函數空間作為向量空間 | 泛函分析第二講

導語

集智學園聯合東京都市大學賈伊陽老師共同開設了「」課程，本系列課程將以嚴謹的理論推導為核心，逐步建立泛函分析的基礎架構。第一階段將探討從有限維跨越到無限維的動機與基礎；第二階段將重點建立度量與完備性，掌握 Banach 空間與不動點定理的精髓；第三階段將深入探討 Hilbert 空間的幾何結構與對偶空間的映射體系。最終，在第四階段，將梳理完整的結構總覽與應用地圖，透視這些純粹的數學工具如何作為底層基石，廣泛應用于現代物理、復雜系統模擬與前沿計算科學中。

作為系列課程的第二講，賈伊陽老師將以「函數空間作為向量空間」為主題，將探討函數空間作為線性空間的代數結構，涵蓋連續函數空間C[a,b]與多項式空間。通過傅里葉級數及基展開失敗的經典案例，剖析無限維與有限維的本質差異，建立“無限維絕非簡單??延伸”的認知。正式分享將于4月12日（周日）19:00-20:30進行。

主題：函數空間作為向量空間

課程簡介

NeRF 用正弦特征讓神經網絡學到高頻細節，FNO 在 Fourier 域直接學 PDE 解算子，FNet 用無參數 Fourier 變換替代 Transformer 的 self-attention，這些近幾年落地的方法，背后都依賴同一個數學結構：函數空間。本講作為系列課程的第二講，來進一步回答：函數為什么能成為向量空間的元素？函數空間與普通向量空間的關系是什么？

課程從直覺出發，以混音（加法）和調音量（數乘）說明函數的向量結構，再引入連續函數空間與函數集合是否構成向量空間的判別條件。主線隨后轉向 Fourier 正交基：從正則歸一化到傅里葉系數，再到隨機 Fourier 特征、坐標型 MLP 的 spectral bias 修正，以及 FNO 算子學習與 FNet 的頻域 token mixing。核方法與 RKHS 作為函數空間優化的另一條線索并行展開：訓練等價于在函數空間中最小化損失加范數懲罰。最后講解范疇論視角下有限維與無限維空間及基的結構對比，供有興趣的學員延伸。

學完本講，能建立“函數即向量”的操作性直覺，理解 Fourier 基在機器學習中的具體用途，并對 RKHS 框架在核方法中的角色有清晰認識。

課程大綱

1. 函數空間的向量結構

   1. 函數加法與數乘的實例：混音與調音量

   2. 函數集合構成向量空間的判別條件

   3. 連續函數空間 C[a,b] 的基本性質

2. Fourier 正交基

   1. 正則歸一化與傅里葉系數

   2. 復指數形式與 Hilbert 空間的預告

   3. Fourier 基的核心啟發：任意函數分解為振蕩基函數的線性組合

3. Fourier 基在機器學習中的四類應用

   1. 隨機 Fourier 特征：平移不變核的顯式近似，大規模核學習的可行化

   2. Fourier feature mapping：克服 MLP 的 spectral bias，改善 NeRF 等隱式表示的高頻學習

   3. FNO（Fourier 神經算子）：在 Fourier 域學習 PDE 解算子，全局耦合與頻率截斷

   4. FNet：用無參數 Fourier 變換替代 self-attention 的 token mixing，同等精度下訓練提速 70–80%

4. 核方法與 RKHS

   1. 核函數的鄰近權重結構（以指數衰減為例）

   2. 再生核 Hilbert 空間（RKHS）中的范數與正則化

   3. 機器學習訓練的函數空間解釋：最小化損失加范數懲罰

5. 范疇論補充：有限維與無限維的結構對比

   1. 有限維向量空間的基與坐標同構

   2. 無限維空間中基的收斂性問題

   3. 范疇論視角下兩類空間的結構差異

課程信息

課程主題：函數空間作為向量空間

課程時間：2026年4月12日（周日） 19:00-20:30

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智學園網站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

賈伊陽，東京都市大學講師、前日本女子大學助理教授，前日本成蹊大學助理教授。研究重點是計算復雜性，算法，以及范疇相關理論。集智學園《》課程講師。

課程適用對象

• 做微分方程、數值算法、反問題、信號處理、控制的學習者與研究者

• 做優化、機器學習、統計推斷，希望理解正則化與泛化的結構來源的研究者

• 讀量子/數學物理文獻，希望把 Hilbert 空間與算子語言用順手的研究者

• 更廣義地：經常處理“函數作為未知量”的問題、并且想要一套可遷移框架的研究者

1. 面對一個新問題，你能先問對問題：該在哪個空間里解？該用哪個范數衡量誤差？需要什么完備性？算子是否有界？

2. 你能理解常見方法背后的統一邏輯：迭代為何收斂、正則化為何穩定、最小二乘為何等價于投影、弱解為何成立。

3. 你會獲得一套“抽象但可落地”的語言：寫證明、讀論文、做建模時，能把碎片化技巧收束到結構層面。

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學園網站錄播。本系列課程不安排免費直播。

2. 課程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19點-21點進行。

3. 課程定價：原價499

   1. 早早鳥價299，截止時間：2026年3月22日中午12點

   2. 早鳥價399，截止時間：2026年3月30日中午12點

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付費流程：

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

課程共創任務：課程字幕

為鼓勵學員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構建課程知識共建社群。為此，我們特別設立激勵機制，讓您的學習之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結束后，助教會于課程群內發布字幕共創任務。學員通過參與這些任務，不僅能加深對內容的理解，還可獲得積分獎勵。積分可兌換其他讀書會課程或實物獎品，助力您的持續成長。