時空對稱性視角下，量子力學需要虛數

近日《返樸》刊發的《量子力學需要虛數嗎？》一文，引發了一些討論。本文從時空對稱性的角度來看量子力學是否需要虛數（復數）。答案是肯定的。

撰文 | 1/137, Estelle

《返樸》最近刊登的《量子力學需要虛數嗎？》（以下簡稱《虛數》）一文，對于虛數是否在量子力學中起到本質的作用這一古老問題的新進展[1, 2, 3]，做了解讀。本文不打算就文中實數系量子力學理論本身置喙，而從另外的對稱性的角度對復（虛）數在量子力學中的必要性做一簡單評論。

眾所周知，相對論和量子力學是現代物理學的兩大基石（二者的融合則產生了量子場論），而對稱性更是貫穿其中的主旋律。對于狹義相對論，洛倫茲群及其群代數反映了理論的時空結構，并且在低速極限下，“退化”（收縮）為伽利略群及其群代數。相應的對稱性則要求物理理論在群變換下保持不變。

其中m是粒子的質量。我們關心薛定諤方程在（伽利略）時空變換下的性質是怎樣的。

考慮伽利略時空變換：兩個慣性坐標系S和S’中，S’以速度V相對于S沿+x向運動。設t = 0時刻兩個參考系的原點重合，涉及的運動是非相對論性的，則

由伽利略變換可得時空坐標微分關系，

我們問：在伽利略變換下薛定諤方程的形式不變，即

這一對稱性要求對波函數ψ(x, t)產生何種約束？首先，一個最簡單的選擇是令S′系的波函數ψ'和S的波函數ψ系滿足純實函數，且

則不難發現，新的S’系的薛定諤方程不能滿足伽利略不變性。這個結果很容易得到，就不在此贅述，而作為后文運算的特例給出結果。

但是，如果波函數并不是實函數，而是復函數——畢竟，在量子力學中，對稱變換下的不變性只要求波函數的模不變——因此，在時空不變群的變換下，最一般的波函數變換形式應取：

其中Λ(x, t)是相因子（顯然，當Λ = 0 時就是前文實函數的情形）。則根據前面微分的變換(3)，有：

以及，

保持伽利略不變性要求ψ項和?ψ/?x項前的系數須為零，故有：

這兩個方程包含以下關系：

由此不難確定相位Λ(x, t)：

已忽略一個無關緊要的常數。從以上推導可以看出，對稱性對時-空間導數加以很強的限制。最后的結果意味著，在時空對稱性的約束下，復數幾乎必然是（非相對論）量子力學不可分割的一部分。特別是，這個結果存在一個簡單的副產品：當取波函數為（一維）行波時，易得頻率（或波長）的變換關系，從而對德布羅意波粒二象性，? → 0 的經典極限有更深的理解，這在本科量子力學教學中是個極好的例子。

這里“幾乎”的涵義是，我們只簡單論證了自由粒子的情況，未包括任何勢場的情況，也未包括電磁相互作用的最小耦合（這時問題有些非平庸，機械動量和正則動量通過最小耦合相聯系P = p - eA，A是矢勢），相對論的情形更是未加以考慮，但是作者相信，在基本原理層面不會發生本質改變。

更進一步，以上結果，用群論的語言來說，這就是 Bargmann（中心擴張）定理，質量參數作為相關的中心荷進入量子伽利略代數中，使得經典伽利略代數在量子力學中通過投影表示 (Projective Representation) 實現伽利略協變性（請參考有關群論教材）。不過作為簡評，就不再贅述了。

最后劃一下本短評重點：物理理論在時空變換下不變的對稱性要求導致復數幾乎不可避免地成為量子力學的一部分。

參考文獻

[1] Ming-Cheng Chen et al, Ruling Out Real-Valued Standard Formalismof Quantum Theory, Phys. Rev. Lett. 128, 040403 (2022).

[2]P. B. Hita et al, Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description, arXiv:2503.17307 (2025).

[3] T. Hoffreumon, M. P. Woods, Quantum theory does not need complexnumbers, arXiv:2504.02808 (2025).

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