已知條件4a+6b=9,計算5a^2+16b^2最小值的四種方法

主要內容：

通過代入法、中值法、柯西不等式法、導數法等不同方法，詳細介紹求代數式5a^2+16b^2在4a+6b=9條件下最小值的計算步驟。

※：代入法

∵4a+6b=9,

∴b=(9-4a)/6,代入所求代數式得：

f(a,b)=5a^2+16b^2

=5a^2+16(9-4a)^2/6^2

=109a^2/9-2*16a+36

=109/9*(a-144/109)^2+1620/109。

可知，當a=144/109時，f(a，b)有最小值，即：

f(a,b)min=1620/109。

※：中值法

設4a=9/2+k，6b=9/2-k，則：

f(a,b)

=5a^2+16b^2

=5(9/8+k/4)^2+16(3/4-k/6)^2

=109k^2/144+2*(-19k/32)+981/64

=109/144*(k-171/218)^2+1620/109。

將其看成為k的拋物線方程，開口向上，可知，當取對稱軸k=171/218時，f(a，b)有最小值，即：

f(a,b）min=1620/109。

※：柯西不等式法

本處使用柯西不等式：(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥（ac+bd）^2。

對于本題，對所求代數式以及已知條件，進行變形有：

[（√5a）^2+（4b）^2][（4/√5）^2+(3/2)^2]≥(4a+6b)^2,

即：(5a^2+16b^2)[(16/5)+9/4]≥9^2,

則：5a^2+16b^2≥81/(109/20)=1620/109,

所以：f(a,b)min=1620/109。

※：導數法

根據題意，構造如下函數：

設g(a,b)=5a^2+16b^2+λ(4a+6b-9),

分別對a,b求偏導數得：

g(a,b)a=10a+4λ，

g(a,b)b=32b+6λ，

g(a,b)λ=4a+6b-9

令g(a,b)a=g(a,b)b=g(a,b)λ=0，得b=15a/32。

又因為4a+6b=9,所以a=144/109,b=135/218.

則f(a,b)min=5*(144/109)^2+16*(135/218)^2

=1620/109。