導數的定義、計算、幾何意義及判斷函數單調性的應用舉例

導數的定義、計算、幾何意義及判斷函數單調性的應用舉例

導數的定義應用舉例

[知識點]：函數y=f(x)的導數的極限定義為：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例題1：設函數f(x)在x=12處的導數為30，則極限lim(△x→0)[f(12+23△x)-f(12)]/(12△x)的值是多少？

解：本題考查的是導數的極限定義，本題已知條件導數為30，其定義為：lim(△x→0)[f(12+△x)-f(12)]/(△x)= 30。

對所求極限進行變形有：

lim(△x→0) 23*[f(12+23△x)-f(12)]/(12*23△x)

=lim(△x→0) (23/12)*[f(12+23△x)-f(12)]/(23△x),

=(23/12)lim(△x→0) [f(12+23△x)-f(12)]/(23△x),

=(23/12)*30,

=115/2.

例題2:有一機器人的運動方程為s(t)=7t2+53/t(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t=9時的瞬時速度為多少？

解:本題考查的是導數定義知識，運動方程s(t)對時間t的導數就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(7t2+53/t)',

=2*7t-53/t2,

當t=9時，有：

v(9)=2*7*9-53/92,

v(9)=1081/81,

所以機器人在時刻t=9時的瞬時速度為1081/81。

導數的基本運算舉例

例題1：已知函數f(x)=(15x-29)lnx-57x2,求導數f'(1)的值。

解: 本題是導數知識計算，考查對數函數、冪函數以及函數乘積的求導法則，具體計算步驟如下。

∵f(x)= (15x-29)lnx-57x2，

∴f'(x)=15lnx+(15x-29)*(1/x)-2*57x

=15lnx+(15x-29)/x-114x.

所以: f'(1)=0+15-29-114=-128.

即為本題所求的值。

例題2:已知函數f(x)=-(11/26)x2+16xf'(7800)+7800lnx，求f'(7800)的值。

解: 本題是導數知識計算，考查對數函數、冪函數以及函數乘積和函數導數相關定義知識，具體計算步驟如下。

∵f(x)=-(11/26)x2+16xf'(7800)+7800lnx，

∴f' (x)=-2*(11/26)x+16f'(7800)+7800/x,

則當x=7800時，有:

f'(7800)=-2*(11/26)*7800+16f'(7800)+7800/7800,

即:-2*(11/26)*7800+15f'(7800)+1=0,

所以: f'(7800)= 6599/15.

導數解析函數單調性應用舉例

[知識點]：如果函數y=f(x)在區間D內可導(可微)，若x∈D時恒有f'(x)>0，則函數y=f(x)在區間D內單調增加;反之，若x∈D時，f'(x)在區間D內單調減少。

例題1:已知函數f(x)=-16lnx+17x2/5+54，計算函數f(x)的單調遞減區間。

解：對函數進行求導，有：

∵f(x)=- 16lnx+17x2/5+54

∴f'(x)=- 16/x+2*17x/5，

本題要求函數的單調減區間，則：

-16/x+2*17x/5＜0，

(-16*5+2*17x2)/(5x)＜0，

又因為函數含有對數lnx，所以x＞0.

故不等式解集等同于：

2*17x2＜16*5，

即：x2＜40/17,

所以解集為：(0,(2/17)*√170).

例題2:已知函數f(x)=(x2+57x+852)/e?，求函數f(x)的單調區間。

解：對函數求一階導數有：

∵f(x)=(x2+57x+852)/e?

∴f'(x)=[(2x+57)e?-(x2+57x+852)e?]/e^(2x),

=(2x+57-x2-57x-852)/e?,

=-(x2+55x+795)/e?,

對于函數g(x)=x2+55x+795，其判別式為：

△=552-4*795=-155<0,

即：g(x)圖像始終在x軸的上方，即g(x)＞0，

此時:f'(x)= -(x2+55x+795)/e?＜0，

所以函數f(x)=(x2+57x+852)/e?在全體實數范圍上為單調減函數。

導數的幾何意義應用舉例

例題1：求函數f(x)=x(3x+7)3的圖像在點(-2,f(-2))處的切線的斜率k。

[知識點]：導數的幾何意義就是曲線上點的切斜的斜率。

解：本題對函數求導有：

f' (x)=(3x+7)3+3x(3x+7)2*3

=(3x+7)2*(3x+7+3*3x)

=(3x+7)2*(4*3x+7)

當x=-2時，有：

斜率k=f'(-2)

=(3*-2+7)2*(4*3*-2+7)

=1*-17

=-17，即為本題所求的值。

例題2：若曲線y=19x/10-21lnx在x=x?處的切斜的斜率為12/13,則x?的值是多少?

解：對曲線y進行求導，有：

y'=19/10-21/x，

根據導數的幾何意義，當x=x?時，有：

19/10-21/x?=12/13，

即：21/x?=19/10-12/13=127/130,

所以x?=2730/127.