超圖與超超圖分子模型：加權、粗糙、神經及多極框架

HyperGraph- and SuperHyperGraph-Based Molecular Models: Weighted, Rough, Neural, and Multipolar Frameworks

超圖與超超圖分子模型：加權、粗糙、神經及多極框架

https://chemrxiv.org/doi/pdf/10.26434/chemrxiv-2025-gb6gq

摘要

我們提出了一個統一的集合論框架，通過迭代冪集將分子圖擴展為超圖和超超圖。我們定義了分子圖、分子超圖和分子超超圖，并在其上開發了四種補充框架：加權、粗糙、神經和多極框架。我們證明了簡潔的包含關系結果——最值得注意的是，加權分子超超圖嚴格包含加權分子超圖和（未加權的）分子超超圖——同時在規范嵌入下保持交替路徑距離。簡潔的示例（例如，甲烷、乙醇、乙酸）說明了原子、鍵、官能團和高階模體如何在秩約束下作為頂點、超邊和超超邊出現。我們還提供了用于可變元相互作用的與實現無關的消息傳遞規則，使得化學和化學生物學中的性質預測和層次分析成為可能。

關鍵詞

粗糙分子圖，分子圖，加權分子圖，超超圖，超圖，神經網絡

1 預備知識

本節匯總了全文中使用的基本概念與符號。除非另有明確說明，所討論的所有集合均為有限集。

1.1 冪集和迭代冪集

對于集合 S ，冪集 P ( S )
是 S 的所有子集的族，包括空集和 S 本身。 S 的 n 次迭代冪集是通過從 S 開始連續應用冪集運算 n 次而得到的 [1,2]。

1.2 超圖和超超圖

超圖通過允許每條超邊連接頂點集的任意非空子集，擴展了普通圖論，從而捕捉實體之間的高階關系 [7–11]。超超圖通過迭代冪集構造將這一想法進一步推進，使得頂點和邊本身可以是從基集的連續冪中提取的集合，從而實現多層和自指連接模式 [12–15]。由于這種表達能力，超超圖最近在各個領域引起了越來越多的興趣和應用 [16–21]。

定義 1.6（超圖）。[7, 22] 給定一個有限頂點集 V V，超圖是一個二元組

1.3 分子超圖和超超圖

分子圖是一種用于表示分子的數學結構，其中原子被建模為頂點，化學鍵被建模為邊 [24–29]。分子超圖表示分子，其中頂點是原子，超邊表示多原子相互作用或分子子結構 [30–32]。分子超圖的定義如下所示。

定義 1.10（分子超圖）。[33] 分子超圖是一個節點和超邊標記的超圖，用于建模分子的原子和鍵合結構。形式上，一個分子超圖：

2 主要結果

在本節中，我們提出了本文的主要貢獻，即生物網絡、生物超網絡和生物超超網絡的定義及具體示例。

2.1 加權分子超超圖

2.1.1 加權分子圖

加權分子圖是一種分子圖，其中頂點和邊分別表示原子和鍵，每個都被賦予捕捉化學性質的數值權重（參見 [34–39]）。

定義 2.1（加權分子圖）。加權分子圖是一個有限簡單無向圖

2.1.2 加權分子超圖

一種分子超圖，其中原子超邊和鍵節點帶有標簽和權重，通過定量結構描述符對多原子相互作用進行建模。

注 2.5（兩種等價的表述）。存在兩種有用的（關聯對偶）表述：

1. 以鍵為中心（上文所用）：頂點是鍵，超邊是收集關聯鍵的原子。
2. 以原子為中心（對約簡為圖很有用）：頂點是原子，超邊是（多原子）相互作用；當每條超邊的大小為 2 時，這與普通圖一致。

兩者之間的轉換是通過二分關聯圖上的標準關聯對偶實現的；我們在能簡化證明的地方分別使用這兩種表述。

此處共價鍵被歸一化至接近 1.0，羰基鍵稍強（1.2），而氫鍵較弱（0.30）。氧超邊比碳超邊具有更高的遍歷代價；氫的代價最低。

一條具有診斷價值的交替路徑始于氫鍵，終于酸性 O–H 鍵：

2.2 粗糙分子超超圖

2.2.1 粗糙分子圖

粗糙集（Rough Set）提供了一種數學工具，通過近似元素集合來處理不確定信息 [40–42]。粗糙圖（Rough Graph）將粗糙集理論擴展到圖中，其中關系（邊）的不確定性通過下近似和上近似來表示 [43–45]。

2.2.2 粗糙分子超圖

我們將粗糙近似提升到分子超圖層面，允許在鍵（在以鍵為中心的表述中即為超圖頂點）和原子（即超邊）上存在不可分辨性。全文中，我們基于一個固定的分子超圖

由于溶液中所有的環碳原子（及其關聯鍵）在實驗上是不可分辨的，因此無法確定地斷言任何特定的碳位點：下 RMHG 為空。然而，任何碳位點都是可能的，所以上 RMHG 包含所有六個碳超邊，相應地，也包含所有 C–C 鍵和 C–H 鍵。這與真實的苯的情形相符，即在觀測時間尺度上，快速的保對稱動力學使得位點標記被平均化。

2.2.3 粗糙分子超超圖

一種帶有下近似和上近似的層級分子超超圖，在粗糙集理論下對不確定的原子相互作用和嵌套分子子結構進行建模。

例 2.39（乙酸 - 水氫鍵作為一種 RMSHG）。我們展示了一個具體的實際粗糙分子超超圖（RMSHG），它構建于帶有一個水分子的溶劑化乙酸 CH3COOH 之上。氫鍵隨機地形成和斷裂；我們通過粗糙（下/上）近似來捕捉這種不確定性。

由于供體/受體角色快速交換且兩個單體不可區分，無法確定地斷言任何單一的定向氫鍵（下RMSHG不包含任何氫鍵）。然而，兩種定向氫鍵超邊都是可能的（上RMSHG包含兩者），這忠實地反映了真實環狀二聚體的對稱、動態變化的氫鍵網絡。

2.3 分子圖神經網絡

2.3.1 分子超圖神經網絡

分子圖神經網絡是在圖上運行的深度學習框架，其中原子被視為頂點，化學鍵被視為邊，使得能夠通過迭代消息傳遞來學習分子性質 [51–55]。分子超圖神經網絡將這一思想擴展到超圖，其中超邊同時連接多個原子，允許模型捕捉比普通圖更高階的化學相互作用和更復雜的結構基元 [31, 56, 57]。

預測與任務。經過 T 層后，一個置換不變的讀出產生一個圖級表示，用于諸如水溶性 (logS) 等性質：

2.3.2 分子超超圖神經網絡

2.4 多極分子圖

2.4.1 多極分子圖

多極分子圖是結合了球諧多極系數的分子圖，允許以數學上嚴謹的方式表示原子位置和權重，從而產生旋轉不變的分子形狀描述符。

定義 2.50（具有幾何結構和權重的分子圖）。具有幾何結構的分子圖是一個元組

2.4.2 多極分子超圖

多極分子超圖將這一思想擴展到超圖，其中原子超邊和鍵節點同時攜帶權重和多極展開，從而捕捉具有內置幾何不變性的多原子相互作用和結構基元。

定義 2.57（具有幾何結構和權重的分子超圖）。具有幾何結構的分子超圖是一個元組

2.4.3 多極分子超超圖

多極分子超超圖通過將多極描述符嵌入到分層超超圖結構中，進一步推廣了這些構造，統一了圖、超圖和多級超超圖框架，并使得能夠跨越多個結構尺度對復雜分子系統進行更深層的表示。

3 結論

在本文中，我們研究了用于分子圖、分子超圖和分子超超圖的加權、粗糙、神經和多極框架。在未來，我們期望研究將在本文所處理的圖概念的擴展方面取得進展，包括融合模糊圖 [58–60]、直覺模糊圖 [61–63]、中智圖 [64–66]、雙向圖 [67–69]、四劃分中智圖 [70–73]、五劃分中智圖 [74, 75] 以及胎盤生成圖 [76–78]。

原文鏈接：https://chemrxiv.org/doi/pdf/10.26434/chemrxiv-2025-gb6gq