監測預警基礎16-季節指數的另一種計算方法：移動平均趨勢剔除法

系列簡介

這是我們一系列原創技術貼，從易到難，每天學習一點。所有內容均為疾控數據分析、科研論文相關，或者說很多和現在的熱門監測預警相關，所以我們這個系列就叫“監測預警基礎”。

今天是第16節，內容是另外一種季節指數的計算方式。

上一篇介紹的基礎季節指數法有個致命前提：數據沒有明顯的長期趨勢。

現實場景當當數據存在長期趨勢時，用簡單的“同月平均/總平均”來計算季節指數會失真。這是因為長期趨勢會“污染”季節指數的計算。
具體來說，如果數據有上升趨勢，那么后期月份的數值普遍較高，前期月份的數值普遍較低。
這樣，在計算同月平均時，后期的高值會拉高該月份的平均值，而前期的低值會拉低該月份的平均值。但注意，由于趨勢的存在，同月平均實際上包含了趨勢的影響，而總平均也是包含趨勢的。
然而，季節指數應該只反映季節性波動，不應該包含趨勢成分。
所以，我們需要一種方法將趨勢從數據中剔除，然后再計算季節指數。

移動平均趨勢剔除法的本質是：先通過移動平均估計趨勢成分，然后從原始數據中剔除趨勢，得到季節成分和隨機成分的混合，最后通過平均來消除隨機成分，得到純季節成分。具體步驟的數學含義如下：

第一，計算12個月移動平均：因為季節周期是12個月，所以用12個月的平均可以消除季節性，得到趨勢成分（T）和部分隨機成分（I）。注意，移動平均的期數必須等于季節周期長度，這樣才能完全消除季節性。

第二，中心化移動平均：由于12是偶數，12個月移動平均值對應的時間點是中間兩個月的中間點（比如第6和第7個月之間，即6.5），而我們的數據是月度數據，所以需要將兩個連續的移動平均再平均，將其對齊到具體的月份（比如第7個月）。這樣得到的中心移動平均（CMA）就是趨勢成分（T）的一個估計。

第三，計算比值（原始值/中心移動平均）：原始數據（Y）可以分解為趨勢（T）、季節（S）和隨機（I）成分。在乘法模型中，Y = T × S × I。我們用CMA估計了T，那么Y / CMA = (T × S × I) / T = S × I。這個比值就是季節成分和隨機成分的混合。

第四，計算同月平均比值：對每年的同一月份的比值求平均，可以消除隨機成分（因為隨機成分的期望為0，或者假設隨機成分的均值為1），得到純季節成分（S）的估計。

第五，調整季節指數：由于每個月的季節指數是相對于趨勢的比值，我們希望全年的季節指數平均值為1（或總和為12，對應12個月）。所以通過調整系數，使得12個月的季節指數總和為12，即平均值為1。

這樣，我們就得到了剔除趨勢后的季節指數，它反映了在排除長期趨勢后，各月份相對于趨勢的平均波動幅度。

為什么這種方法能更準確地反映季節性？因為它在計算季節指數之前，先去除了長期趨勢的影響。這樣，無論數據是上升還是下降趨勢，計算出來的季節指數都只反映季節性的相對強度，而不受趨勢干擾。

基本步驟說明如下：

第一，計算移動平均值(如果是季度數據，則采用4項移動乎均，月份數據則采用12項移動平均)，并對其結果進行中心化處理，也就是將移動平均的結果再進行一次二項移動平均，即得出中心化移動平均值(CMA).

第二，計算移動平均的比值，也稱為季節比率，即將序列的各觀察值除以相應的中心化移動平均值，然后計算出各比值的季度(或月份)平均值。

第三，季節指數調整。由于各季節指數的平均數應等于1或100%，若根據第2步計算的季節比率的平均值不等于1，則需要進行調整。具體方法是將第2步計算的每個季節比率的平均值除以它們的總平均值。

下面通過實際例子說明季節指數的計算過程，有一份2020-2025年每月病例數的例子，操作步驟如截圖所示：

我們再通過畫圖理解一下這幾個數據和操作，就很清楚了：

紅色線（病例數）：原始序列 Y = T × S × I

綠色線（CMA）：趨勢成分 T

紫色線（比值）：季節+隨機成分 S × I

藍色線（季節指數）：純凈季節成分 S

編輯：普通疾控人 | 審核：詩酒趁年華

文章來源 | 原創

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