三道計算函數的導數練習題及詳細過程A2

三道計算函數的導數練習題及詳細過程

1.y=ln(12x2+2x+2)的導數計算

主要內容：

通過對數函數導數公式、導數定義以及函數乘積和函數商的求導法則，介紹y=ln(12x2+2x+2)的一階、二階和三階導數的主要計算步驟。

一階導數：

※.對數導數計算

∵y=ln(12x2+2x+2),

∴dy/dx=(12x2+2x+2)'/(12x2+2x+2)

=(24x+2)/(12x2+2x+2)。

※.導數定義法計算

∵y=ln(12x2+2x+2),

∴dy/dx

=lim(t→0){ln[12(x+t)2+2(x+t)+2]-ln(12x2+2x+2)}/t,

=lim(t→0)ln{[12(x+t)2+2(x+t)+2]/(12x2+2x+2)}/t,

=lim(t→0)ln[(12x2+2x+2+24xt+12t2+2t)/(12x2+2x+2)]/t,

=lim(t→0)ln{1+[(24xt+12t2+2t)/(12x2+2x+2)]^(1/t),

=lim(t→0){ln[1+[(24xt+12t2+2t)/(12x2+2x+2)]^[(12x2+2x+2)/(24xt+12t2+2t)]}^[(24xt+12t2+2t)/(12x2+2x+2)t],

=lne^lim(t→0)[(24xt+12t2+2t)/(12x2+2x+2)t],

=lim(t→0)[(24x+12t+2)/(12x2+2x+2)]

=(24x+2)/(12x2+2x+2)。

二階導數計算

※.函數商的求導

∵dy/dx=(24x+2)/(12x2+2x+2)，

∴d2y/dx2=[24(12x2+2x+2)-(24x+2)(24x+2)]/(12x2+2x+2)2,

=(288x2+48x+48-576x2-96x-4)/(12x2+2x+2)2,

=(-288x2-48x+48-4)/(12x2+2x+2)2,

=-(288x2+48x-44)/(12x2+2x+2)2。

※.函數乘積的求導

∵y'=(24x+2)/(12x2+2x+2)

∴(12x2+2x+2)y'=24x+2,兩邊同時對x求導，有：

(24x+2)y'+(12x2+2x+2)y''=24,

將y'代入上式得：

(24x+2)2/(12x2+2x+2)+(12x2+2x+2)y''=24,

(12x2+2x+2)y''=24-(24x+2)2/(12x2+2x+2),

y''=[24(12x2+2x+2)-(24x+2)2]/(12x2+2x+2)2,

=-(288x2+48x-44)/(12x2+2x+2)2。

三階導數計算：

∵d2y/dx2=-(288x2+48x-44)/(12x2+2x+2)2，

∴d3y/dx3=-[(576x+48)(12x2+2x+2)2-2(288x2+48x-44)(12x2+2x+2)(24x+2)]/(12x2+2x+2)?,

=2[(288x2+48x-44)(24x+2)-(288x+24)(12x2+2x+2)]/(12x2+2x+2)3,

=16(432x3+108x2-198x-17)/(12x2+2x+2)3.

2.函數z=f(x,y)由方程sin(x+y-z)=x+y+7z所確定，求z對x和y的偏導數。

主要內容：

通過全微分法、直接求偏導法和構造函數求偏導數法，來求函數z對x和y的偏導數。

一、全微分法：

∵sin(x+y-z)=x+y+7z，

∴cos(x+y-z)*(dx+dy-dz)=x+y+7z,

化簡得：

[cos(x+y-z)-1]dx+[cos(x+y-z)-1]dy

=[7+cos(x+y-z)]dz，即：

?z/?x=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)];

?z/?y=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)]。

二、直接求偏導數法

sin(x+y-z)=x+y+7z

兩邊同時對x求偏導數，則：

cos(x+y-z)*(dx-dz)=dx+7dz,即：

cos(x+y-z)dx-dx=7dz+cos(x+y-z)dz

[7+cos(x+y-z)]dz=[cos(x+y-z)-1]dx,

所以:?z/?x=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)];

同理，方程兩邊同時對y求偏導數，則：

cos(x+y-z)*(dy-dz)=dy+7dz,

cos(x+y-z)dy-1dy=7dz+cos(x+y-z)dz,

[7+cos(x+y-z)]dz=[cos(x+y-z)-1]dy,

所以:?z/?y=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)]。

三、構造函數求偏導數

設F(x,y,z)=sin(x+y-z)-(x+y+7z),則：

F′x=cos(x+y-z)-1,

F′y=cos(x+y-z)-1,

F′z=-cos(x+y-z)-7,

?z/?x=-F′x/ F′z

=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)];

?z/?y=-F′y/ F′z

=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)]。

3.求z=f(23x+10y,6x-15y),求z對x,y的所有三階偏導數

主要內容：

本文通過全微分法、直接求導法、鏈式求導法等，介紹計算抽象函數z=f(23x+10y,6x-15y)的所有一階、二階和三階偏導數的主要步驟。

一階偏導數：

△.全微分求法：

對z=f(23x+10y,6x-15y)求全微分有：

dz=f1'(23x+10y)+f2'(6x-15y)

=23f1'dx+10f1'dy+6f2'dx-15f2'dy

=(23f1'+6f2')dx+(10f1'-15f2')dy,則：

z對x的一階偏導數?z/?x=23f1'+6f2',

z對y的一階偏導數?z/?y=10f1'-15f2'。

△.直接求導法：

?z/?x=f1'*(23x+10y)'x-f2'(6x-15y)'x=23f1'+6f2';

?z/?y=f1'*(23x+10y)'y-f2'(6x-15y)'y=10f1'-15f2'。

二階偏導數：

?^2z/?x^2=23(23f11''+6f12'')+6(23f21''+6f22'')=529f11''+276f12''+36f22'';

?^2z/?y^2=10(10f11''-15f12'')-15(10f21''-15f22'')=100f11'-300f12''+225f22'';

?^2z/?x?y=?^2z/?y?x=23(10f11''-15f12'')+6(10f21''-15f22'')=230f11''-285f12''-90f22''.

三階偏導數：

?^3/?x^3

=529(23f111'''+6f112''')+276(23f121'''+6f122''')+36(23f221'''+6f222''')

=12167f111'''+3174f112'''+6348f121'''+1656f122'''+828f221'''+216f222''',

=12167f111'''+9522f112'''+2484f122'''+216f222''';

?^3z/?y^3

=100(10f111'''-15f112''')-300(10f121'''-15f122''')+225(10f221'''-15f222''')

=1000f111'''-1500f112'''-3000f121'''+3000f122'''+2250f221'''-3375f222''',

=1000f111'''-4500f112'''+6750f122'''-3375f222''';

?^3z/?x^2?y

=529(10f111'''-15f112''')+276(10f121'''-15f122''')+36(10f221'''-15f222''')

=5290f111'''-7935f112'''+2760f121'''-4140f122'''+360f221'''-540f222''',

=5290f111'''-5175f112'''-3780f122'''-540f222''';

?^3z/?y^2?x

=100(23f111'''+6f112''')-300(23f121'''+6f122''')+225(23f221'''+6f222''')

=2300f111'''+600f112'''-6900f121'''-1800f122'''+5175f221'''+1350f222'''

=2300f111'''-6300f112'''+3375f122'''+1350f222'''.