不定積分∫sin^4(2x-π/2)dx的計算

不定積分∫sin^4(2x-π/2)dx的計算

主要內容：

本內容用湊分法、分部積分法以及三角公式變形等有關知識，介紹不定積分∫sin^4(2x-π/2)dx的計算步驟。

詳細步驟：

I=∫sin^4(2x-π/2)dx 對微元進行湊分

=(1/2)∫sin^4(2x-π/2)d(2x-π/2)

=(1/2)∫sin^3(2x-π/2)sin(2x-π/2)d(2x-π/2) 對三角函數進行湊分

=-(1/2)∫sin^3(2x-π/2)dcos(2x-π/2) 以下進行分部積分法

=-(1/2)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+(1/2)∫cos(2x-π/2)dsin^3(2x-π/2)；

=-(1/2)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+3∫cos^2(2x-π/2)sin^2(2x-π/2)dx； 使用sin^2x+cos^2x=1公式進行變形，

=-(1/2)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+3∫[1-sin^2(2x-π/2)]sin^2(2x-π/2)dx

=-(1/2)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+3∫sin^2(2x-π/2)dx-3I,則：

4I=-(1/2)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+3∫sin^2(2x-π/2)dx;

I=-(1/8)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+(3/4)∫sin^2(2x-π/2)dx; 使用倍角公式cos2x=2sin^2x-1得，

I=-(1/8)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+(3/8)∫[sin2(2x-π/2)+1]dx;

=-(1/8)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+(3/8)∫sin2(2x-π/2)dx+(3/8)∫dx;

=-(1/8)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+(3/32)∫sin2(2x-π/2)d[2(2x-π/2)]+(3x/8);

所以： I=-(1/8)sin^3(2x-π/2)cos(2x-π/2)+(3/32)sin2(2x-π/2)+(3x/8)+C1.

或者寫成：

I=-(1/8)cos^3(2x)sin(2x)-(3/32)sin(4x)+(3x/8)+C1.