高中數學：二次項展開公式應用舉例

高中數學：二次項展開公式應用舉例

※.已知[a/90x-√(x/3)]^15的展開式中x^6的系數為5/3，求常數a的值。

解：展開式通式T? =C(15,r)*(a/90x)^(15-r)*[-√(x/3)]^r,

=C(15,r)*a^(15-r)*(90x)^(r-15)*(-1)^r*(x/3)^(r/2),

=C(15,r)*(-1)^r*a^(15-r)*90^(r-15)*(1/3)^(r/2)*x^(3r/2-15),

=C(15,r)*(-1)^r*(a/90)^(15-r)* (1/3)^(r/2) *x^(3r/2-15),

根據題意有：

3r/2-15=6,求出r=14，代入有：

15-r=15-14=1,

C(15,r)=C(15,14)=15，

(-1)^r=(-1)^14=1，

(1/3)^(r/2)= (1/3)^7

根據系數關系有：

15*a/90*(1/3)^7=5/3,

即：a=5/3*3^7*90/15,所以a=21870.

※.若(2x^2+2/x^3)^n的展開式各系數的和為1024，則n和展開式的常數項分別是多少？

解：求n時使用特殊值法計算，取x=1時，有：

(2+2)^n=1024,

即可求出n=5.

本題展開式通式為：

T?=C(5,r)*(2x^2)^(5-r)*(2/x^3)^r

=C(5,r)*2^(5-r)*x^(2*5-2r)*2^r *x^(-3r)

=C(5,r)*2^(5-r)*2^r*x^(2*5-2r-3r)

因為求常數，所以：2*5-2r-3r=0，

即r=2，則此時的系數為：

T?=C(5,r)*2^(5-r)*2^r

=C(5, 2)*2^(5-2)*2^r=10*8*4=320.

※.求二項展開式(3x+1)?中偶數項的系數和。

解：根據題意，設：

(3x+1)?=a?x?+a?x?+a?x3+a?x2+a?x+a?,

偶數項的系數是a?，a?，a?，

分別令x=1和x=-1，有：

(3+1)?=a?+a?+a?+a?+a?+a?,

(3-1)?=-a?+a?-a?+a?-a?+a?,

兩式子相加有：

2(a?+a?+a?)=(3+1)?+(3-1)?,即：

2(a?+a?+a?)=1024+32,

2(a?+a?+a?)=1056,所以：a?+a?+a?=528。

※.在(2-4x)^6*(1+21x)展開式中，x^2的系數是多少？

解：對(2-4x)^6來說，展開通項有：

T?=C(6,r)* 2^(6-r)*(-4x)^r

=C(6,r)* 2^(6-r)*(-4)^r* x^r

題意要求x^2的系數，考慮到1+21x有常數項和x的一次項，所以系數是兩個系數的和，分別為r=2和r=1，則：

T=T?+T?

=1*C(6,2)*2^(6-2)*(-4)^2+21*C(6,1)*2^(6-1)*(-4)^1

=1*3840-21*768=3840-16128=-12288.