幾個方程和函數單調性凸凹性等性質解析（12）

幾個方程和函數單調性凸凹性等性質解析（12）

內容目錄：

1.求函數y=sin(2x+π/3)在[0,2π]上的單調區間

2.函數y=ln(46+40sinx)的單調凸凹性質歸納

3.曲線方程y=e^(3x+4y)的主要性質

4.函數y=ln[(84+x)/(197-x)]的單調和凸凹區間

1.求函數y=sin(2x+π/3)在[0,2π]上的單調區間

主要內容：

本文根據正弦函數y=sinx的單調性質，求解函數y=1sin(2x+π/3)在給定區間[0,2π]上的單調增區間和減區間。

詳細步驟：

解：對于正弦函數y=sinx，

其單調增區間為：[2kπ-π/2,2kπ+π/2],

其單調減區間為：(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)，k∈Z。

對于本題，y=sin(2x+π/3)，有：

(1)當2kπ-π/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2時，

即:2kπ-5π/6≤2x≤2kπ+π/6,

2kπ/2-5π/12≤x≤2kπ/2+π/12，

此時結合x給定區間[0,2π]，并對k取值，求得：

取k=0時，增區間為[0，π/12],

取k=1時，增區間為[7π/12，17π/12]，

取k=2時，增區間為[19π/12，25π/12]，

取k=3時，增區間為[31π/12，37π/12]。

(2)當2kπ+π/2≤2x+π/3≤2kπ+3π/2時，

即：2kπ+π/6≤2x≤2kπ+7π/6,

2kπ/2+π/12≤x≤2kπ/2+7π/12，

此時結合x給定區間[0,2π]，并對k取值，求得：

取k=0時，減區間為[π/12，7π/12],

取k=1時，減區間為[17π/12，19π/12]，

取k=2時，減區間為[25π/12，31π/12]，

取k=3時，減區間為[37π/12，43π/12]。

2.函數y=ln(46+40sinx)的單調凸凹性質歸納

主要內容：

本文主要介紹三角與對數的復合函數y=ln(46+40sinx)的定義域、單調性和凸凹性，并用導數知識解析函數的單調區間和凸凹區間。

※.函數定義域：

因為-1≤sinx≤1，

所以-40≤40sinx≤40，則有：

0＜6=46-40≤46+40sinx≤40+46=86，

則函數y=ln(46+40sinx)的真數部分為正數，符合定義要求，所以該函數的定義域為全體實數，即定義域為：(-∞，+∞)。

※.函數單調性：

由導數的知識來求解和判斷。

∵y=ln(46+40sinx)，

∴dy/dx=40cosx/(46+40sinx),

令dy/dx=0,則cosx=0，此時x=kπ+π/2,k∈Z.

函數的單調性為：

(1)當cosx＞0,即x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]時，dy/dx＞0，此時函數為增函數；

(2)當cosx＜0,即x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]時，dy/dx＜0，此時函數為減函數。

※.函數凸凹性：

因為dy/dx=bcosx/(46+40sinx)，

所以d^2y/dx^2

=40[-sinx(46+40sinx)-40cosxcosx]/(46+40sinx)^2,

=-40(46sinx+40sin^2x+40cos^2x)/(46+40sinx)^2

=-40(46sinx+40)/(46+40sinx)^2.

(1)當-(46sinx+40)≥0時，即46sinx+40≤0，則：

[2kπ+π+arcsin(20/23),2kπ+2π-arcsin(20/23)],此時d^2y/dx^2≥0，函數為凹函數，該區間為函數的凹區間。

(2)當-(46sinx+40)＜0時，即46sinx+40＞0，則：

[2kπ-arcsin(20/23),2kπ+π+arcsin(20/23)],此時d^2y/dx^2＜0，函數為凸函數，該區間為函數的凸區間。

3.曲線方程y=e^(3x+4y)的主要性質

※.曲線方程的定義域

曲線方程表達式為y=e^(3x+4y),即y>0,且lny=3x+4y，

則：3x=lny-4y.設3x=F(y)=lny-4y,把y看成自變量，求導得：

F＇(y)=(1/y)-4=(1-4y)/y，令F＇(y)=0，則y=1/4.

當0時，F＇(y)>0;當y>1/4時，F＇(y)<0.

所以，當y=1/4時，F(y)有最大值，即：

3x=F(y)≤F(y)max=-(1+ln4)

x≤-(1+ln4)/3≈-0.80,

即曲線方程的定義域為：(-∞，-0.80]。

※.曲線方程的單調性

對方程兩邊同時對x求導，得：

y=e^(3x+4y)

y＇=e^(3x+4y)(3+4y＇)

y＇=3e^(3x+4y)/[1-4e^(3x+4y)]

即：y＇=3y/(1-4y).

導數y＇的符號與(1-4y)的符號一致。

曲線方程的單調性為：

(1).當y∈(0,1/4]時，y＇＞0，此時曲線方程y隨x的增大而增大；

(2).當y∈(1/4,+∞）時，y＇＜0，此時曲線方程y隨x的增大而減小。

※.曲線方程的凸凹性

∵y＇=-3y/(4y-1)，

∴y＂=-3[y＇(4y-1)-4yy＇]/(4y-1)^2

=-3y＇/(4y-1)^2

=3^2y/(1-4y)^3

則y＂的符號與(1-4y)的符號一致。

曲線方程的凸凹區間為：

(1).當y∈(0,1/4]時，y＂＞0，此時曲線方程為凹曲線;

(2).當y∈(1/4,+∞）時，y＂＜0，此時曲線方程為凸曲線。

4.函數y=ln[(84+x)/(197-x)]的單調和凸凹區間

主要內容：

在函數的定義域要求的前提下，通過計算函數的一階導數和二階導數，得函數的駐點和拐點，進而求解函數y的單調性和凸凹性。

步驟一：求解定義域

∵(84+x)/(197-x)>0

∴(x+84)(x-197)<0,則：

-84197,即函數的定義域為：

(-84,197)。

步驟二：求解單調區間

∵y=ln[(84+x)/(197-x)]

∴dy/dx

=[(197-x)/(84+x)]*[(197-x)-(84+x)*(-1)]/(197-x)2

=281/[(x+84)(197-x)]，結合定義域，可知dy/dx>0，

即函數在定義域上為單調增函數，則函數的增區間為：

(-84,197)。

步驟三：求函數的凸凹性區間

∵dy/dx=281/[(x+84)(197-x)],

∴d2y/d2x

=-281*[(197-x)+(x+84)*(-1)]/[(x+84)(197-x)]2

=281(2x-113)/[(x+84)(197-x)]2。

令d2y/d2x=0,則：2x-113=0，得x=113/2。

（1）.當x∈[113/2,197)時,d2y/d2x>0,則函數為凹函數，該區間為凹區間。

（2）.當x∈(-84,113/2)時,d2y/d2x<0,則函數為凸函數，該區間為凸區間。