四道函數的導數計算方法步驟舉例(1)

內容目錄：

1.y=(4x+cosx2)3的導數計算

2.3y=ln(x2-y2)導數計算

3.函數y=4√[xsin(54x+30)]的一階導數計算

4.函數y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)的導數計算

具體內容：

1.y=(4x+cosx2)3的導數計算

主要內容：

本文通過函數的鏈式求導和取對數求導方法，介紹多種函數構成復合函數y=(4x+cosx2)3的導數計算主要步驟。

鏈式求導法則

y=(4x+cosx2)3,則有：

dy/dx=3(4x+cosx2)2*(4x+cosx2)',即：

dy/dx=3(4x+cosx2)2*(4-sinx2*2*x).

則：dy/dx=3(4x+cosx2)2*(4-2x*sinx2)。

取對數求導方法：

因為y=(4x+cosx2)3,兩邊取自然對數有：

lny=3ln(4x+cosx2),再對方程兩邊同時對x求導，有：

y''/y=3(4x+cosx2)'/(4x+cosx2),

y'/y=3(4-2x*sinx2)/(4x+cosx2),

y'=3(4x+cosx2)3*(4-2x*sinx2)/(4x+cosx2),

所以：y'=3(4x+cosx2)2*(4-2x*sinx2)。

本題函數的復合

本題由函數y?=4x(一次函數，也為正比例函數)，y?=x2（冪函數）,y?=cosy?（三角函數，也為正弦函數）,y?=y?+y?（兩個函數的和函數）,y=y?3（冪函數）復合而成。

知識拓展：

導數,也稱之為導函數，是函數的局部性質，其幾何意義就是曲線上該點切線的斜率。

函數求導，實質上就是一個求極限的過程，導數的四則法則也來源于極限的四則運算法則。反之，已知導函數，也可以反過來求原來的函數，此時即為求不定積分計算。

2.3y=ln(x2-y2)導數計算

主要內容：

本文通過隱函數的求導法則及對數函數的求導公式，以及構造函數導數法，介紹計算隱函數3y=ln(x2-y2)導數的計算主要步驟。

導數公式法：

3y=ln(x2-y2),兩邊同時對x求導有：

3dy=(2xdx-2y*dy)/(x2-y2),

3(x2-y2)dy=2xdx-2y*dy

[3(x2-y2)+2y]dy=2xdx

dy/dx=2x/[3(x2+y2)+2y].

構造函數導數法

設F(x,y)=3y-ln(x2-y2),

則F(x,y)對x求導有：

F'x=-2x/(x2-y2),

進一步F(x,y)對y求導有：

F'y=3+2y/(x2-y2)，所以有：

dy/dx=-F'x/F'y

=[2x/(x2-y2)]/[3+2y/(x2-y2)]

=2x/[3(x2+y2)+2y]。

3.函數y=4√[xsin(54x+30)]的一階導數計算

主要內容：

本文通過鏈式求導、取對數求導等方法，以及冪函數、正弦函數導數公式和函數乘積求導法則，介紹計算函數y=4√[xsin(54x+30)]一階導數的主要步驟。

主要步驟：

※.鏈式求導法

因為y=4√[xsin(54x+30)]=[xsin(54x+30)]^(1/4)，對x求導，有：

dy/dx=(1/4)*[xsin(54x+30)]^(1/4-1)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)].

=(1/4)*[xsin(54x+30)]^(-3/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)].

=(1/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/4√[xsin(54x+30)]^3。

※.取對數求導

y=4√[xsin(54x+30)]，兩邊同時取對數，有

lny=ln4√[xsin(54x+30)]=(1/4)[lnx+lnsin(54x+30)],

對方程兩邊同時求導，則：

y'/y=(1/4)[1/x+54cos(54x+30)/sin(54x+30)],

即：y'=(1/4)*y*[1/x+54cos(54x+30)/sin(54x+30)],

y'=(1/4)*y*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/[xsin(54x+30)],所以：

y'=(1/4)*4√[xsin(54x+30)]*

[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/[xsin(54x+30)],

進一步化簡可有：

y'=(1/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/4√[xsin(54x+30)]^3。

4.函數y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)的導數計算

主要內容：

本文通過取對數求函數導數法，介紹五個多項式乘積類型函數y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)導數計算的主要步驟。

主要步驟：

解：對已知方程取對數，默認符合對數定義要求，此時有：

lny=ln(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8),

即：lny=ln(2x+19)+ln(5x+20)+ln(30x+20)+ln(31x+24)+ln(28x-8),

再對上述方程兩邊同時對x求導，有：

y'/y=[ln(2x+19)]'+[ln(5x+20)]'+[ln(30x+20)]'+[ln(31x+24)]'+[ln(28x-8)]',

進一步求導有：

y '/y=2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8),

所以：

y'=dy/dx=y*[2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8)],綜合可知：

y'=dy/dx=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)*[2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8)]。

=(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(30x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(5x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)。