的Eheleo-pyamid

圖24.13 ehe Leo靈感造型的構成。

圖24.14受eheleo啟發的另一種分形建筑結構的構成。第一階段如圖所示。

六邊形編織：來自建筑編織的建議

在非洲的許多地方以及世界上的其他一些地方，工匠們用規則的六邊形孔來編織籃子。這些繩股在三個方向上下編織，形成非常穩定的織物(圖24.15)。在肯亞、馬達加斯加和莫桑比克，工匠們使用六邊形編織技術來制作運輸籃和魚籠。這項技術還被用于其他各種用途:在肯尼亞，用于制作烹飪盤子；在俾格米人(剛果/扎伊爾)和喀麥隆用于編織提籃；在剛果/扎伊爾東北部的梅杰河流域，用來覆蓋罐子；在編織帽子的芒貝圖中。使用六邊形編織技術的籃子制造者也知道，當他們想要編織表面比圓柱表面更彎曲時(換句話說，當他們想要一個有角的籃子時)，如果他們引入一個或多個更小的孔，通常是五邊形的，這是可能的(圖24.16)。這種想法可以在Buckminister Fuller風格的建筑中進行探索。圖24.17顯示了一個編織的半球形圓頂結構，頂部有一個中心五角形孔，周圍有一層五角形孔。許多其他相關的圓頂結構也可以設想:頂部的五邊形孔被一層六邊形孔包圍；頂部的六邊形孔被一層交替的五邊形和六邊形孔包圍；頂部的五邊形孔被一層六邊形孔和一層五邊形孔包圍。(Gerdes 1998a: Chap. 13, 1998b: 40–45)。

圖24.15 六邊形編織技術。

圖24.16六邊形中的五邊形孔

圖24.17只有五邊形孔的半球形穹頂結構腹板。

參考文獻

BOURDIER, Jean-Paul and Trinh MINH-HA. 1985. African Spaces: Designs for Living in Upper Volta. New York: Africana Publishing Company.

CHANGUION, P., T. MATTHEWS and A. CHANGUION. 1989. The African Mural. Cape Town: Struik.

COURTNEY-CLARKE, Margaret. 1986. Ndebele: The Art of an African Tribe. New York: Rizzoli.

———. 1990. African Canvas. New York: Rizzoli.

DENYER, Susan. 1978. African Traditional Architecture. London: Heinemann.

EGLASH, Ron. 1998. African Fractals (in preparation).

GERDES, Paulus. 1990. Ethnogeometrie. Kulturanthropologische Beitrage zur Genese und Didaktik der Geometrie. Bad Salzdetfurth, Germany: Verlag Franzbecker.

———. 1996. Femmes et Ge′ome′trie en Afrique Australe. Paris and Montreal: L’Harmattan.

———. 1998a. Geometrical And Educational Explorations Inspired By African Cultural Activities. Washington DC: MAA.

———. 1998b. Molecular Modeling Of Fullerenes With Hexastrips. Chemical Intelligencer(January 1998): 40–45.

———. 1998c. On Culture and the Awakening of Geometrical Thinking. Minneapolis: MEP Press.

———. 1998d. Women, Art and Geometry in Southern Africa. Trenton, NJ, USA & Asmara, Eritrea: Africa World Press.

GUIDONI, Enrico. 1987. Primitive Architecture. New York: Electa/Rizzoli.

OLIVER, Paul (ed.). 1971. Shelter in Africa. London: Barrie and Jenkins.

WENZEL, Marian. 1972. House Decoration in Nubia. Toronto: University of Toronto Press.

Paulus Gerdes, On Some Geometrical and Architectural Ideas from African Art and Craft

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉發隨意，轉載請聯系張大少本尊，聯系方式請見公眾號底部菜單欄。

掃一掃，關注微信公眾號“宇宙文明帶路黨”