初中數學五道數學代數計算習題及其解答步驟之二

1.已知x2+11x+121=0,求x3的值。

本文內容

介紹通過條件到結論、結論到條件兩種思路，求x3在滿足x2+11x+121=0條件的值。

思路一：條件到結論

∵x2+11x+121=0，

∴x(x2+11x+121)=0,則：

x3+11x2+121x=0

即：x3=-11x2-121x

=-11(-11x-121)-121x

=121x+1331-121x

=1331。

思路二：結論到條件

∵x3

=x*x2

=x(-11x-121)=-11x2-121x

=-11(-11x-121)-121x

=121x+1331-121x

=1331。

2.已知x2-y2=45xy,求(x+y)/(x-y)的值

主要內容：

介紹通過正比例換元、中值換元、三角換元以及二次方程求根公式等方法，計算代數式(x+y)/(x-y）在x2-y2=45xy條件下具體值的步驟。

思路一：正比例替換

設y=kx,代入已知條件得：

x2-(kx)2=45x*kx，

(1-k2)x2=45kx2，

1-k2=45k，則：

k2+45k-1=0,由求根根式得：

k=(-45±√2029)/2;

代數式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)

=(2±√2029)/45。

思路二：二次方程求根公式法

x2-y2=45xy,

y2+45xy-x2=0,將方程看成y的二次方程，

由求根公式得：

y=(-45±√2029)x/2,代入代數式得：

代數式

=[x+(-45±√2029)x/2]/[x-(-45±√2029)x/2]

=(2-45±√2029)/(2+45?√2029)

=(2±√2029)/45。

思路三：結論換元法

設(x+y)/(x-y)=k,則：

y=(k-1)x/(k+1)，

又x2-y2=45xy,將y代入已知條件得：

x2-(k-1)2*x2/(k+1)2=45*x*(k-1)x/(k+1)

(k+1)2-(k-1)2=45(k2-1),

45k2-4k-45=0,

k=(2±√2029)/45。

思路四：中值替換

設x+y=2m,x-y=2n,則x=m+n,y=m-n,

(m+n)2-(m-n)2=45*(m+n)(m-n)

2mm+2mn=45(m2-n2)

45m2-4mn-45n2=0,由二次方程求根公式得，

m=(2±√2029)n/45。

則代數式=2m/2n

=m/n=(2±√2029)/45。

思路五：三角換元法

設x=cost,y=sint,則：

(cost)2-(sint)2=45*costsint,

2cos2t=45sin2t，即tan2t=2/45,

由萬能公式得：

tan2t=2tant/(1-tan2t)=2/45,即：

(tant)2+45tant-1=0,

tant=(45±√2029)/2。

代數式

=(x+y)/(x-y)

=(cost+sint)/(cost-sint)

=(1+tant)/(1-tant)

=[1+(45±√2029)/2]/[1-(45±√2029)/2]

=(2+45±√2029)/(2-45?√2029)

=(2±√2029)/45。

3.已知1/x-1/y=1/2,求(7y+16xy-7x)/(5y-5x-21xy)的值。

主要內容：

通過換元法和代數變形法，求解已知條件下的代數式值。

換元法：

∵1/x-1/y=1/2

∴(y-x)/xy=1/2,

設y-x=t，xy=2t，t≠0，則：

(7y+16xy-7x)/(5y-5x-21xy)

=[7(y-x)+32t]/[5(y-x)-42t]

=(7t+32t)/(5t-42t)

=(7+32)/(5-42)=-39/37。

代數變形法：

(7y+16xy-7x)/(5y-5x-21xy)

分子分母同時除以xy得：

原式=(7/x+16-7/y)/(5/x-5/y-21)

=[16+7(1/x-1/y)]/[5(1/x-1/y)-21]

=(16+7/2)/(5/2-21)

=(32+7)/(5-42)=-39/37。

4.36x2+72x+y2-2y+37=0,求x?的值

主要內容：

通過配方法，對已知條件進行變形，并根據兩個非負數的和為0，則這兩個數必須同時為0的性質，來求解代數式x?在已知條件36x2+72x+y2-2y+37=0下的值。

解題步驟：

36x2+72x+y2-2y+37=0，則

36x2+72x+36+y2-2y+1=0,即：

(6x+6)2+(y-1)2=0,

此步驟為兩個平方數的和為0，即兩個非負數的和為0，

所以：

6x+6=0，且y-1=0，

解方程得：x=-1,y=1;

則:x?=(-1)1=-1。

5.把分數1/14分解成多個分數和的方法

主要內容：

本文主要介紹用因數法，如何把分數1/14分解成2個、3個和4個分子為1的多個分數和的方法和主要步驟。

分解成2個分數和的情形

考慮分母14的因數主要有1,2,7,14,所以將1/14分成兩個分數1/x、1/y的和有以下4種情形。

(1)1/14=(1+2)/[14(1+2)]=1/14*3+1/7*3

=1/42+1/21;

(2)1/14=(1+7)/[14(1+7)]=1/14*8+1/2*8

=1/112+1/16;

(3)1/14=(1+14)/[14(1+14)]=1/14*15+1/15

=1/210+1/15;

(4)1/14=(2+7)/[14(2+7)]=1/7*9+1/2*9

=1/63+1/18;

分解成3個分數和的情形

根據上述變形原理，分解成1/x、1/y、1/z的和有以下3種情形。

(1)1/14=(1+2+7)/[14(1+2+7)]

=1/14*10+1/7*10+1/2*10

=1/140+1/70+1/20;

(2)1/14=(1+7+14)/[14(1+7+14)]

=1/14*22+1/2*22+1/22

=1/308+1/44+1/22;

(3)1/14=(14+2+7)/[14(14+2+7)]

=1/23+1/7*23+1/2*23

=1/23+1/161+1/46;

分解成4個分數和的情形

根據上述變形原理，分解成1/x、1/y、1/z、1/u的和，有:

1/14=(1+2+7+14)/[14(1+2+7+14)]

=1/14*24+1/7*24+1/2*24+1/24

=1/336+1/168+1/48+1/24.