仙人掌形態和數學雕塑

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文描述了仙人掌的形態特征，這些特征與植物的螺旋、分形和密鋪有關。經過更深入地研究可以發現，它們表現出生長異常，即冠狀，其中超線性生長創造了與雙曲幾何和分形曲線相關的結構。還展示了五個最近的抽象粘土雕塑，靈感來自于冠狀仙人掌的形式，并描述了用于建造每一個的方法。

仙人掌形態學與數學

仙人掌的形態表現出分形幾何和混沌、密鋪、多面體以及植物螺旋（斐波那契數）。此外，冠狀仙人掌還表現出超線性生長和雙曲幾何學。要了解數學在這些形態中的作用，了解一些仙人掌形態學的基本知識會有所幫助。有關仙人掌形態學的更多詳情，請參閱參考文獻1。

仙人掌的整體形態多種多樣，如圖1所示。其中包括圓球形（如桶狀仙人掌和枕狀仙人掌）、柱狀（如美洲虎仙人掌和風琴管仙人掌）、分枝【具有圓柱狀（如絨毛仙人掌）或槳葉狀（刺梨】。許多仙人掌都有分枝，但不同種類的分枝程度差異很大[1]。

圖1：a)球形，b)柱狀，c)圓柱形分支，d)槳狀分支形態的仙人掌。

仙人掌的樹枝狀特征被稱為莖，莖上通常有棱紋，當水從根部吸收時，莖會膨脹。在某些物種中，莖被稱為結節的突起所覆蓋(例如，圖1(c))。仙人掌的刺是高度修飾的葉子，由一種高度縮小的樹枝產生，形狀大致為半球形(圖2)。

圖 2：薩瓜羅仙人掌和巴哈風琴管仙人掌的窠和刺。

在許多仙人掌物種中，有兩種視覺上有趣的生長異常現象，即嵴狀生長和冠狀生長 [2]。這些情況是基因缺陷和生長前端（頂端分生組織）受損共同作用的結果。它們會從根本上改變植物的形態，通常會形成奇異的形態，尤其是在冠狀標本的情況下，具有相當的雕塑美感（圖 3）。在冠狀生長中，一點的生長被沿著一條線的生長所取代，而在畸形生長中，生長發生在許多不協調的點上，通常會導致腫塊和不對稱的形態 [2]。在正常的柱狀仙人掌中，隨著植株變大，偶爾會出現額外的肋。圖 3（b）就是一個例子，其外觀類似于晶格中的錯位[3]。在冠狀形態中，有許多這樣的“錯位”，以適應超線性生長。

圖3：a)冠狀仙人掌；b)對“錯位”的特寫；c)頂部區域的細節。

分形結構在仙人掌分枝和其他分枝植物中是明顯的。這種分支是混亂的，在植物的發育過程中有微小的差異，可能包括環境因素，導致基于相同的基本遺傳指令的相當多的形式。和其他植物一樣，仙人掌的根部也有分枝。

在某些種類的仙人掌中，植物的表面基本上被窠覆蓋。對于圓柱截面，這些圖案可以被認為是包裹在圓柱體周圍的平面鑲嵌。在仙人掌中，平行四邊形的邊對邊鑲嵌是對觀察到的圖案的一種適當的近似，如圖4(a)所示。莖的圓形末端可以被看作是球體或多面體的鑲嵌圖案(圖4(b))。此外，通過在球體上均勻分布點的問題，刺在窠上的分布與多面體有關(圖2)。然而，在仙人掌的情況下，通常有一個大的中心刺，在邊緣附近有較小的刺。

圖4：窠鑲嵌在a)仙人掌的圓柱形區域和b)枕形仙人掌的圓形末端。

仙人掌中窠的分布一般呈斐波那契螺旋狀。圖 5（a）是一個例子，在一張枕狀仙人掌的照片上畫出了連接窠的螺旋線。在這種情況下，有8條螺旋線沿一個方向旋轉，13條沿另一個方向旋轉。圖 5(b) 顯示了具有相同數字的未燒制粘土雕塑，使用定制的粘土工具在光滑的空心球形粘土上刻畫出弧形凹槽。這與菠蘿或松果裝飾雕塑元素（如頂飾，通常由木材制成）有些相似。它們通常呈現鏡面對稱，每個方向的螺旋數量相同，在這種情況下，它們并不能準確反映自然界中的斐波納契螺旋[4]。

圖5: a)亞利桑那州魚鉤仙人掌的葉狀螺旋。b)使用相同斐波納契數8和13 (2022，未燒制)的泥塑。

冠狀仙人掌

不同種類的仙人掌由于冠狀花序而引起的形態變化差異很大。雖然術語“指數增長”通常用于由超線性增長引起的波浪表面，但這種增長不一定是指數增長。因此，這里使用“超線性增長”。冠狀仙人掌沿著線形前緣生長，可以形成扇形，波浪形，在某些情況下，嚴重折疊的形式讓人聯想到分形曲線。桶狀和針墊狀的球形仙人掌呈密集折疊的外形，類似于腦珊瑚[5]或雙曲鉤針[6]，如圖6所示。在這些植物中，折疊結構的密度是如此之高，以至于很難看到內部發生了什么，特別是與之相應的高密度的刺遮蔽了人們的視線。柱狀仙人掌，如仙人掌和藍桃金娘，以及枝狀仙人掌，如跳膽，通常表現出局部扇形。在柱狀仙人掌中，扇形形式通過引入許多額外的肋骨或“脫位”而促進，如圖3(c)和7(a)所示。在有明顯結節的膽囊中，扇形與額外的結節行相適應(圖8)。

同樣值得注意的是“兔耳朵”刺梨的扭曲形狀(圖1(d)中的規則形狀)。如圖7(b)所示，這些植物的槳葉由于超線性生長而起伏。這種植物既被描述為冠狀植物，也被描述為怪物[2,7]，但似乎沒有表現出沿線生長，這似乎是冠狀植物的一個定義特征。

圖6：a)冠狀金色桶形仙人掌b)有大致向外可見的生長前沿。

圖7：a)大型有羽冠的藍色桃金娘仙人掌的扇形形態，展示了額外的肋骨是如何適應超線性生長的。b)怪物“兔子耳朵”仙人球仙人掌。兩張照片都是在亞利桑那州鳳凰城的沙漠植物園拍攝的。

正常仙人掌的生長發生在樹枝末端的單個點上，而冠狀仙人掌的生長是沿著線發生的。這擾亂了通常觀察到的斐波那契數列螺旋模式。在圖8中，描繪了冠狀仙人掌嵴臂的形態。在一定程度上可以追蹤有冠臂中彎曲的結節行(盡管斷裂和無序區域是不可避免的)，但在生長前沿附近的分布太混亂了，以至于無法說明行數。從一個點來看，這種無序也可以在斐波那契數列螺旋增長的中心附近看到，但通常來說，在離中心稍遠的地方計數螺旋是很簡單的。

圖8：a)羽冠跳蛛的扇形形態，b)生長曲線。

受到冠狀仙人掌啟發的雕塑作品

冠狀仙人掌是最近幾件陶瓷雕塑的靈感來源。這些作品都是抽象作品，其形式以仙人掌的冠狀花序為基礎，而不是逼真的仙人掌形象。這些作品沒有試圖塑造逼真的窠，也沒有加入刺。有些作品甚至連整體形態都與真實的仙人掌沒有密切聯系。

帶有脊狀結構和“錯位”的雙曲面，如上圖3和圖 7(a)，是最近兩件作品的靈感來源。在第一件名為 "Groovy Hyperbolic Form "的作品中，我首先制作了一個雙曲面，然后用專門制作的粘土工具將脊壓入其中（圖 9）。壓脊的過程相對容易，但制作出來的作品并沒有完全體現出仙人掌的雕塑感。第二件作品名為“鳳冠仙人掌形態”，我首先制作了一個三葉表面，每個葉片都有一些雙曲線特征。如圖10(a)所示，我剪下橫截面為三角形的木條，然后將它們逐一粘貼在一起。這是一個相對費力的過程，在槳葉的邊緣，兩邊的條帶以拉鏈的方式相接，需要相當小心。圖 10b 所示的雕塑結果更好地捕捉到了這些植物的復雜結構。

在冠狀仙人掌中，觀察到生長沿著一條線進行。雖然有許多關于冠形植物生長的文章(如參考文獻8)，但我不知道任何數學模型。相比之下，從一個點開始的葉序已經被模擬了一個多世紀[9]。由于植物是由細胞組成的，一條連續的線顯然不是一個準確的模型。因此，一個合理假設是，增長是從一系列密集的點開始的。這些可以很容易地用葉序螺旋模型。在圖11(a)中，三個這樣的螺旋沿著一條線隔開。試圖以圖形方式延伸旋臂，使它們相互作用，形成類似于圖8所示的一系列曲線。注意，額外的行(錯位)從中心向外引入幾行，以獲得更均勻的間距。線之間產生的枕狀區域，對應于仙人掌中的小窩，是四邊形的(忽略輕微的彎曲)，除了成對生長中心中間的四個位置和從連接中心的線的任一方向偏移。在這四個地方，仍有較大的區域，由六條曲線圍成。圖11(b)顯示了厚槳狀粘土形式的實施，其中使用定制的手工粘土和木制工具形成凹槽。

圖9：靈感來自冠狀的仙人掌的陶瓷雕塑a)在雙曲粘土表面制作的凹槽細節；b)成品，“絕妙的雙曲形式”(2021)。

圖10：陶瓷雕塑的靈感來自冠狀藍色桃金娘仙人掌:a)建造方法，用三角形的條附在槳狀的形式上；b)成品，“冠狀仙人掌形狀”(2021)。

球狀仙人掌(如圖6)的冠頂與柱狀仙人掌的冠頂截然不同，其表面結構與腦珊瑚相似。隱藏底層結構的密集表面特征與空間填充曲線有關。受這些形式啟發的泥塑，具有超線性生長和大致半球形的外殼，如圖12所示。這些曲線并不是事先計劃好的，而是通過捏一個厚的環狀粘土塊，有意識地避免規則的結構而創造出來的。我以前展示過類似的雕塑，它們有精心設計的分形曲線結構[10，11]。

創建一個如圖12所示的雕塑依賴于能夠收縮和塑造表面，以建立超線性增長，而不允許如圖6所示的密集堆積。結果，這些特征變得狹窄，創造了一個與冠狀球狀仙人掌截然不同的外觀。還要注意，圖12的脊都是一條連續的線。雖然單個完整的生長前沿似乎有可能在有冠的球狀仙人掌中形成，但在圖6中映入眼簾的是一組虛線。斷裂是由于生長前沿在植物的整個外殼中折疊得太深而不可見。

為了更好地捕捉這種外觀，我在一個大致呈半球形的底座表面上涂上厚厚的粘土條，制作了另一個雕塑(圖13(a))。內部結構顯然與冠仙人掌或腦珊瑚不相似，但可見部分更忠實地再現了它。雖然最終的作品，如圖13(b)所示，在整體形式上有點類似于冠狀球狀仙人掌，但缺乏脊和刺使它無法聯想到仙人掌。取而代之的是光滑的管狀生物實體，如蠕蟲或腸道。

圖11：三組相互作用的葉序螺旋線a)紙上設計，b)泥塑(2022，未燒制)。

圖12：受有冠球狀仙人掌啟發的泥塑(2022，未燒制)a)建造方法，基于捏一個厚的粘土盤；b)完全構建的部件。

圖13：受冠狀球狀仙人掌啟發的泥塑(2022，未燒制):a)建造方法，用泥帶固定在半球形底座上；b)完全構建的部件。

總結和結論

我描述了仙人掌結構中的數學特征，并仔細觀察了表現出稱為冠狀的生長異常的植物。葉序螺旋、分形結構和雙曲線特征都在這些植物中起作用。還展出了五件受冠狀仙人掌造型啟發的泥塑作品。這項工作可以通過雕刻更復雜的形式來擴展，更好地捕捉圖7a中仙人掌展示的戲劇或圖6中仙人掌的復雜性。也可以開發由點生長源線產生的生長特征的更詳細的數學模型。本文中所有的照片都是我拍攝的，所有的植物都在我亞利桑那州的院子里，除非另有說明。

參考文獻

[1] Wikipedia. “Cactus.” https://en.wikipedia.org/wiki/Cactus.

[2] G. Stein. “Dave’s Garden – Cristate and Monster Succulents.” 2011.

https://davesgarden.com/guides/articles/view/3448.

[3] Wikipedia. “Crystallographic Defect.”

https://en.wikipedia.org/wiki/Crystallographic_defect#Line_defects.

[4] Google image search using the search string “pineapple pinecone finial”.

[5] Wikipedia. “Brain coral.” https://en.wikipedia.org/wiki/Brain_coral.

[6] D. Taimina. Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes. CRC Press, 2019.

[7] Llife Encyclopedia of Living Forms. “Opuntia microdasys f. monstruosa hort.”

http://www.llifle.com/Encyclopedia/CACTI/Family/Cactaceae/19885/Opuntia_microdasys_f._monstruosa.

[8] N.H. Boke and R.G. Ross. “Fasciation and Dichotomous Branching in Echinocereus

(Cactaceae).” Amer. J. Botany, Vol. 65, No. 5, 1978, pp. 522–530.

[9] D.W. Thompson. On Growth and Form. Cambridge University Press, 1917.

[10] R.W. Fathauer. “Sculptural Forms Based on Radially-developing Fractal Curves.” Bridges Conference Proceedings, Waterloo, Canada, 2017, pp. 25–32.

https://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-25.html.

[11] R. Fathauer, “Robert Fathauer – Art Inspired by Mathematics and Nature.”

http://robertfathauer.com/.

[12] R.W. Fathauer, Crested Cactuses and Mathematical Sculpture

青山不改，綠水長流，在下告退。

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