曲線y^3=211x^2+86x+9的主要性質

曲線y^3=211x^2+86x+9的主要性質

主要內容：

本文主要介紹曲線方程y^3=211x^2+86x+9的定義域、單調性、凸凹性及極限等性質，并通過函數導數知識求函數的單調和凸凹區間。

※.曲線的定義域：

觀察曲線的特征，自變量x可以取全體實數，則曲線方程的定義域為：（-∞，+∞）。

※.曲線的單調性

主要思路是求出曲線方程的一階導數，再判斷曲線的單調性。

∵y^3=211x^2+86x+9,

∴3y^2*y'=422x+86,

則：y'=(422x+86)/3y^2,

令y'=0，有: 422x+86=0。

即：x=-43/211,進一步可知函數單調性及單調區間：

(1)當x∈(-∞,- 43/211]時，y'<0,此時為減曲線。

(2)當x∈(-43/211,+∞)時，y'>0,此時為凹曲線。

※.曲線的凸凹性

主要思路是求出曲線方程的二階導數，再判斷函數的凸凹性性。

∵y'=(1/3)(422x+86)*y^(-2)

∴y"=(1/3)[422*y^(-2)+( 422x+86)*(-2)*y^(-3)*y']

=(2/3)[211y^(-2)-(422x+86)y^(-3)*y']

=(2/3)[211y^(-2)-(422x+86)y^(-3)*(1/3)(422x+86)*y^(-2)]

=(2/9)[633y^(-2)-(422x+86)^2*y^(-5)]

=(2/9)[633y^3-(422x+86)^2]*y^(-5)

將y^3代入上式得到：

y"=(2/9)[633(211x^2+86x+9)-(422x+86)^2]*y^(-5)

=(2/9)(-44521x^2-18146x+5697-7396)*y^(-5)

=(-2/9)(44521x^2+18146x+1699)*y^(-5)

對于g(x)=211x^2+86x+9

判別式△=7396-7596=-200<0;

則g(x)在定義上為正數，即y"<0,此時曲線為凸曲線。

※.曲線的極限

Lim(x→-∞)y=lim(x→-∞) (211x^2+86x+9)^(-1/3)=+∞,

Lim(x→+∞)y=lim(x→+∞) (211x^2+86x+9)^(-1/3)=+∞。