正弦函數sin28°的近似計算步驟

sin28°的近似計算
主要內容：
詳細介紹通過微分法、泰勒展開法計算sin28°近似值的主要思路和步驟。
主要公式：
1.sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,
2.y=sinx，則y′=cosx，即dy=cosxdx。

方法一：微分法計算
∵(sinx)′=cosx
∴dsinx=cosxdx.
則有△y≈cosx△x，此時有：
sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。
需要注意的是，計算中的△x若是角度要轉化為弧度。

對于本題有：
x=28°=30°+△x,△x=-0.035。
則：
sin28°≈sin30°+cos30°*(-0.035)，
≈sin30°+cos30°*(-0.035)，
≈0.47。
注意：本題中取x0為30°，當28°越接近30°時，
近似值精確度越高。

方法二：泰勒公式計算
1.sinx，cosx在x=0處泰勒展開
根據泰勒冪級數展開，有：
sinx
=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!,
cosx
=1-x^2/2!+x^4/4!+...+(-1)^n*x^2n/2n!。
其中：n≥0，x為任意實數，即弧度制形式。
2.sinx在x=π/6處泰勒展開
sinx=sin(x-π/6+π/6)
=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)
=(√3/2)∑(-1)^n*(x-π/6)^(2n+1)/(2n+1)!
+(1/2)∑(-1)^n*(x-π/6)^(2n)/(2n)!
=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!
+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5! -...]
=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!
+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5! -...]。

3.當n=1時的近似表達式
sinx
≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)^3/3!]-(x-π/6)^2/4
≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)^2-(x-π/6)/4]
≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)^2-3(x-π/6)]
≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)^2-√3(x-π/6)]
對于本題：x-π/6=7π/45-π/6≈(-0.035),則：
sin28°
≈1/2+(√3/12)*(-0.035)*(6-(-0.035)^2-√3*(-0.035))
≈0.469。