函數的導數計算6道習題過程詳解

主要內容：

1.y=(2x+cosx2)3的導數計算: 通過函數的鏈式求導和取對數求導方法，介紹多種函數構成復合函數y=(2x+cosx2)3的導數計算主要步驟。

2.51y=ln(x2+56y2)導數計算:隱函數的求導法則及對數函數的求導公式，以及構造函數導數法，介紹計算隱函數51y=ln(x2+56y2)導數的計算主要步驟。

3.函數y=sin3(x2+x+2)的導數計算:用復合函數求導法則、鏈式求導法則以及取對數求導等方法，介紹計算函數y= sin3(x2+x+2)一階和二階導數的步驟。

4.7y=ln(x2-y2)導數計算:隱函數的求導法則及對數函數的求導公式，以及構造函數導數法，介紹計算隱函數7y=ln(x2-y2)導數的計算主要步驟。

5.x3+y3=2x的導數計算:通過隱函數以及函數商的求導法則，介紹計算x3+y3=2x的一階導數和二階導數的主要過程步驟。

6.y=(45x-cosx3)2的導數計算:通過函數的鏈式求導和取對數求導方法，介紹多種函數構成復合函數y=(45x-cosx3)2的導數計算主要步驟。

函數的導數計算6道習題過程詳解

1.y=(2x+cosx2)3的導數計算

主要內容：

本文通過函數的鏈式求導和取對數求導方法，介紹多種函數構成復合函數y=(2x+cosx2)3的導數計算主要步驟。

鏈式求導法則

y=(2x+cosx2)3,則有：

dy/dx=3(2x+cosx2)2*(2x+cosx2)',即：

dy/dx=3(2x+cosx2)2*(2-sinx2*2*x).

則：dy/dx=3(2x+cosx2)2*(2-2x*sinx2)。

取對數求導方法：

因為y=(2x+cosx2)3,兩邊取自然對數有：

lny=3ln(2x+cosx2),再對方程兩邊同時對x求導，有：

y'/y=3(2x+cosx2)'/(2x+cosx2),

y'/y=3(2-2x*sinx2)/(2x+cosx2),

y'=3(2x+cosx2)3*(2-2x*sinx2)/(2x+cosx2),

所以：y'=3(2x+cosx2)2*(2-2x*sinx2)。

本題函數的復合

本題由函數y?=2x(一次函數，也為正比例函數)，y?=x2（冪函數）,y?=cosy?（三角函數，也為正弦函數）,y?=y?+y?（兩個函數的和函數）,y=y?3（冪函數）復合而成。

知識拓展：

導數,也稱之為導函數，是函數的局部性質，其幾何意義就是曲線上該點切線的斜率。

函數求導，實質上就是一個求極限的過程，導數的四則法則也來源于極限的四則運算法則。反之，已知導函數，也可以反過來求原來的函數，此時即為求不定積分計算。

2.51y=ln(x2+56y2)導數計算

主要內容：

本文通過隱函數的求導法則及對數函數的求導公式，以及構造函數導數法，介紹計算隱函數51y=ln(x2+56y2)導數的計算主要步驟。

導數公式法：

51y=ln(x2+56y2),兩邊同時對x求導有：

51dy=(2xdx+112y*dy)/(x2+56y2),

51 (x2+56y2)dy=2xdx+112y*dy

[51(x2+56y2)-112y]dy=2xdx

dy/dx=2x/[51 (x2+56y2)-112y].

構造函數導數法

設F(x,y)= 51y-ln(x2+56y2),

則F(x,y)對x求導有：

F'x=-2x/(x2+56y2),

進一步F(x,y)對y求導有：

F'y=51-112y/(x2+56y2),

所以有：

dy/dx

=-F'x/F'y

=[2x/(x2+56y2)]/[ 51-112y/(x2+56y2)]

=2x/[51(x2+56y2)- 112y]。

3.函數y=sin3(x2+x+2)的導數計算

主要內容：

本文主要用復合函數求導法則、鏈式求導法則以及取對數求導等方法，介紹計算函數y= sin3(x2+x+2)一階和二階導數的步驟。

※.復合函數鏈式求導計算一階導數

由復合函數求導法則，對x求導有：

dy/dx=3*sin2(x2+x+2)*cos(x2+x+2)*(x2+x+2)’

=3*sin2(x2+x+2)*cos(x2+x+2)*(2x+1),

=3(2x+1)*sin2(x2+x+2) *cos(x2+x+2).

※.取對數求導計算一階導數

首先對方程兩邊取對數，有：

lny=lnsin3(x2+x+2),

lny=3lnsin(x2+x+2),

方程兩邊同時對x求導，有：

y’/y=3 [sin(x2+x+2)]’/sin(x2+x+2),

y’/y=3 [cos(x2+x+2)](2x+1)/sin(x2+x+2),

y’=sin3(x2+x+2)*3[cos(x2+x+2)](2x+1)/sin(x2+x+2),

y’=sin2(x2+x+2)*3[cos(x2+x+2)](2x+1),

=3 (2x+1)sin2(x2+x+2)*cos(x2+x+2).

※.二階導數計算

本處根據函數特征，采取取對數計算導數，

首先對函數兩邊同時取對數，有：

lny’=ln3(2x+1)sin2(x2+x+2)*cos(x2+x+2),則：

lny’=ln3+ln(2x+1)+2lnsin(x2+x+2)+lncos(x2+x+2),

對方程兩邊同時對x再次求導，

y’’/y’=2/(2x+1)+2[sin(x2+x+2)]’/sin(x2+x+2)+

[cos(x2+x+2)]’/cos(x2+x+2),

=2/(2x+1)+2cos(x2+x+2)(2x+1)/sin(x2+x+2)-

sin(x2+x+2)(2x+1)/cos(x2+x+2),

=2/(2x+1)+2(2x+1)ctg(x2+x+2)-(2x+1)tan(x2+x+2),則：

y’’=3(2x+1)sin2(x2+x+2)*cos(x2+x+2)[2/(2x+1)+2(2x+1)*

ctg(x2+x+2)-(2x+1)tan(x2+x+2)],

=6sin2(x2+x+2)*cos(x2+x+2)+6(2x+1)2sin(x2+x+2)*

cos2(x2+x+2)-3(2x+1)2sin3(x2+x+2),

=3sin(x2+x+2)*sin(2x2+2x+4)+6(2x+1)2sin(x2+x+2)*

cos2(x2+x+2)-3(2x+1)2sin3(x2+x+2)。

4.7y=ln(x2-y2)導數計算

主要內容：

本文通過隱函數的求導法則及對數函數的求導公式，以及構造函數導數法，介紹計算隱函數7y=ln(x2-y2)導數的計算主要步驟。

導數公式法：

7y=ln(x2-y2),兩邊同時對x求導有：

7dy=(2xdx-2y*dy)/(x2-y2),

7(x2-y2)dy=2xdx-2y*dy

[7(x2-y2)+2y]dy=2xdx

dy/dx=2x/[7(x2+y2)+2y].

構造函數導數法

設F(x,y)=7y-ln(x2-y2),

則F(x,y)對x求導有：

F'x=-2x/(x2-y2),

進一步F(x,y)對y求導有：

F'y=7+2y/(x2-y2),

所以有：

dy/dx

=-F'x/F'y

=[2x/(x2-y2)]/[7+2y/(x2-y2)]

=2x/[7(x2+y2)+2y]。

5.x3+y3=2x的導數計算

主要內容：

本文主要通過隱函數以及函數商的求導法則，介紹計算x3+y3=2x的一階導數和二階導數的主要過程步驟。

※.一階導數計算

對曲線方程兩邊同時求導，有：

3x2+3y2*y'=2，

即：y'=dy/dx=(2-3x2)/3y2。

※.二階導數計算

對y'按函數商求導法則有：

d2y/dx2=(1/3)*[(-6x)*y2-2*(2-3x2)y*y']/y?

=(2/3)*[(3x)*y2+(2-3x2)y*y']/y? ,將上述所求的y'代入。

=-(2/3)*[3x*y2+(2-3x2)y*(2-3x2)/3y2]/y? ,

=-(2/3)*[(3x)*y2+(2-3x2)2/y]/y? ,

=-(2/3)*[3x*y3+(2-3x2)2]/y? 。

6.y=(45x-cosx3)2的導數計算

主要內容：

本文通過函數的鏈式求導和取對數求導方法，介紹多種函數構成復合函數y=(45x-cosx3)2的導數計算主要步驟。

鏈式求導法則

y=(45x-cosx3)2,則有：

dy/dx=2(45x-cosx3)*(45x-cosx3)',即：

dy/dx=2(45x-cosx3)*(45+sinx3*3*x2).

則：dy/dx=2(45x-cosx3)*(45+3x2*sinx3)。

取對數求導方法：

因為y=(45x-cosx3)2,兩邊取自然對數有：

lny=2ln(45x-cosx3),再對方程兩邊同時對x求導，有：

y'/y=2(45x-cosx3)'/(45x-cosx3),

y'/y=2(45+3x2*sinx3)/(45x-cosx3),

y'=2(45x-cosx3)2*(45+3x2*sinx3)/(45x-cosx3),

所以：y'=2(45x-cosx3)*(45+3x2*sinx3)。

本題函數的復合

本題由函數y1=45x(一次函數，也為正比例函數)，y2=x3（冪函數）,y3=cosy2（三角函數，也為正弦函數）,y4=y1-y3（兩個函數的和函數）,y=y42（冪函數）復合而成。

知識拓展：

導數,也稱之為導函數，是函數的局部性質，其幾何意義就是曲線上該點切線的斜率。

函數求導，實質上就是一個求極限的過程，導數的四則法則也來源于極限的四則運算法則。反之，已知導函數，也可以反過來求原來的函數，此時即為求不定積分計算。