超導體中渦旋線的Berry相和Magnus力

Berry's Phase and the Magnus Force for a Vortex Line in a Superconductor

超導體中渦旋線的Berry相和Magnus力

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.70.2158

摘要

我們通過計算零溫下絕熱運動繞閉回路產生的貝里相位，證明了馬格納斯力的存在是超導體中渦旋線的普遍性質。我們發現，在超導態中，無序和電磁場對馬格納斯力的存在沒有影響，且其大小正比于超流電子密度。

渦旋線的運動在理解超導體的許多性質方面起著關鍵作用 [i]。然而，關于超導體中單個運動渦旋線是否存在馬格努斯力（Magnus force）的問題至今仍未解決 [2]。過去十年材料科學的進展，使得對諸如超電流的量子衰減 [3]、霍爾效應 [4] 以及反常霍爾效應 [5] 等動力學效應進行定量研究成為可能。由于馬格努斯力在這些效應中扮演重要角色，其存在性問題最近重新引起了關注 [3–6]。支持馬格努斯力存在的論點最早由 Friedel、de Gennes 和 Matricon 提出 [7]。然而，也有不同作者得出了相反的結論，認為超導體中不存在馬格努斯力 [8,9]。Bardeen [8] 指出，Friedel 等人的論證中存在錯誤。

有趣的是，這兩種觀點似乎都有實驗支持。通過指出實驗中必須考慮釘扎（pinning）和摩擦等細節，Nozières 和 Vinen [10] 解決了這一爭議。他們發現，若適當考慮這些細節，兩種對立理論在解釋當時已有實驗時幾乎沒有差別。盡管如此，Nozières 和 Vinen [10] 仍將經典理想流體的結果應用于超導體，從而支持馬格努斯力的存在。此外，有研究表明，若含時金茲堡–朗道（TDGL）方程具有非線性薛定諤方程的形式，則會出現馬格努斯力 [6]。盡管馬格努斯力被認為是渦旋線的一般性質 [11]，但上述所有支持超導體中渦旋線存在馬格努斯力的唯象論證均不能令人滿意。

由于在接近零溫時缺乏對 TDGL 方程的微觀推導，任何基于 TDGL 方程得出的關于馬格努斯力的結論都值得懷疑。事實上，基于不同形式 TDGL 方程得出的結果是相互矛盾的 [3,6,9]。Nozières 和 Vinen [10] 的論證不僅是唯象的，而且僅適用于干凈且極端第二類超導體極限，即無無序且電磁場影響可忽略的情形。由于在超導體中，量子化磁通總是與渦旋線相關聯，且無序通常存在，因此 Nozières 和 Vinen 的論證尤其不能令人滿意。由于缺乏對馬格努斯力的微觀推導，以及對無序和電磁場影響的清晰處理，關于其存在的質疑仍然存在 [2]。

鑒于馬格努斯力在超導體眾多效應中的重要作用 [3–5]，以及與之相關的重要后果（如開爾文模，即沿渦旋線的圓振動 [7]），對馬格努斯力是否存在這一重要問題給出一個明確答案是必要的。本文的目的正是在零溫下提供這樣一個答案。

在本文中，我們發現馬格努斯力的存在是渦旋線的一般性質，且不受無序和電磁場存在的影響。接下來，我們通過計算與絕熱運動相關的貝里相位（Berry phase），對馬格努斯力進行微觀推導。

為清晰起見，我們考慮一個二維超導薄膜，處于零溫狀態。薄膜位于 x–y 平面，在實驗室參考系中靜止。該論證可輕易推廣至三維情形。若薄膜非均勻，渦旋的能量可能依賴于其位置。我們首先取大 k 極限，此時渦旋對磁場的修正可忽略不計。

我們利用超流薄膜中量子化渦旋的運動與帶電粒子在垂直于強磁場平面內引導中心（即其回旋軌道瞬時中心）的運動之間的類比，但該論證也可不借助此類比展開。帶電粒子的質量與引導中心運動解耦。引導中心沿等勢線運動，其速度與電勢梯度成正比，從而使得平均洛倫茲力與外力相平衡。經典拉格朗日量既包含 ?V(X,Y)，也包含一個與速度線性相關的項，波函數的相位由兩部分組成：動力學相位，即 ?V(X,Y)/? 的時間積分；以及貝里相位 [12]，即與路徑相關的線性項的積分。繞閉合回路的貝里相位 Δ 與磁場強度 B 及回路在磁場方向上投影的面積 S 成正比。

其中 q 為粒子電荷，h 為普朗克常數。該相位等于 2π 乘以回路所包圍的磁通量子數。

渦旋的運動可以用類似的術語描述。渦旋在外部或其他渦旋產生的超流速度場以及其位置相關勢能的共同作用下運動，使得馬格努斯力——由渦量與相對于超流的運動的矢量積給出——與由于薄膜非均勻性（釘扎中心）引起的外力相平衡。經典拉格朗日量既包含非均勻性勢能，也包含一個與渦旋速度線性相關的項，波函數則同時具有動力學相位和貝里相位，后者是線性項的積分。繞閉合回路的貝里相位等于 2π 乘以回路所包圍的超導電子對數。

在這兩個例子中，總可以在拉格朗日量的線性項（以及貝里相位）中加上一個全導數項，而不改變運動方程；繞閉合回路的積分保持不變。

超導體內渦旋的動力學相位和貝里相位 [12] 都可以從描述渦旋狀態的多體波函數中計算得出。設 Φ?(r?, ..., r_N) 為無渦旋時超導體的多體波函數，可以是基態，也可以是具有非零超流速度分布 v_s(r) 的某個非平衡態。此處 N 為電子總數，ri 為電子位置。該多體波函數是反對稱化的，并歸一化為 1，即 ∫∏? d3r? |Φ?|2 = 1。根據 London 的工作 [13]，并經 Brenig [14] 修正以考慮超導體的庫珀配對，位于位置 R? 的渦旋所對應的多體試探波函數 ΦR 為

其中 θ(r) = arctan(y/x)，且 ΦR 接近 Φ?，但做了修正以描述渦旋芯附近超流密度的降低、遠離芯部由流場引起的關聯效應 [15]，以及其他各種效應。該波函數同樣歸一化為 1，并且是反對稱化的。相位項被 2 除這一事實，正是超導體中庫珀配對的體現。

我們注意到，在描述超流氦中渦旋態的情形時，也采用了類似的多體波函數形式 [16,17]，其中 ΦR 是對稱化的。

與渦旋相關的動力學相位對應于它所攜帶的額外能量。對于 Φ? 為基態的情形，該相位可寫為

其中 S 為回路 Γ 所包圍的面積。我們指出，貝里相位等于 2π 乘以回路所包圍的超導電子對總數。

這給出了基于經典論證所得的結果，并且與式 (1) 中強磁場下電子的情形直接類似，只是將磁通量子數替換為超導電子對數。

馬格努斯力由式 (5) 和式 (8) 給出的、與渦旋芯位移線性相關的兩部分相位的導數得出。將兩者合并，得到

其中 q = +1（?1）對應于渦旋方向與 z 軸平行（反平行），v? 為渦旋速度。此結果與經典流體力學中的表達式完全一致 [11]。我們強調，馬格努斯力顯式地依賴于電子的數密度，而非質量密度。晶格的影響已通過其對超流電子密度 的作用被納入考慮。

在無無序情形下，為常數，此時系統所受的唯一力即為馬格努斯力，而該力必須為零，因此渦旋以當地超流速度運動。在零溫且存在無序時，馬格努斯力必須與釘扎力平衡。在更高溫度下，還必須考慮作用于渦旋的摩擦力 [10]。

在上述推導中，我們實際上僅用了兩個基本事實：波函數的單值性，以及超流電子具有有限密度。這兩個事實由式 (2) 的多體波函數充分表達，而波函數的具體細節在此并不重要。這一觀察表明，式 (8) 的結果應當比上述“干凈極限下的中性情形”具有更廣泛的適用范圍。此處我們證明，式 (8)——從而式 (9)——在存在有限均勻無序時依然成立；稍后我們還將證明，在考慮電磁場效應的真實超導體中同樣成立。

若無序并非極強，零溫下超導態仍可存在 [20]。此時仍可引入多體波函數 Φ? 來描述無渦旋的超導態，盡管該態已深受無序影響。于是，形如式 (2) 的多體試探波函數 ΦR 仍可用于描述渦旋態。在有限無序存在時，部分電子態（即部分庫珀對）將局域化 [20]，無法參與超流，從而超流電子密度降低。通過允許依賴于無序程度，我們得出結論：形如式 (9) 的馬格努斯力在“臟”超導體中保持不變，其大小僅因無序導致的超流電子密度降低而減小。

現在我們通過把與電磁場的耦合重新納入問題，來考慮真實的超導體。式 (2) 的多體波函數 Φ_R 在有電磁場存在時仍然是對渦旋態的正確描述 [13,14]：它顯然是單值的。從它出發，我們可以計算電流，再根據麥克斯韋方程求出磁場，發現與渦旋相關的磁通恰好是一個磁通量子 h/2e。因此，完全沿用導出式 (9) 的步驟，我們發現馬格努斯力保持不變。

在一篇有影響的綜述文章 [21] 中，式 (9) 右側第一項被稱為“洛倫茲力”，第二項被稱為“馬格努斯力”。雖然所謂的洛倫茲力已被普遍接受，第二項卻存在爭議 [21]。本文的論證表明，兩項都存在，且其背后的物理相同：渦旋絕熱運動的動力學相位與貝里相位。這也說明文獻 [21] 所用的“洛倫茲力”一詞并不恰當，因為馬格努斯力并非電磁效應對渦旋作用的結果。

盡管電磁場不影響馬格努斯力，我們仍對其對渦旋多體波函數的微妙效應作一點說明。當渦旋絕熱地沿閉合回路運動時，由于與之相連的磁通，根據 Aharonov–Casher 效應 [22]，若回路內存在凈電荷，將產生附加相位。然而，由于整個系統保持電中性，來自電子與背景正電荷的 Aharonov–Casher 相位將完全抵消，因而對馬格努斯力沒有任何影響。

Nozières 和 Vinen [10] 也得出電磁場不影響馬格努斯力的結論。但如我們在第二段所指出的，他們假設了極端第二類超導體的極限條件，因此發現電子與背景的影響都可忽略，而非本文得到的“相互抵消”。另一方面，Bardeen [8] 曾利用法拉第定律指出，在渦旋絕熱運動中，電子與正背景對馬格努斯力的貢獻會完全抵消；然而，他錯誤地把馬格努斯力當成電磁力處理，從而得出了“不存在馬格努斯力”的錯誤結論。

上述普遍論證似乎暗示，在正常費米液體中渦旋線也應存在馬格努斯力。形式上看這固然正確，但由于在正常費米液體中渦旋態極不穩定，實際上無法明確定義并討論該力。而在超導體中，由于存在凝聚體 [23,24]，渦旋態非常穩定。因此，超導體中的渦旋可視為穩定粒子，這正是本文能夠討論馬格努斯力的關鍵前提。

總之，從零溫下超導體中渦旋的多體波函數描述出發，我們通過計算渦旋絕熱地沿閉合回路運動時的貝里相位，推導出了馬格努斯力；其過程類似于強磁場中帶電粒子的情形。我們得以證明，馬格努斯力的存在僅依賴于超導體的兩個基本性質：超導態的存在，以及多體波函數的單值性。因此我們發現，馬格努斯力的存在對系統的具體細節并不敏感，其大小正比于超流電子密度。

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