德布羅意的天才洞見，被掩蓋在物質波光芒之下

　　在紀念波動力學誕生一百周年之際，本文分析了1922-1924年德布羅意關于黑體輻射研究的重要歷史文獻，回顧了他在提出“物質波”的關鍵思想概念之前以及之后，對黑體輻射的研究，并指出這一研究對物質波思想的產生的可能影響。

　　撰文 | 楊欣宜、張一（上海師范大學數理學院物理系）

　　“瘦削、低調、神秘，路易·德布羅意始終佇立在他所開辟的道路入口，面帶紳士般彬彬有禮的微笑，凝視著未來流逝。”（Mince, discret, secret, Louis de Broglie se tient toujours à lentrée de la route qu’il ouvrit et, avec un sourirecourtois de gentilfomme, regarde lavenir passer）

　　——莫里斯·德呂翁（Maurice Druon，Préface à Louis de Broglie，1973）

　　德布羅意的物質波（或波粒二象性）概念早已是大學物理系，甚至高中物理教科書的標準內容。然而，除了動量波長關系的公式，極少有教科書觸及德布羅意關于物質波的原始論述中的其他要素。甚至德布羅意著名的波長公式本身也被“簡化”成了一種“從天而降”的純粹思辨的結果。例如，德布羅意實際上始終基于狹義相對論討論物質波（他稱為相位波，“phasewave”。關于這一點，作為離題的插曲，本文作者另附注釋[1]于文末），波長公式以 λ=h/mv這樣簡單明晰的形式在其博士論文中（第七章）僅出現了一次。雖然，按照托馬斯·庫恩（T. Kuhn）的觀點，教科書作者通常將科學知識固化為顯而易見的相對真理的集合，傾向于抹去爭議、危機，以及歷史偶然性等[2,3]。

　　本文選擇黑體輻射這一關鍵要素作為切入點，介紹1922-1924年德布羅意對黑體輻射的研究，并指出黑體輻射研究對他提出物質波思想的可能影響。之所以選擇黑體輻射，是因為黑體輻射對于近代物理學發展的無與倫比的重要性（編輯注：可參見曹則賢《黑體輻射：一只會下物理金蛋的鵝》）。黑體輻射不僅催生了量子力學，還影響了德布羅意物質波思想的提出——其物質波思想的種子，即萌芽于對黑體輻射的研究。遺憾的是，他對黑體輻射的研究，始終被物質波思想的巨大成功所掩蓋，幾乎在（國內）教科書或物理學史文獻中已難覓痕跡。因此，希望本文的介紹能夠為教科書論述帶來額外的補充和進一步富有教益的討論。

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　　德布羅意小傳

　　德布羅意全名Loius Victor Pierre Raymond de Broglie（方便起見，以下均按慣例使用德布羅意，雖然嚴格來說應為德·布羅意），1892年8月15日生于法國迪耶佩（Dieppe），1987年3月19日逝世于巴黎盧維西恩（Louveciennes），是享有世界聲譽的法國理論物理學家。布羅意家族的姓氏源于諾曼底（Normandie）地區的一個小鎮，后來逐漸成為法國歷史上最古老的貴族家族之一，且有從政的家族傳統。自17世紀以來布羅意家族中涌現出很多高級軍官、政治家及外交家。但是到了德布羅意和他的哥哥莫里斯·布羅意（Maurice Broglie）這一代，他們兄弟相繼選擇物理學作為職業，打破了家族的傳統。

　　德布羅意是第五代布羅意公爵次子，但是和他的哥哥莫里斯在年齡上相差17歲。他在相對孤獨的環境中長大，閱讀了大量書籍，尤其偏愛政治和歷史。據他姐姐的書信，德布羅意是個活潑且早熟的孩子，有明顯的戲劇天賦，晚餐時能為家人背誦古典戲劇的整段場景，顯示出極好的記憶力。家人普遍相信他將來會成為一位政治家。

　　1906年他的父親去世后，尚年幼的德布羅意基本上處在莫里斯夫婦的監護下。他們將德布羅意送去賽依中學（Lycée Janson de Sailly）[4]學習。他在法語、歷史、物理和哲學方面表現出色，對數學不感興趣，也不擅長繪畫和外語，不過也沒有哪一門學科能吸引他的全部注意力。

　　1909年德布羅意進入索邦大學攻讀歷史和法律，準備按照家人的意愿為將來從政做準備。1910年他以一篇歷史研究的論文獲得了歷史學學士學位，又攻讀了一年的法律。然而，受到哥哥莫里斯的影響，他開始對物理學產生濃厚興趣。莫里斯本人是實驗物理學家，對X射線的實驗研究做出了顯著貢獻，在巴黎的家族宅邸中設有一個設備精良的私人實驗室。在此期間，德布羅意廣泛閱讀了包括龐加萊（H. Poincaré）、洛倫茲（H. A. Lorentz）、朗之萬（P. Langevin）、玻爾茲曼（L. Boltzmann）、吉布斯（J. W. Gibbs）等在內的著作，以及普朗克和愛因斯坦的量子論和相對論論文。1912年龐加萊去世的消息給了他深深的觸動。但真正激發他選擇物理學作為職業的則是深入研讀首屆索爾維會議有關量子理論的報告[5,6]。1913年德布羅意獲得了物理學士學位（Licence ès sciences）。

　　1914年第一次世界大戰爆發，德布羅意應征入伍，戰爭期間他大部分時間都在埃菲爾鐵塔腳下的無線電報站工作，持續了六年之久。戰爭結束后，從1920年起，他與莫里斯合作，參與了關于X射線的輻射性質和光電效應的特征等實驗研究。這是他物理學研究的開端，發表了關于該工作基礎的量子理論的第一批論文。

　　正是上述研究使德布羅意注意到黑體輻射問題，并開始對原子物理學中未解決的概念性問題產生了興趣。雖然他和莫里斯一起工作，但真正吸引他的是物理學中純粹概念性的一面。德布羅意形容自己“更具有純粹理論家的思維方式，而非實驗家或工程師，尤其熱愛普遍性和哲學性的觀點。”[7]也許正是這種特質使他后來產生了物質波的思想。

　　在研究X射線輻射的性質并與莫里斯討論其特性時，后者認為這些射線是一種波和粒子的結合，這使德布羅意意識到需要建立一個將粒子和波的表現形式聯系起來的理論。真正將他引至物質波思想的工作起點是愛因斯坦關于光量子的觀點。在他1922年發表的第一篇關于這一主題的論文[8]中，德布羅意由光量子假設推導了維恩（Wien）黑體輻射定律（詳見后文）。如果說黑體輻射催生了光量子假設，那么在通向物質波的思想道路上，它也起到了類似的作用。正是這篇關于黑體輻射的論文成為德布羅意后續研究的起點[9]。在同年第二篇論文[10]中，德布羅意試圖將光量子的概念與（波動的）干涉現象結合起來，他得出結論，要將某種周期性與量子相聯系。

　　圖1 德布羅意的哥哥莫里斯在首屆索爾維會議上（后排左6，他下面是坐著的洛倫茲）

　　這時，將波動概念擴展到任何有質量粒子的革命性想法在德布羅意腦海朦朧浮現。決定性的突破在1923年夏天到來。“經過長時間的獨處和冥想，我突然有了個想法……愛因斯坦1905年的發現應推廣至所有物質粒子，尤其是電子”，[7]（黑體均為本文作者所加）。他推斷，由于波長非常小，物質波不會影響宏觀世界，只會在原子尺度上顯現其影響。德布羅意先在三篇簡短的通報《波與量子》（Ondes et quanta）[11]（與此文同名的簡報發表于10月23日的Nature[12]）、《光量子，衍射和干涉》（Quanta de lumière, diffraction et interférences）[13]，以及《量子、動理論和費馬原理》（Les quanta, la théorie cinétique des gaz et le principe de Fermat）[14]中闡述了他的思想，前兩篇通報于1923年9月10日經由佩蘭（J. Perrin），第三篇經由迪朗德（M. Deslandres）提交給巴黎法國科學院院報（l’Académie des sciences depuis sa création），這標志著波動力學創立的開始。

　　同年10月，德布羅意將主要思想整理成文提交《哲學雜志》，于1924年見刊[15]，隨后開始著手撰寫博士論文《量子理論研究》，并于1925年發表于《物理學年鑒》[16]。德布羅意在論文中提出，基于（狹義）相對論，能量為E、速度為v的運動粒子由某種內部周期過程的“相位波”刻畫，其頻率為E/h（h是普朗克常數）。這就是后來的“物質波”。他還指出，粒子速度等于相位波的群速度，粒子沿著等相位面法線的方向運動。在一般情況下，粒子的軌跡可以由費馬原理（對于波）或最小作用量原理（對于粒子）來確定，表明了幾何光學與經典力學之間深刻的聯系[17]。這篇劃時代的博士論文成就了德布羅意的物理生涯，獲得了極高的贊譽。愛因斯坦本人在回復郎之萬的信中稱德布羅意的工作“揭開了大幕的一角”[18]；在后來致洛倫茲的信中又稱：“這是照亮我們物理學中最糟糕謎團的第一縷微光。我還發現了一些支持他[指德布羅意]構想的東西。”（愛因斯坦致洛倫茲，1924年12月16日）。

　　值得特別指出，德布羅意（1923年）9月24日發表的論文中還提供了一個可能的實驗方案，他寫道：“穿過足夠小的小孔的電子流應呈現衍射現象。可能正是在這方面，需要尋找我們思想的實驗驗證。”[13]這一設想以一種極為偶然的方式被證實。1921年，美國物理學家戴維森（C. J. Davisson）和康斯曼（C. H. Kunsman）利用幾十至數百電子伏特的低能電子束對多晶金屬薄膜進行散射實驗，發現相對電流強度會出現極大值[19]。但是由于技術以及材料的原因，實驗結果并不穩定。后來能夠得到穩定的結果完全是由于一次偶然的實驗“事故”。

　　同時期，還是德國哥廷根大學研究生的埃爾薩瑟（W. Elsasser）[20]第一個從“（電子）物質波”的角度來解釋戴維森和康斯曼衍射實驗的結果。1925年5月的一天，埃爾薩瑟在圖書館讀到愛因斯坦新近發表的兩篇關于量子理論對氣體的影響的論文[21,22]。愛因斯坦指出，低溫下簡并氣體行為更像波，而非粒子，并提到了德布羅意關于物質波的論文。埃爾薩瑟找到了它，立刻想到戴維森和康斯曼觀察到的現象是否是電子類似于X射線穿透晶體產生的衍射。他計算出了產生上述實驗中的極大值對應的電子能量，結果正好吻合。他將自己的計算總結成文，提交給《自然科學》（Naturwissenschaften）雜志發表（審稿人是愛因斯坦）。這一解釋連同德布羅意的物質波思想，經著名物理學家玻恩在牛津的演講傳播到了英國物理界，其時戴維森也恰逢其會，立即意識到了他的實驗的重大物理意義，回美國后迅速組織力量投入新的實驗測量。到1927年，戴維森和革末（L. Germer）在美國[23]，喬治·湯姆遜（G. P. Thomson，J. J. Thomson之子）在英國先后確認了物質波對晶體的衍射，宣告了德布羅意的物質波思想的勝利。1929年諾貝爾獎委員會因其“發現電子的波動性質”而授予德布羅意諾貝爾物理學獎。

　　圖2 黑板前的德布羅意

　　獲得博士學位后，德布羅意先是留在索邦大學任教，1928年起在龐加萊研究所任理論物理教授，一直到1962年退休。他的講義寫得很優美，但被認為是一個平淡無奇的講師，喜歡單調地朗讀講義筆記，而他的理論物理研討班更受歡迎。

　　他的物理學生涯后半時期繼續在量子力學的基礎領域探索、發展他的博士論文中其他非常有價值的物理學思想。例如，德布羅意假設電子具有一個內部時鐘，這個時鐘是引導粒子運動的“導波”（pilot-wave）機制的一部分。沿此路線，他還試圖復興他的量子力學因果模型，以取代量子力學中的正統詮釋，該模型在20世紀50年代由玻姆（D. Bohm）再次提出，今天一般被稱為德布羅意-玻姆理論[24]。關于這一理論的晚近發展，可參考，例如[25,26,27]。

　　德布羅意最后的思考是孤立粒子的“隱（變量）熱力學”（Hidden thermodynamics），試圖將物理學中的費馬原理、莫培督（Maupertuis）原理和卡諾原理結合起來。其中作用量變成了一種與熵相對應的概念，通過一個方程將兩個普適量綱聯系起來：

　　德布羅意一生著述等身，其主要著作（以及其他本文未能盡述的物理學研究）請讀者參考維基“德布羅意”詞條[28]的有關介紹[29]。

　　2

　　歷史背景：光量子假設

　　在深入理解德布羅意應用光量子假設于黑體輻射的研究之前，有必要對光量子假設的歷史發展背景作簡要回顧。

　　自1900年普朗克提出革命性的量子假設之后，應該說，多數物理學家對此的反應平淡、表示懷疑，甚至包括普朗克本人在內。例如，1911年，普朗克提出了一個“新的輻射假說”，宣稱量子化僅適用于光發射，不適用于光吸收過程[30]。1905年，愛因斯坦意識到普朗克推導的理論基礎并不穩固。他懷疑該定律暗示了輻射本身的非經典的、微粒性的性質。借助玻爾茲曼的著名方程S=kBlnW，使用維恩關于輻射熵的結果來計算熱輻射熵的體積依賴性，愛因斯坦得出了一個極其重要的結論[31]：低密度的單色輻射在維恩輻射公式的有效范圍內，在熱力學上表現得好像它由大小為Rβν/N等份的相互獨立的能量量子組成。因子Rβν/N=hν，光量子的概念因此應運而生（現在稱為光子）。愛因斯坦在文中對于熱輻射熵對體積依賴性的推導令后來為他做傳的佩斯（A. Pais）專門指出[32]：

　　“人們可能會好奇究竟是什么促使愛因斯坦想到將熵的體積依賴性作為其推導的工具。如果回想一下，一年前體積依賴性的問題對他分析輻射能量漲落似乎相當重要， 那么這一選擇就不那么令人驚訝了。” [One may wonder what on earth moved Einstein to think of the volume dependence of the entropy as a tool for his derivation. That choice is less surprising if one recalls that a year earlier the question of volume dependence had seemed quite important to him for the analysis of the energy fluctuations of radiation.]

　　實際上，愛因斯坦從漲落的角度研究黑體輻射的思路一直都是清晰、連貫的（這篇論文的技巧和思想，在 20 年后又會進一步為他帶來理想玻色氣體的玻色-愛因斯坦統計。）。愛因斯坦將光量子的思想應用于三個經驗上已知的現象：光致發光 （photoluminescence）中的斯托克斯（Stokes）定律、光電效應（photoelectric effect），以及紫外線對氣體的電離。其中，對光電效應的應用最終使他獲得了1921年度的諾貝爾物理學獎（實際上光電效應的討論僅占愛因斯坦1905年論文的2頁半，還有9頁在討論熱力學、統計物理問題！這篇文章中還首次出現了“玻爾茲曼原理”這一稱呼）。但是光量子假設并未為當時的物理學家所普遍接受，因為愛因斯坦關于相互獨立的能量量子的想法仍有其自身的問題：與普朗克分布相沖突。后者需要不可區分和關聯的（光）量子，而不是相互獨立的（光）量子[33]。

　　這一階段，即從1900-1908年，可以視為光量子思想發展的初期[34]。也就是大約到1908年，普朗克輻射定律雖已確立，但其深層意義仍未明晰。物理界普遍接受勒納德（P. Lenard）的觸發（trigger）假說來解釋光電效應[35]，排斥愛因斯坦的光量子假說。然而普朗克輻射定律中蘊含著波粒二象性（wave particle duality）[36]的本質內核此時已逐漸顯現。

　　1909-1913年大致可以看作光量子假設發展的第二階段，爭議期。愛因斯坦以經典輻射理論需徹底革新為前提，1909年發表兩篇重要論文[37,38]，并在1911年首屆索爾維會議上受邀作有關固體比熱的報告[39]，主張光的波動說與發射說應相互融合。但這種對波粒二象性的支持并未獲得普朗克、維恩、索末菲（Sommerfeld）等大學者的認同。愛因斯坦對波粒二象性的倡導，甚至被視作對其1905年光量子思想的某種退卻——向經典觀念的回歸。直至1912年，普朗克仍然認為量子化應作用于原子過程中的“作用量”，而非發射或吸收的輻射能量。同樣，玻爾（N. Bohr）也未完全接受這種離散性嚴格適用于輻射本身[40]。

　　1914-1920年，“僵持”期：密立根（R. Millikan）為愛因斯坦光電效應定律提供了實驗支撐[41,42,43]，卻依然拒絕光量子假說[44]。愛因斯坦試圖基于吸收與發射概率的新概念重新推導普朗克定律[45]，但論證仍未臻完善。波粒二象性在1921年第三屆索爾維會議上再度成為焦點。

　　在此期間，鑒于普朗克定律在邏輯上缺乏令人滿意的推導，以及其理論基礎仍然令人擔憂，一大批物理學家從各個不同的角度持續地探索黑體輻射以及光量子的物理本質，包括（但不限于）愛因斯坦、洛倫茲、龐加萊，金斯（J. Jeans）、德拜（Debye）、埃倫費斯特（P. Ehrenfest）、泡利（W.Pauli）、勞厄（M. von Laue）等[46,47,48,49,50]。這其中又以愛因斯坦的一系列研究極具代表性——他在1905-1927年間以幾乎年均一篇的速度，發表了二十多篇關于黑體輻射的重要工作。這一時期，按照佩斯的評價[32]，是愛因斯坦生命中“科學創造力鼎盛的二十年”[the twenty-year of period of highest scientific creativity in Einstein’s life]。

　　盡管如此，所有這些嘗試都有一個缺點：即普朗克定律的第一個因子，8πν^2/c^3，總是按經典電動力學取為單位體積、單位頻率間隔內輻射的簡正模數，而且都是通過為不同的基本過程專門假設特定規則導出第二個因子。除了德拜的推導之外，所有其他人的嘗試都使用了普朗克的假設，即量子化僅限于輻射和物質之間的能量交換。然而1923年，康普頓（A .H. Compton）通過實驗對光量子的實在性給予了強有力的支持[51]，此即康普頓效應，它表明輻射本身也是由能量量子組成的。經典的輻射波動理論無法解釋觀察到的被散射的X射線波長的變化。康普頓實驗清楚地指出了光量子和原子中電子之間能量轉移的基本過程。

　　特別值得注意的是，在這一歷史階段，還沒有人將光量子假設和黑體輻射聯系起來。就是在這樣的背景下，德布羅意登場了。在提出他的革命性的物質波思想之前，德布羅意首先將光量子假設置于黑體輻射這一重大理論問題的語境之中，開創了利用光量子假設研究黑體輻射的先河[52]，并最終導致他提出物質波的天才設想。

　　3

　　德布羅意的黑體輻射研究

　　前已提及，德布羅意是利用光量子假設研究黑體輻射的第一人。正是在對黑體輻射與光量子本性的聯系進行深入探索的過程中，促使他尋求將波動性與粒子性統一在一起的理論。在其思想突破前后的1922-1924年，德布羅意發表的相關論文如下，從光量子到物質波的推斷，分布于1923年發表的4篇通訊及其博士論文中：

　　1922年：黑體輻射和光量子[8]、論干涉與光量子理論[10]；

　　1923年：波與量子[11]、光量子、衍射與干涉[13]，量子、氣體動理學理論與費馬原理[14]；

　　1924年：光量子的嘗試性理論[15]、博士論文《量子理論研究》[16]。

　　圖3 德布羅意 1925 年正式發表于《物理學年鑒》的博士論文[16]首頁

　　本文的解讀主要集中在德布羅意關于黑體輻射研究直接相關的論文，即1922年發表的兩篇論文，以及1924年博士論文第七章“統計力學和量子”（正式發表于1925年）。但是，作為德布羅意物理思想演變的連貫整體，物質波思想不可能完全從其黑體輻射的研究中割裂出去。因此，我們只在必要處給出簡單評論，并不加以細致解讀以致偏離本文主題過遠。

　　德布羅意關于黑體輻射的研究始于1922年的論文[8,10]。他在其中首次研究了光量子假設和維恩輻射公式之間的關系。在摘要中他即開篇明義地寫道：“此項工作的目標，是僅基于熱力學、動理論以及量子理論，完全無需電磁學的介入，來推導出輻射理論中的一系列已知結果。”[Le but dece travail est d’établir un certain nombre de résultats connus de la théoriedu rayonnement par des raisonnements qui s’appuient uniquement sur lathermodynamique, la théorie cinétique et celle des quanta sans aucune intervention de l’électhomagnétisme.]此句不僅表明德布羅意清楚地認識到黑體輻射問題中的首要疑難，也就是普朗克定律的第一個因子8πν^2/c^3；而且，可以將它對比2年后另一位當時同樣尚名不見經傳的作者論文中的話：“所有這些情況下的推導從邏輯角度來看都沒有得到充分證明。與此相反，光量子假說與統計力學（為滿足量子理論的需要而制定的形式）相結合，似乎足以獨立于經典[電動力學]理論來推導該定律[In all cases ... the derivations have not been sufficiently justified from a logical point of view. As opposed to these the light quantum hypothesis combined with statistical mechanics (as it was formulated to meet the needs of the quantum theory) appears sufficient for the derivation of the law independent of classical theory][53]，不難發現二者間驚人的相似。后者正是玻色（S. N. Bose）！

　　論文正文開始，德布羅意寫道：“我們采用光量子假設。平衡溫度T下的黑體輻射，可以認為是能量為hν的光原子（d’atomes de lumière）所形成的氣體”。這里德布羅意所說的“光原子”具有極小但非零靜止質量m0，能量為W=hν。這里忽略了2, 3, …, nhν個光原子組成的“光分子”（molécules de lumière）的可能性。因為“從光量子的觀點來看，維恩定律的形式是在忽略原子結合的情況下，從完整的普朗克定律推導出的。”這樣，德布羅意一上來就在沒有任何實驗證據，物理學界還在半信半疑的情況下全盤接受了愛因斯坦的光量子

　　出，“這就必須要求某些相當任意的假設”，因此不必繼續（這樣的推導）。但是我們將看到，這個思路會在同年的第二篇論文中起到重要作用。隨后德布羅意論證了光原子的概念方面。結尾處德布羅意總結強調：第一，能夠通過將光量子視為極微小質量的相對論性粒子，并依據統計力學規則推導出維恩定律；第二，在他的方法中，斯特藩-玻爾茲曼定律中的常數對應于單原子氣體的化學常數。

　　《黑體輻射和光量子》是德布羅意物質波思想的起點。從德布羅意隨后的論文中我們會看到他不斷對這篇論文里那些模糊的思想概念加以更為詳盡的論證和打磨，直到最終1924年博士論文中完整的物質波概念誕生。這其中的關鍵一環出現在1922年第二篇論文《論干涉與光量子理論》[10]中。1922年11月6日德布羅意將此文提交巴黎科學院，全文僅兩頁半，其中考慮了光量子的干涉問題。為了解釋觀察到的種種干涉現象，德布羅意認為必須引入關于光量子行為的某種假設，即“應該考慮發展一種與光量子存在性相協調的干涉理論。”[nous voulons insister sur une idée susceptible peut-être de faciliter la construction d’une théorie des interférences en harmonie avec l’existence des quanta de lumière.]

　　德布羅意選擇從愛因斯坦關于普朗克定律的黑體輻射能量漲落[37,39]入手，揭示這種假設的內涵：

　　德布羅意因此得出結論：“從光量子（理論）的視角來看，干涉現象似乎與光原子聚集體（d’agglomérations d’atomes de lumière）的存在相關——這些聚集體的運動并非相互獨立，而是具有相干性。由此自然可以設想：倘若光量子理論有朝一日能成功闡釋干涉現象，必然需要引入這種量子聚集體的概念。”

　　我們如何看待這種光原子聚集體的物理含義？德布羅意將普朗克譜展開為無窮級數[54]，發現里面每一項都與維恩分布形式相同，連同能量漲落的形式都一樣，因此每一級數項都可認為對應能量單元nhν。德布羅意的邏輯似乎是——在本文作者看來——如果對這些不同能量單元的光（原）分子找到恰當的概率分布，那么基于光量子理論就有可能同時得到普朗克分布和愛因斯坦的漲落結果？然而，德布羅意的推理到此戛然而止，只留下了關于光量子相干性的直覺洞察。另外需要指出的是，德布羅意并非唯一產生這一設想的人。實際上，在1921年（甚至更早），沃爾夫克（M. Wolfke）就做了類似的推導[55]（但是本文作者并沒有看到文獻表明德布羅意受到沃爾夫克的影響）。

　　從1922年的論文中，讀者似乎看不到任何與物質波相聯系的字樣。但是，按照德布羅意以及布里淵（L. Brillouin）的文字記錄，這一偉大思想，已經蘊含在當年1月的黑體輻射論文中。在帶“腳注(1)”的那行文字中，德布羅意寫下了：“它們（光量子）的動量[即能量為hν的光量子的動量]是hν/c”（第422頁）。1964年春，在寫給庫布利（F. Kubli）的信中，德布羅意證實了相位波（物質波）的思想正是始于這句并不起眼的話[18]。

　　德布羅意1922年《黑體輻射和光量子》一文朦朧閃現的“相位波”的影子，在1923年夏天突然變得明朗。據德布羅意自己的回憶：“在我與兄長的交談中，我們得出在X射線情形下既有波又有粒子的結論，于是突然——我無法給出確切日期，但肯定是在1923年夏天——我萌生了一個想法：必須將這種二象性擴展到物質粒子，尤其是電子。我意識到，一方面，哈密頓-雅可比理論在一定程度上傾向于這一點，因為它適用于粒子，此外，它代表了幾何光學；另一方面，在量子現象中，我們得到整數，這在力學中很少見……但在波動現象及所有涉及波運動的問題中卻頻繁出現。于是我對自己說，必然存在與量子現象相聯系的波動性質，于是我……的三篇通訊，試圖精確闡述這些想法。這三篇短文包含了后來進入我隨后撰寫的博士論文中的核心內容。”[56]

　　德布羅意提到的三篇通訊就是前述《波與量子》[11]，《光量子、衍射與干涉》[13]、《量子、氣體動理學理論與費馬原理》[14]。在《波與量子》一文中，德布羅意指出若要將光原

　　證明了相位和諧定理（同時也解釋了玻爾的原子軌道穩定性條件：量子化的穩定軌道，即∮pdq=nh，實質上是相位波沿閉合路徑形成的駐波相干共振。這是美妙的聯想，標志著經典力學的軌道概念可以和相位波概念整合為一體）。至此，德布羅意的物質波（相位波）思想完全成型。本文旨在關注德布羅意的黑體輻射研究，，并不打算在此對物質波思想的演變加以詳盡介紹，感興趣的讀者一方面可以閱讀德布羅意的博士論文有關章節；另一方面，也可參考有關論文（例如，[52,57,58]及其中所引文獻，需注意，今天正統量子力學中物質波或波粒二象性的觀念，距離一百年前已經有本質的不同）。

　　現在，“似乎已到……統一微粒觀與波動觀，從而對量子的真實本質有所洞見的時刻……本論文的主要目標，便是對我們所提出的新思想、它們所取得的成功，以及它們仍然包含的諸多空白，進行更為完整的論述。”[16]（第30頁，以下如無說明，頁碼均指發表于《物理學年鑒》的版本）。自然，物質波的引入要求對黑體輻射進行新的詮釋。德布羅意在論文第七章再次討論黑體輻射問題。

　　在回顧了統計力學的一些基本結果后，他陳述道：“我們很自然地會考慮到——正如金斯先生在其黑體輻射概念中發展的一樣——構成定態系統（即在空腔尺度內共振）的相位波是唯一穩定的。這種穩定的駐波系統在熱力學平衡時才會出現”（博士論文第110頁）。于

　　但是，對于光原子氣，仍然需要新的假設（1922年德布羅意已經發現它給不出普朗克譜）。這個新的假設是：

　　如果兩個或多個原子的相位波精確地疊加，可以說它們被同一個波輸運，那么它們的運動將不能再被視為完全獨立，并且這些原子在概率計算中將不能再被當作獨立的單元來處理[Si deux ou plusieurs atomes ont des ondes de phase qui se superposent exactement dont on peut dire par suite qu’ils sont transportés par la même onde. leurs mouvements ne pourront plus être considérés comme entièrement indépendants et ces atomes ne pourront plus être traités comme des unités distinctes dans les calculs deprobabilité]

　　他強調說，“‘同波’的原子之間由于相互影響所表現出來的相干性而無法確定它們各個體的運動……每一基本駐波都可以輸運0, 1, 2,…光原子”（注意，輸運的數目并沒有上限）。利用正則分布，單位體積內，總能量對應于頻率介于ν和ν+dν之間的原子數為

　　意黑體輻射的“光分子”模型的自然延伸。需注意，盡管“光分子”確實一定程度上反映了光量子的全同性方面，但是它只是與后來的玻色-愛因斯坦統計“貌合”而神離。后者實際上在計數給定頻率區間(dν)相格中不可區分的若干量子態的可能數目。。

　　最終，在結尾處，德布羅意由以上思想為基礎，再次得到了和愛因斯坦漲落公式一致的結果，這當然并不意外。德布羅意得出結論：“可以不借助干涉理論，而僅通過引入與同一個相波相關聯的原子的相干性，同樣正確地求得黑體輻射的漲落。”至此，德布羅意通過物質波概念完成了（物質）粒子屬性與波動屬性的統一。

　　1924年秋天，愛因斯坦正在進行他的理想氣體低溫簡并性質的計算，他收到了郎之萬寄給他的德布羅意的博士論文，立刻看到了它與他正在研究的問題之間的聯系。如果說德布羅意受到愛因斯坦的狹義相對論以及光量子假設的“啟蒙”并實現了飛躍的話，那么現在，他的物質波思想又在某種程度上“反哺”愛因斯坦，使后者對于量子氣體的低溫行為產生新的物理洞察，并由此導致一系列的理論發展，特別是對薛定諤提出波動力學的啟迪，深刻地印證了愛因斯坦（對德布羅意物質波思想）的評價：“它掀開了大幕的一角”。

　　4

　　大幕掀開之后——并非“尾聲”的尾聲

　　運用經典統計方法處理黑體輻射問題中所暴露出的缺陷和困難，最終由玻色在1924年解決。玻色通過將普朗克的物質振子量子化方法推廣到輻射本身，改變了狀態計數的統計方法，引進全同粒子（光子）的不可分辨性質，“把光量子假說和統計力學結合起來”，從量子理論中推導出包括第一因子在內的完整的普朗克定律，一舉完滿地解決了黑體輻射問題。整個物理學由此面目為之一變。與玻色-愛因斯坦統計相對應，費米和狄拉克各自獨立地在1926年發現了關于費米子的費米-狄拉克統計，狄拉克還創造了“玻色子”一詞。費米首次公開闡述其統計計算是在1926年2月7日于意大利林琴科學院（Accademia dei Lincei，意大利國家科學院）。費米將核心結果先發表于林琴科學院院刊[59]，隨后以更詳實的形式發表在德國的物理學雜志[60]。費米的這兩篇論文并未獲得應有的反響，直到狄拉克獨立地從考慮多電子體系波函數的對稱性中推導出相同結論后，物理學界才認識到其價值所在[61]。

　　另一方面，被愛因斯坦譽為“揭開大幕一角”的德布羅意物質波思想，經過薛定諤在百年前那個圣誕節“神秘的”直覺飛躍，終于蛻變而成量子力學的波動形式，在證明了量子力學的波動形式和矩陣形式的等價性之后，量子力學的波動方程——薛定諤方程，開始在物理學的各個領域插上旗幟。量子革命的大幕由此拉開。

　　最后，也許用1929年瑞典皇家科學院諾貝爾物理委員會主席奧辛（C. W. Oseen）對德布羅意的贊頌[62]來結束本文再合適不過了：

　　你還很年輕之時，就投身于圍繞物理學中最深遠問題的激烈爭論中。你有膽量在沒有任何已知事實支持的情況下斷言，物質不僅具有微粒性質，還有波動性質……后來的實驗證實了你的觀點是正確的。你為一個已經榮耀了數百年的盛名增添了新的榮光。

　　參考文獻與注釋

　　[1]注 0：德布羅意從狹義相對論出發討論相位波的性質，（也許）無意中使他更容易得到相位波的運動學基礎。作為一個例子，直到物質波思想提出 50 年后，仍有物理學家質疑德布羅意物質波的動量-波長公式違反了伽利略相對性原理。雖然這種質疑并不正確，然而其背后的原因卻不能說是平庸的。

　　[2] T. Kuhn, The structure of Scientific Revolutions, (University of Chicago Press, Chicago, 1996).

　　[3] T. Kuhn, The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change, (University of Chicago Press, Chicago, 1977).

　　[4]注 1：Lycée Janson de Sailly 成立于 1884 年，是法國公共教育體系中在巴黎最著名、規模最大的綜合性高中之一。

　　[5]注 2：莫里斯當時由龐加萊邀請，擔任索爾維會議的秘書之一，并同郎之萬一起負責出版會議的報告和討論，德布羅意對此進行了深度閱讀。他后來回憶說：“With the enthusiasm of my age, I had been thrilled by the interest in the problems studied, and I had promised myself to devote all my eforts to understanding the true nature of the mysterious quanta [...]At the time, I had already perceived the importance [...] of Analytical Mechanics. ”參見，L. de Broglie, Vue d’ensemble sur mes travaux scientifiques, In: Louis de Broglie. Physicien et penseur, Paris, Albin Michel, (1953).

　　[6] B. Wheaton, Atomic Waves in Private Practice, In: J. Evans and A. Thorndike, Quantum Mechanics at The Crossroads, New Perspectives from History, Philosophy and Physics, Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag (2007).

　　[7] L. de Broglie, Nouvelles perspectives en microphysique, Albin Michel (1956).

　　[8] L. de Broglie, Rayonnement noir et quanta de lumière (Blackbody radiation and light quanta), Journal de Physique et le Radium 3, 422-428, (1922).

　　[9] 1963 interview in Paris with Thomas S. Kuhn, Andre George and Théo Kahan, Archive for the History of Quantum Physics.

　　[10] L. de Broglie, Sur les interférences et la théorie des quanta de lumière, Comptes Rendus (Paris) 175, 811-813, (1922).

　　[11] L. de Broglie, Ondes et quanta (Wave and quanta), C. R. hebd. Séanc. Acad. Sci. Paris 177, 507-510, (1923).

　　[12] L. de Broglie, Waves and quanta, Nature 112, 540, (1923).

　　[13] L. de Broglie, Quanta de lumière, difraction et interférences, C. R. hebd. Séanc. Acad. Sci. Paris 177, 548-551, (1923).

　　[14] L. de Broglie, Les quanta, la théorie cinétique des gaz et le principe de Fermat, C. R. hebd. Séanc. Acad. Sci. Paris 177, 630-632, (1923).

　　[15] L. de Broglie, A tentative theory of light quanta, Phil. Mag. 47, 446, (1924).

　　[16] L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta (On the Theory of Quanta), Thesis, Paris, (1924); Ann. de Physique 10 (3), 22-128, (1925); 英譯本參見：Foundation of Louis de Broglie, English translation by A. F. Kracklauer, (2004). [本文作者注：德布羅意博士論文的這一英譯本是我們僅見的英譯版本。經過對部分章節法語原文的對照，我們發現此英譯本存在一些錯誤，例如，第七章題目 “La mécanique statistique et les quanta”，譯為“Quantum Statistical Mechanics”（量子統計力學），應為“統計力學與量子”更準確妥當；第七章(7.3.16)式漏掉了重要的n_p，否則得不到正確的結果。]

　　[17] M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, (1966); 2nd ed., American Institute of Physics, (1989).

　　[18] 愛因斯坦致郎之萬，1924；引自 F. Kubli, Louis de Broglie und die Materiewellen, Archive for History of Exact Sciences, 7(1), 26-68, (1970).

　　[19] C. Davisson and C. H. Kunsman, The scattering of electrons by nickel, Science, 54, 522-524, (1921).

　　[20]注 3：W. 埃爾薩瑟 (Walter Elsasser) 也是一位富于傳奇色彩的德裔美籍物理學家。埃爾薩瑟職業生涯的后期轉向理論生物學研究，跟本文主題無關聯。

　　[21] A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (Quantum Theory of a Monoatomic Ideal Gas), Sitzungsberichte der Preussischen Akademieder Wissenschafen, Physikalisch-mathematische Klasse, 261-267, (1924).

　　[22] A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, zweiteAbhandlung (Quantum Theory of a Monoatomic Ideal Gas, Second Treatise), Sitzungsberichteder Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 3-14, (1925).

　　[23] C. Davisson and L. H. Germer, The Scattering of Electrons by a Single Crystal of Nickel, Nature 119, 558, (1927).

　　[24]注 4：亦稱“玻姆力學”。注意，德布羅意理論并不完全等同于玻姆力學，特別是，德布羅意本人實際上對玻姆詮釋持反對態度。

　　[25] 例如，D. Bohm and B. Hiley, The de Broglie pilot wave theory and the further development and new insights arising out of it, Foundations of Physics, 12 (10) 1001-1016, (1982)，

　　[26] P. R. Holland, The quantum theory of motion: An account of the de Broglie-Bohm causal interpretation of quantum mechanics, Cambridge University Press, Cambridge (1993).

　　[27] “Guiding Waves in Quantum Mechanics: One Hundred Years of de Broglie-Bohm Pilot-Wave Theory”, A. Oldofredi ed., (Oxford University Press, 2025).

　　[28] 參見： 維基百科德布羅意詞條，https://en.wikipedia.org/wiki/Louis_de_Broglie

　　[29]注 5：在作者完成本文之際，發現國內已出版了《德布羅意文選》（北京大學出版社，2012）。該書收錄、譯介了包括德布羅意的博士論文在內的重要文獻，但未收錄德布羅意 1923 年的三篇論文。

　　[30] M. Planck, Eine neue Strahlungshypothese (A new radiation hypothesis), Verhandlungen der Deutschen physikal, Gesellschaft 13, 138-148, (1911). 本文作者注： 普朗克在論文中明確說明，其動機是為了避免因所有相互作用能量都量子化而導致振子能量的有效量子化。這一新的假設甚至促使普朗克修正了他的輻射定律，為每個振子能量增加了一個與溫度無關的項 hν/2——這恰好對應振子在絕對零度時的能量。這似乎是“零點能”概念的首次出現。

　　[31] A. Einstein, über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betrefenden heuristischen Gisichtspunkt (On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transmission of Light), Annalen der Physik 17 (1905), in “The Collected Papers of Albert Einstein: Vol. 2 The Swiss Years: Writings, 1900-1909”, trans. Anna Beck (Princeton: Princeton University Press, 1989), p. 97.

　　[32] A. Pais, Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein, New York: Oxford University Press (1982).

　　[33] P. Ehrenfest and H. Kamerlingh Onnes, Simplified Deduction of the Formula from the Theory of Combinations which Planck Uses as the Basis of his Radiation Theory, Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 17, 870-73, (1914).

　　[34] J. Hendry, The development of attitudes to the wave-particle duality of light and quantum theory, 1900-1920, Annals of Science 37, 59-79, (1980).

　　[35] B. R. Wheaton, Philip Lenard and the photoelectric effect, 1889-1911, Historical Studies in the Physical Sciences 9, 299-322, (1978).

　　[36]注 6：由于歷史原因等，將 wave-particle duality 稱“波粒二象性”在坊間已經約定俗成。本文亦按此。但是值得指出，“二象性”似已無“duality”蘊含的“對偶”意味，后者在物理學中有更深刻的影響。

　　[37] A. Einstein, Zum gegenw?rtigen stand des strahlungsproblems, Physikalische Zeitschrift 10, 185-193, (1909).

　　[38] A. Einstein, über die Entwicklung unsere anschauungen über das wesen und die konstitution der strahlung, Physikalische Zeitschrift 10, 817-825, (1909).

　　[39] A. Einstein, Zum gegenw?rtigen Stande des Problems der spezifischen W?rme (On the Present State of the Problem of Specific Heats), The First Solvay Congress, Brussels,(1911).

　　[40] N. Bohr, On the constitution of atoms and molecules, Part I., Philosophical Magazine 26 (Series 6), 1-25, (1913).

　　[41] R. A. Millikan, Einstein’s photoelectric equation and contact electromotive force, Phys. Rev. 7, 18-32, (1916).

　　[42] R. A. Millikan, A Direct Photoelectric Determination of Planck’s h, Phys. Rev. 7 (3), 355-388, (1916).

　　[43] R. A. Millikan, The existence of a subelectron?, Phys. Rev. 8, 595-625, (1916).

　　[44] 注 7：Millikan 在[42]中評論說：“ ……愛因斯坦得出這個方程式的半微粒理論目前似乎是完全站不住腳的。”[Yet the semi-corpuscular theory by which Einstein arrived at his equation seems at present to be wholly untenable.]

　　[45] A. Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung, Zürich Mitteilungen 18, 47-62, (1916).

　　[46] M. Planck, Zür Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normal- spectrum (On the Theory of the Energy Distribution Law of the Normal Spectrum), Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 237-45, (1900); Zür Theorie der W?rmestrahlung (On the Theory of Thermal Radiation), Annalen der Physik 4, no. 31, 758-68, (1910).

　　[47] P. Debye, Der Wahrscheinlichkeitsbegrif in der Theorie der Strahlung (The Concept of Probability in the Theory of Radiation), Annalen der Physik 338, no. 16, 1427-34, (1910); Zerstreuung von R?ntgen-strahlen und Quantentheorie (Scattering of X-rays and Quantum Theory), Physikalische Zeitschrift 24, 161-66, (1923).

　　[48] A. Einstein, Zür Quantentheorie der Strahlung (On the Quantum Theory of Radiation), Physikalische Zeitschrift 18, 121-28, (1917).

　　[49] W. Pauli, über das thermische Gleichgewicht zwischen Strahlung und freien Elektronen (About the Thermal Equilibrium between Radiation and Free Electrons), Zeitschrift für Physik 18, 272-86, (1923).

　　[50] A. Einstein and P. Ehrenfest, Zür Quantentheorie des Strahlungsgleichgewichts (On the Quantum Theory of Radiation Equilibrium), Zeitschrift für Physik 19, 301-306, (1923).

　　[51] A. H. Compton, A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements, Phys. Rev. 21, 483-502, (1923).

　　[52] H. A. Medicus, Fifty years of matter waves, Physics Today 27, 38, (1974).

　　[53] S. N. Bose, Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese, Zeitschrift für Physik 26, 178-81, (1924); 英譯本參見：S. N. Bose, Planck’s Law and the Light Quantum Hypothesis, Journal of Astrophysics and Astronomy 15, 3-7, (1924).

　　[54] Jun Ishiwara（石原純）, Zur Theorie der Strahlungserscheinungen, Phys. Zeitschrift 13, 1142-1151, (1912). 石原純似乎是最早利用級數展開來研究普朗克定律的。

　　[55] M. Wolfke, Einsteinsche Lichtquanten und r?umliche Struktur der Strahlung (Einstein’s light quanta and the spatial structure of radiation), Phys. Zeitschr. 22, 375-379, (1921).

　　[56] L. de Broglie, Conversations; AHQP Interview, (7 Jan. 1963). 第 5 頁. [Online: https://repository.aip.org/node/130439]. 作者注：訪談以法語進行，原文如下：... Et, comme dans mes conversations avec mon frère nous arrivionstoujours á la conclusion que dans les rayons X aussi on avait ondes et corpuscules,tout-á-coup, je dois dire – je ne peux pas dater exactement quand, mais c‘est certainement au cours de 1été de 1923-j’ai eu 1’idée qu’il fallait étendre cette dualité aux corpuscules de matière, et en particulier aux électrons. Et j ’ai remarqué que d’une part la theorié d’Hamilton-Jacobi tendait un peu á cela puisqu‘elle est applicable á des particules et que d?jà elle est une optique geometrique en plus de ca, et que d ’autre part, dans les phénomènes de quantification, on avait des nombres entiers, des nombres entiers qui se présentent très rarementen mécanique, dans certains problemès de mécanique céleste, je crois bien, tresrarement, et qui, au contraire, sont tout á fait courants dans tous les problemès ondulatoires, dans tous les problemès de dimension d’ondulation. Et alors je mesuis dit: mais il doit y avoir une nature ondulatoire de la quantification, etalors j’ai fait trois notes au compte-rendu en Septembre et dêbut Octobre 1923, dans lesquelles j’ai essayé de mettre d’une fa?on précise ces idées. Ces troisnotes, en somme, contiennent 1’essentiel de ce qui a été plus tard dans ma thèse, que j’ai développée ensuite.

　　[57] M.-C. Combourieu and H. Rauch, The Wave-Particle Dualism in 1992: A Summary, Foundations of Physics 22, 1403-1434, (1992).

　　[58] A. Aspecta and J. Villainb, The birth of wave mechanics (1923–1926), C. R. Physique, 18, 583-585, (2017).

　　[59] E. Fermi, Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico, Atti dell’Accademia dei Lincei 3, 145-9, (1926), 也就是說費米理論的萌芽可追溯至 1925 年夏季。

　　[60] E. Fermi, Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases, Zeitschrift für Physik 36, no. 11-12, 902-12, (1926).

　　[61] P. A. M. Dirac, On the Theory of Quantum Mechanics, Proceedings of the Royal Society (London) A 112, 281-305, (1926). 實際上，我們現今所使用的費米-狄拉克統計分布表達式，正是狄拉克所用的表述形式。

　　[62] When quite young you threw yourself into the controversy raging round the most profound problem in physics. You had the boldness to assert, without the support of any known fact, that matter had not only a corpuscular nature, but also a wave nature. Experiment came later and established the correctness of your view. You have covered in fresh glory a name already crowned for centuries with honour.Presentation Speech by Professor C. W. Oseen, Chairman of the Nobel Committee for Physics of the Royal Swedish Academy of Sciences, on December 10, 1929，諾貝爾獎委員會官網 1929 年物理學獎頒獎詞.