他是如何發現無窮大的不同層次，以及如何竊取了它

在1874年的一篇論文中，格奧爾格·康托爾證明了無窮大有不同的大小，從此永遠改變了數學。一批新近出土的信件表明，這同時也是一種剽竊行為。

來源 | QuantaMagazine及網絡公開報道

編譯 | 數學家編譯小組

校對 | 慧玲

去年3月12日，當德米安·戈斯跟隨卡琳·里希特走進她的辦公室時，他首先注意到的是那個半身像。它矗立在房間角落的一個高底座上，刻畫著一位表情堅忍、謝頂的老紳士。戈斯絲毫看不出那個讓他癡迷了一年多的焦慮、孤獨之人的影子。

相反，這是歷史眼中的格奧爾格·康托爾。一位知識巨人：堅定不移、意志頑強，決心不顧同儕的強烈反對，發起一場數學革命。

正是在這里，在德國哈勒大學，康托爾于150年前發起了他的革命。1874年，他在這里發表了數學4000年歷史上最重要的論文之一。那篇論文將長期以來被視為數學毒瘤、必須不惜一切代價回避的概念——無窮——具體化了。它迫使數學家質疑他們一些最悠久的假設，動搖了數學的根基。它催生了一個新的研究領域，并最終導致整個學科被重寫。

現在，35歲的數學家兼記者戈斯來到哈勒——從他位于美因茨的家坐火車需要五個小時——是為了查閱康托爾遺留下來的一些信件。他見過其中一封的掃描件，并且相當確定其他信件會說些什么。但他想親眼看看原件。

里希特——像康托爾一樣，她的整個職業生涯都在這里度過，先是作為研究數學家，退休后則擔任數學史講師——示意戈斯坐下。她從堆滿散亂書籍和論文的桌子上拿起一個薄薄的藍色活頁夾。里面是幾十張塑料保護頁，每張都夾著一封手寫的舊信件。

戈斯開始翻閱，像考古學家進入一座失落已久的古墓那樣，饒有興味地審視著這些信件。然后他翻到某一頁，呆住了。他幾乎屏住了呼吸。

不是因為筆跡。在他對康托爾的研究中，他已經習慣了那種奇怪的、幾乎無法辨認的、被稱為哥特手寫體（kurrentschrift）的字體，這是德國人一直使用到1900年左右的一種字體。

也不是因為簽名。他知道德國數學家理查德·戴德金在康托爾理解無窮和鞏固數學基礎的探索中扮演了關鍵角色，并且兩人交換過許多信件。

是日期：1873年11月30日。

他以前從未見過這封信。沒人見過。據信它已經丟失，可能在第二次世界大戰的動蕩中被毀，或者被康托爾本人銷毀了。

正是這封信有能力改寫康托爾的遺產。這封信最終證明了康托爾那篇著名的1874年論文——那篇后來重塑了整個數學的論文——是一次剽竊行為。

思想的相遇

康托爾于1845年出生在俄羅斯的圣彼得堡。他11歲時，父親生病了，全家為了躲避俄羅斯危險的冬天移居德國。康托爾將在那里度過余生，并最終完全失去任何口音。但他從未在這個收養他的家鄉感到完全自在。

隨著康托爾父親的病情持續惡化，他把所有希望都寄托在六個孩子中的長子身上。在康托爾的堅信禮上，父親給這個15歲的男孩寫了一封信，警告他許多有前途的人才都因為那些抵制他們想法的人而失敗了——只有堅定不移的宗教信仰才能防止他成為另一個“所謂的被毀掉的天才”。為了發揮他作為“科學地平線上的閃耀之星”的潛力，他必須在詆毀者面前堅持不懈。

康托爾余生都隨身帶著父親的這封信。他將這種英雄式的知識反抗觀內化于心，并很快找到了施展自己才華的地方：數學。正如他所說，數學是“一種未知的、秘密的聲音召喚他”的領域。18歲時，父親去世，他用繼承的遺產進入了柏林大學，這是當時數學的偉大中心之一。

在那里，一場沖突開始醞釀。

格奧爾格·康托爾不斷尋求在數學領域留下自己的印記。但到了19世紀90年代，他的野心使他陷入了嚴重的抑郁癥。

問題是無窮。數學家們在幾千年前發明了這個抽象概念來處理這樣一個問題：對于你命名的任何數字，你總能命名一個更大的數字。但無窮本身也帶來了問題。古希臘哲學家芝諾用它來編造各種悖論。當無窮進入畫面時，像大小和加法這樣直截了當的概念似乎就失效了。

無窮也帶來了宗教上的挑戰。基督教神學規定，上帝必須比他的任何創造物都偉大——唯一的真無窮，比任何數字都大。如果普通數學家能夠掌控這種不可量化的量，那將是對上帝的侮辱，從而也是對教會權威的侮辱。

數千年來，數學家們通過同意無窮只是一種有用的技巧，而不是一個有效的數學實體來規避這些危險。正如偉大的數學家卡爾·弗里德里希·高斯在1831年的一封信中所說，無窮不過是一種“說法（fa?on de parler）”——一種修辭方式。

但在幾十年內，無窮變得越來越難以忽視。

數學家們開始重新審視他們最基本的概念，希望使其更加精確。他們開始意識到，即使他們對數字是什么的理解，也建立在搖搖欲墜的基礎之上。

在那之前，他們只把數字看作是在代數中解方程得到的答案：整數、分數、平方根。現在，他們中的一些人想探索這些不同的種類如何相互關聯，以及是否有其他種類的數字有待發現。

理查德·戴德金花費了數十年時間試圖理解數學最基本的對象。他最著名的論文之一是：《數字是什么，它們應該是什么？》

在這些探索者中，有一位名叫理查德·戴德金的性格安靜的德國數學家。1858年，他找到了一種嚴格定義實數的方法——實數就是數軸上出現的任何數字。但他沒有分享他的發現。作為一個思維緩慢而嚴謹的人，他更愿意與他人討論他的結果，直到他確信自己是對的。

與此同時，在1870年，康托爾還不知道戴德金的工作，他完成了研究生學業，并開始研究關于某些方程如何表現的實踐性問題。他對關于數字本質的哲學問題還不感興趣，但他的工作使他得出了自己對實數的定義。

1872年初，戴德金和康托爾分別發表了他們的成果。

他們都做了一些激進的事情：他們重新定義了數軸。

在他們的論文之前，數學家們認為，盡管數軸看起來可能是一個連續的對象，但如果你放大得足夠遠，你最終會發現間隙。

以零和一之間的那段數軸為例。它包含無窮多個分數：對于任意兩個分數，你總能放大找到介于它們之間的另一個分數。但無論你放大多少倍，總有一些數字，比如，是你永遠也達不到的。這里有間隙——無窮是斷裂的。

然而，在他們1872年的論文中，康托爾和戴德金找到了一種方法來構建一個完整的數軸。無論你把它任意一段放大多少倍，它仍然是無窮多個實數連續連接、不間斷的廣闊領域。

突然間，長期被數學家們恐懼的無窮這個怪物，再也不能被歸到數軸上某個無法觸及的部分了。它藏匿于數軸的每一個縫隙之中。

那年夏天，康托爾和戴德金都在瑞士風景如畫的湖畔村莊格紹度假，在那里他們第一次相遇，并一起長談，討論了他們的想法。

一張19世紀90年代的印刷品，描繪了瑞士村莊格紹，康托爾和戴德金在那里偶然相遇并迅速成為朋友。

在任何一個旁觀者看來，這兩個在湖邊漫步的男人似乎很不相配。27歲的康托爾高大、肩膀寬闊且充滿熱情。他陶醉于同儕的關注，但在這一切之下，他對自己在他們眼中的看法深感焦慮。這使他工作迅速，試圖頻繁快速地發表成果。另一方面，戴德金比康托爾大13歲，但矮得多，也更加內向。他完全沒有康托爾那種急于發表成果的緊迫感。事實上，在他的一生中，他發表的東西相對較少。

但他們一拍即合。在他們后來寫的信中，兩人都一次又一次地回憶起那個在湖邊討論數學的美好日子。他們在彼此身上找到了伙伴，找到了朋友。

然而，這段友誼沒能持久。

追尋一個故事

德米安·戈斯從小就非常在意規則。2008年，17歲的他和家人從他長大的德國搬到了他母親的原籍國阿根廷。在那里，戈斯決定開始做裁判。“我喜歡和朋友一起踢足球，”他說——但比起踢球，“我總覺得體育運動中的不公正令人惱火。當我看比賽時，如果裁判判罰錯了，我就想為糾正錯誤出份力。”

這讓他有機會將自己的信念付諸行動。在接下來的15年里——從他在羅薩里奧國立大學讀本科、研究生、做博士后研究員和講師期間——他一直為一個重要的地區性足球錦標賽擔任職業比賽的裁判。他回憶說，有一次，人群中的一名球迷向他揮舞著砍刀，這是一種隱晦的威脅。但當該球迷的球隊在接下來的比賽中犯規時，戈斯沒有退縮。他只是深吸一口氣，掏出了紅牌。

“做裁判真的是一段塑造性格的經歷，”他說。“當人們試圖恐嚇我時，我不會退縮。”

德米安·戈斯，一位德國阿根廷裔數學家和記者，在阿根廷感覺最自在。圖中他正在喝馬黛茶，一種南美洲的傳統草本茶。

盡管戈斯喜歡數學研究，但他更被定理背后的故事所吸引。他利用空閑時間閱讀數學思想史，并在大學咖啡館為他的同學們繪聲繪色地講述他學到的故事，同學們把這個咖啡館稱為他的“辦公室”。做博士后時，他有時會帶學生到戶外，通過解釋性舞蹈來闡釋數學概念，比如優化算法或混沌系統。他說，許多學生喜歡這種方式，但一些教授警告他不要使用這種非正統的方法。“他們大概以為能嚇到我，”戈斯說。“他們沒聽過砍刀的故事。”

2020年，還在做博士后的他病倒了，不得不經常回德國治療。幾年后，他徹底搬回了德國。博士后結束后，身體也好轉了些，他決定是時候離開學術界，去追尋他對講故事的喜愛了。于是，在2023年初，他在柏林自由大學開始了一個科學新聞學的研究項目，專注于開發一個播客。他想講述數學史上最扣人心弦的故事。

他有了一個想法，知道從哪里開始。

“因為我是一個情感豐富的人，所以我關注的是有史以來最情感化的故事，"他說——這個故事就是無窮如何變成現實，并催生了集合論（set theory），而集合論為整個現代數學提供了新的基礎。"它將我們對數學的理解推向了極限，”戈斯說。“你必須告別數學直覺，只是開放和接受你將在那里遇到的所有不可思議的事情。”

戈斯制作了一個關于數學和科學史的播客。正是這個播客的工作讓他發現了關于康托爾和戴德金之間真實故事的新證據。

他在學校學到的是，康托爾是集合論的唯一創始人——而這一切都始于他1874年發表的一個證明。在那個證明中，康托爾展示了無窮大有不同的大小，終結了無窮只是數學花招的觀念。

戈斯開始為一個關于康托爾發現的播客做研究。但他很快發現，真實的故事比他被告知的要復雜得多。

“我最初的方法是講述每個人都講的那個故事。那是一個美麗的故事，”他說。“但這是一個錯誤的故事。它不是真實發生的事情。”

特洛伊木馬

真實的故事是，康托爾不是一個孤獨的天才。他有一個伙伴——至少在一段時間內是這樣。

每當康托爾遇到志同道合的數學家，他都會熱切地追求他們。他會在黎明時分出現在合作者的住所，興奮地討論他想到的新想法，有時會等上幾個小時直到他們醒來。與戴德金的關系也是如此。1872年在格紹相遇后，康托爾抓住一切機會向這位年長的數學家請教。

1873年11月，康托爾開始了一次將永遠改變人類知識進程的通信。“請允許我向您提出一個問題，”他在一封匆忙寫就的信中告訴戴德金。“這對我有某種理論上的興趣，但我自己無法回答；也許您可以。”

康托爾為他父親灌輸的熱情驅動力找到了一個出口：數軸的無窮本質。“他有非常強烈的使命感，”西班牙塞維利亞大學的數學史家和哲學家何塞·費雷羅斯說。“他深信，真實無窮（actual infinity）的引入不僅會改變數學，還會改變整個科學。”對康托爾來說，這種無窮并不與上帝的至高無上相矛盾。它只意味著上帝不是遙遠和不可知的，而是無處不在，存在于萬物之間。

他開始把實數作為一個單一的、無窮的包來研究，提出了以前沒有人想過要問的問題。1, 2, 3, … 中的三個點所表示的無窮，與隱藏在神秘連續的數軸本身中的無窮，兩者之間有區別嗎？換句話說，實數是否比整數多？

從表面上看，這個問題似乎毫無意義。說這些無窮集合有不同的大小，到底是什么意思？

康托爾想找出答案。

他問戴德金，這兩組數是否可以建立“一一對應”——即每個實數都能與一個獨特的整數配對。他寫道，他已經成功地對另一組數做到了這一點：他證明了每個有理數（可以寫成分數的數）都可以分配一個唯一的整數，沒有剩余任何數。也就是說，盡管有理數看起來比整數多得多，但這兩組數實際上大小相同。因此，兩者都是數學家后來稱之為“可數的（countable）”集合。

但康托爾無法想出如何以同樣的方式比較整數和實數。戴德金很快回信說他也不能——但他已經想出了一個證明，證明代數數（作為代數問題解得到的數字）是可數的。“我不會寫所有這些，”戴德金在信的結尾對康托爾寫道，“如果我不認為這個或那個評論可能對您有用的話。”

從那以后，數學上的交流繼續進行。受到戴德金進展的鼓舞，康托爾在接下來的日子里繼續攻克剩下的問題——實數。他能否最終證明，與代數數不同，它們是一個比整數更大的無窮大？

1873年12月7日，他寫信給戴德金，說他認為他終于成功了：“但如果我是在自欺欺人，我肯定找不到比您更寬容的評判者了。”他闡述了他的證明。但它很笨拙，復雜難懂。戴德金回信提出了一種簡化康托爾證明的方法，構建了一個更清晰的論證，同時沒有失去任何嚴謹性或準確性。與此同時，康托爾在收到戴德金的信之前，也給他寄去了一個類似的想法，關于如何簡化證明，盡管他沒有像戴德金那樣把細節弄出來。

康托爾思考著他手中掌握的東西：兩個集合，都是無窮的，但其中一個在某種意義上比另一個更大。其含義是革命性的。他開始夢想不只是有一個無窮，而是有一個完整的無窮層級。如果無窮可以如此具體地比較，那么它們一定是真實的，而不僅僅是修辭方式。

他意識到，他的證明有可能撼動數學界的核心。但這也必然會激怒一些最杰出的人物。

其中一個人物是利奧波德·克羅內克，一位厭惡無窮的數學理論家。他不相信數軸上那些緊密堆積的角落和縫隙。根據證明了π不是代數的（你永遠無法提出一個普通的代數問題以π為答案）的數學家費迪南德·馮·林德曼的說法，克羅內克曾告訴他，他的工作毫無價值，因為這種“超越數（transcendental）”根本不存在。

對利奧波德·克羅內克來說，無窮在數學中沒有位置。當康托爾挑戰這一信念時，克羅內克開始著手摧毀他的聲譽，并阻止他發表。

克羅內克也是數學界的一個重要把關人。他是世界上最著名的數學出版物之一《克雷勒雜志》（Crelle's Journal）的編委。而且他從不猶豫利用自己巨大的影響力來推行他的保守議程。他常常會決定哪些成果能迅速——或者根本不能——傳到其他數學家手中。

康托爾在與他的導師卡爾·魏爾斯特拉斯討論后，想把這些發現發表在《克雷勒雜志》上。他想，在那里，他能夠將無窮帶入主流。向全世界揭示上帝的思想。成為數學地平線上的一顆閃耀之星。

康托爾的使命感，他內心那種“秘密的聲音”，開始膨脹。

康托爾與克羅內克關系良好。但幾年前，戴德金曾在一個重大成果上搶在克羅內克之前發表，而克羅內克對他的厭惡是眾所周知的。如果康托爾提交一篇與克羅內克的宿敵合著的論文——一篇公開宣稱存在多種大小的無窮的論文——它可能永遠無法發表。

于是他做了兩個決定。

第一個是建造一個數學上的“特洛伊木馬”。

魏爾斯特拉斯對代數數可數的證明最為興奮。（他后來會用這個結果來證明他自己的一個定理。）所以康托爾選擇了一個誤導性的標題，只提到了代數數。

但他把這個證明——戴德金的證明——看作是誘餌，是他可以用來撬開被禁止的無窮之門的一個楔子。在撰寫論文時，康托爾把關于代數數的證明放在前面。在它下面，他加上了他自己關于實數不可數的證明——也就是戴德金的簡化版本。康托爾淡化了第二部分真正的重要性。“他特意選擇了一種不會引起克羅內克和所有那些憎恨無窮的人懷疑的措辭，”戈斯說。

康托爾的第二個決定是聲稱自己是唯一的作者。他小心翼翼地抹去了他合作者貢獻的每一絲痕跡，包括那些知情人會認出是戴德金風格的術語的零星使用。

以典型的康托爾風格，他在一天之內就把論文拼湊起來，提交給了《克雷勒雜志》。第二天早上，也就是1873年的圣誕節，他給戴德金寄了一封信，告訴他魏爾斯特拉斯說服了他發表。“正如您將看到的，”他寫道，“您的評論，我高度重視，以及您闡述某些要點的方式，對我幫助很大。”

書寫故事

康托爾欺騙行為的第一個證據是在20世紀初由另一位偉大的德國數學家發現的。埃米·諾特是戴德金的追隨者。她常常詩意地談論他的數學先見之明。正如她喜歡告訴學生的：“一切都已經在戴德金那里了。”1930年，她正將他所有的數學著作收集成四卷出版時，偶然發現了他保存的一些與康托爾的通信。她與法國哲學家讓·卡瓦耶合作，也把這些信件收集并出版。

著名數學家埃米·諾特幫助收集了康托爾不當行為的第一個證據。

那時戴德金和康托爾都已去世十多年了。諾特和卡瓦耶花了接下來幾年時間追尋戴德金遺產中的信件。1933年，阿道夫·希特勒上臺后，身為猶太人的諾特從德國逃往美國，兩年后因癌癥在那里去世。但卡瓦耶在1937年完成了他們的項目。

書中呈現的通信很奇怪。它始于1872年康托爾和戴德金相遇后不久的一連串信件。這些來自戴德金遺產的信件，只包括他收到的那些，不包括他寄給康托爾的。然后通信在1874年1月突然中斷，隨后是幾年的沉默。當通信在1877年恢復時，戴德金自己寫給康托爾的信也出現了。戴德金顯然決定把他寄給這位數學同行的一切都留一份副本。

還有一張似乎是戴德金在看到康托爾1874年在《克雷勒雜志》上發表的文章后給自己寫的便條。在便條中，他敘述了他如何把論文中的第一個證明和第二個證明的修訂版寄給康托爾——結果僅僅幾個月后，它們就“幾乎逐字逐句”地以康托爾一個人的名義出現在出版物上。

戴德金從未公開提出這一指控，諾特和卡瓦耶也沒有對此發表評論。“我認為對他們來說，這是一個非常刻意的決定，什么都不說，只是讓信件自己說話，”塞維利亞的歷史學家費雷羅斯說。“那是當時的榮譽準則。”

其他人也沒有注意到這一點——至少沒有公開指出。最早由康托爾的數學弟子們撰寫的傳記，只是贊美了他的天才。

戈斯拿著康托爾和戴德金通信的首次出版記錄。

幾十年后，像艾弗·格拉頓-吉尼斯這樣的歷史學家重新審視了康托爾-戴德金的通信。格拉頓-吉尼斯拼命試圖找到戴德金在1873年寄給康托爾的那些信——那些可能證明康托爾不當行為的信。據推測，它們在他死后被留在了哈勒大學的辦公室里，但現在卻無處可尋。格拉頓-吉尼斯得出結論，它們很可能在第二次世界大戰期間丟失了，或者在1945年美國及蘇聯軍隊占領哈勒后隨之而來的破壞中遺失了。

沒有這些信件，格拉頓-吉尼斯和他同時代的人決定不指控康托爾有道德失當行為。一些人認為他的行為得到了戴德金的許可；另一些人則原諒了他的選擇，因為是他開始了這次通信，并且想出了那個更重要的第二個證明的初版。

但當戈斯在2024年制作播客時了解到這段歷史，他感到憤慨。他只能找到一篇明確討論康托爾不當行為的文章。在1993年的一篇論文中，費雷羅斯指控康托爾剽竊并發表了戴德金的工作而未署名。但其他康托爾傳記作者立即對費雷羅斯的說法提出反駁，認為這是對所發生事情的過于極端的解釋。而且，沒有戴德金丟失的那封信，就沒有所謂罪行的真正證據——只有戴德金事后寫的便條。誰能那么肯定其說法是真的呢？

何塞·費雷羅斯，塞維利亞大學的數學史家和哲學家，是第一個在出版物中指控康托爾剽竊的人。

這仍然是數學史家之間一場不起眼的爭論，康托爾作為孤獨天才的神秘感得以延續。

戈斯想在他的播客中講述真實的故事——并且用證據支持它。他看到了一個方法。但這希望渺茫。

“他們總是說這些信件在戰后丟失了，”他說。這讓他耿耿于懷。“毫無疑問，很多東西丟失了，但這并不意味著沒有別的東西幸存下來。”

許多偉大的歷史學家都曾尋找過這些信件，但都一無所獲。戈斯才剛剛開始他的研究。但所有專家都可能漏掉了什么嗎？

孤獨的生存

康托爾在《克雷勒雜志》上的論文并沒有引起巨大轟動，因為數學家們大多沒有注意到他隱藏在字里行間的內容。但他打響了第一槍，開啟了他對數學現狀的終身攻擊。他在數學界最重要的期刊上發表了一個證明，證明無窮有不同的大小。這最終將迫使數學家們重新思考該領域的基礎——決定其最基本的規則及其后果。

與此同時，戴德金不再回復康托爾。他們幾乎有三年完全沒有通信。然后，出于不完全清楚的原因，戴德金謹慎地重新接觸。但這一次，他保存了每封寄出信的草稿：一份留作記錄。

兩人又開始討論無窮。康托爾計劃跟進他關于無窮有多種大小的工作，并希望得到建議。他的信現在更帶有懇求的意味，而戴德金則更加謹慎。但通信是富有成果的，康托爾很快向《克雷勒雜志》提交了一篇新的、更大膽的論文——這次沒有偽裝。

克羅內克強烈反對。他利用自己在柏林圈子的所有影響力，盡可能地拖延審稿過程。但幾個月后，魏爾斯特拉斯和其他人代表康托爾出面干預，論文最終出現在雜志上。

又一次，戴德金寫給康托爾信中的想法未經署名就出現在論文里。又一次，戴德金中斷了他們的通信。

康托爾或許最終會后悔與他僅有的知識盟友之一決裂。他一直努力想把哈勒這個數學的偏僻之地變成從他工作中發展出來的新領域——集合論——的中心。他實現這一目標的最佳機會是聘請戴德金。1882年，他試圖招募他，好像什么都沒發生過一樣。戴德金禮貌地拒絕了。

隨著康托爾繼續發表關于無窮的成果，克羅內克致力于讓數學界反對他。他稱康托爾為“青年的敗壞者”和“叛徒”。當康托爾試圖離開哈勒，于1883年申請更負盛名的柏林大學的職位時，那里的教授克羅內克阻止了他的任命。其他數學家，包括康托爾的一些朋友，也開始勸阻他發表成果。

康托爾將所有這些抵制都視為針對個人的。“他渴望得到認可，”戈斯說。“但做與別人不同的事情，其本質就是他們會不喜歡。”1884年，康托爾因一次嚴重的抑郁發作而住院。隨著時間的推移，他變得越來越孤立。“有一種模式，”費雷羅斯說。“他與許多同事的關系都以糟糕的結局告終。”

康托爾在后期的照片中常常顯得自信而強大。但在他自信的外表下，他是孤獨和焦慮的。

最終，康托爾成了他父親警告過他的那種反對力量的犧牲品。當他一次又一次地被認為理應獲得的學術職位和榮譽被拒絕時，他的使命感讓位于怨恨。他的抑郁癥復發了，在接下來的二十年里，他多次住院。1917年，他最終被送進一家療養院，在那里他定期給妻子寫信，懇求她讓他回家。他于次年去世。

康托爾被迫退到了邊緣。但他的想法逐漸在年輕一代數學家中獲得了關注。他們在康托爾的工作中看到了從頭重寫整個數學的潛力。

幸運的發現

戈斯也想做一些改寫工作。在他2024年的播客中，他報道了康托爾和戴德金之間的沖突。但由于未能發掘出任何新證據，他發現很難改變這場爭論。他轉向了其他項目。

盡管如此，他無法放下這個故事。

他在空閑時間繼續挖掘關于丟失信件的線索。“我不認為還有哪本書是我沒有的，”他說。他盡可能地追蹤原始資料，仔細查閱大學檔案館。“我指的是那些在一篇文章中只被一行提到過一次的原始資料。”

就這樣，在2024年夏天，他偶然發現了一封看起來像是戴德金寫給康托爾的信的部分掃描件。它在一個名為“Georg-Cantor-Vereinigung”——格奧爾格·康托爾協會——的網頁上。“這是一群試圖保持康托爾記憶的人，”戈斯說。這封信是1877年的，遠在沖突之后，所以戴德金的草稿已經存在于歷史記錄中。但從未有過他寄給康托爾的那份副本的任何記錄。戈斯嘗試聯系該組織的多位成員，但沒有得到回復。

幾個月后，他再次訪問該網頁。但這一次，他注意到在掃描件下方，網站提到2009年有人捐贈了來自一位繼承人的信件。他追查那位繼承人可能是誰，在仔細查閱了許多家譜和其他文件后，他終于找到了安格莉卡·瓦倫博士——康托爾的曾孫女，她似乎住在哈勒。

當他打電話給她時，她告訴他，她對數學一無所知（實際上她是位考古學家），但她希望把她擁有的所有信件都提供給歷史學家研究。她把它們交給了哈勒大學（現在正式名稱為馬丁·路德·哈勒-維滕貝格大學），最后它們到了康托爾協會主席、一位名叫卡琳·里希特的數學教授手中。

戈斯找到了里希特。于2025年3月到達她的辦公室。打開了她遞給他的那個薄薄的藍色活頁夾。

他本以為會看到康托爾協會網站上貼出的那封戴德金的后期信件。這會像他追尋其他原始資料一樣——是驗證已知信息和或許獲得一些新見解的好方法。

但擺在他面前的，是他渴望尋找了一年多的那封信。他確信這一點。盡管戴德金那細致、華麗的筆跡不知何故比康托爾不均勻的潦草字跡更難辨認，戈斯能看到信紙上散布著“algebraischen Zahlen”這個詞組：即“代數數”。而在信的末尾，毫無疑問，是署名：“致以最誠摯的問候，您最忠誠的 R. 戴德金——不倫瑞克，1873年11月30日。”

里希特到底知不知道她手里有什么？他要了掃描件。里希特說她會考慮一下。

這是戴德金1873年11月30日寫給康托爾的信，遺失了一個多世紀。在信中，戴德金提供了代數數集合與整數集合大小相同的證明——康托爾后來剽竊了這一成果。

在回家的火車上——這是他當天的第二次五小時旅程——戈斯思忖著他所掌握的發現。他知道情況很微妙。當他提起康托爾背叛戴德金的事時，他經歷過德國數學家們的不屑一顧。“驕傲是德國人通常不太愿意表露的情感，”戈斯說。“但我們為康托爾感到驕傲。”很難找到比里希特更狂熱的康托爾粉絲了，而且她似乎并不急于分享掃描件。

兩天后，當他撥打里希特的電話號碼時，他的希望沉到了谷底。該號碼已停止使用。“你怎么跟人說這事呢？你知道，我跟這位女士談過，她似乎不太樂意分享這些信件，所以我打電話給她，她的號碼卻不存在了，”他說。“得了吧，德米安，得了吧！”他責備自己當時太客氣，沒在里希特的辦公室掏出手機開始拍照。

接下來的一個月，他聯系了所有他在哈勒認識的人，懇求他們想辦法找到里希特。“我開始覺得自己要瘋了，”他說。“她真的存在嗎？”終于，里希特的一位同事告訴他她下一次上課的時間和地點。他在四月又做了一次十小時的往返旅行，里希特解釋說她已經換了電話供應商。她遞給他一份掃描件和謄本。雖然只有一封信，但正是那封關鍵的信。

又過了一個月，又一次長途跋涉，里希特交出了另一封戴德金的信，這次是1873年夏天的。戈斯不知道他是否還能負擔更多這樣的旅行：“我并不富有，”他說。他認為是時候讓世界知道他的發現了。

戈斯閱讀那封丟失信件的掃描件。

更真實的遺產

如今，康托爾的聲望遠超戴德金。

兩人都為數學基礎做出了重大貢獻。但康托爾常常被認為是馴服了無窮并發明了集合論的人，而集合論是現在所有現代數學所使用的語言。他作為歷史上最偉大數學家之一的聲譽，通過傳記和暢銷書得到了鞏固，他是少數幾個在數學界之外也被知曉的數學家之一。

沒有英文版的戴德金傳記。他的維基百科頁面長度是他昔日朋友的四分之一。在數學家中——很大程度上歸功于諾特的努力——他保留著作為一位鮮為人知的遠見者的聲譽。“我對戴德金了解得越多，就越印象深刻，”圣母大學的集合論學家和哲學家喬爾·戴維·哈姆金斯說。“康托爾證明了所有這些偉大的定理，但戴德金可能是更偉大的數學家。”

康托爾1874年論文背后的真實故事已經公開存在了90年。但這并不是人們喜歡講述的那種故事。“每個科學分支都需要一個英雄，”費雷羅斯說。“化學有拉瓦錫，力學有牛頓，相對論有愛因斯坦。總是有這一個，只有一個。但這總是謊言。”

自從挑戰這個謊言以來，戈斯遇到了阻力。當他分享他發現了那封丟失的信件時，數學家們質疑其重要性——尤其是在德國。他很難讓人們明白為什么這很重要。他們的反應呼應了30年前歷史學家對費雷羅斯論文的反應。

但這確實很重要。數學常常被視為離現實世界及其缺陷最遙遠的科學。它的真理是絕對的。它重視美和優雅勝過一切。重要的是工作本身，是被探索的世界。其他一切，包括作者身份和功勞，都是次要的。

但這掩蓋了追求科學真理的實際情況。“數學是一項集體事業，”費雷羅斯說。“即使在集合論的情況下，你也沒有這樣一個絕妙的例子，證明是單個人發明了整個東西。”

這也掩蓋了數學是由人完成的事實。不可能將自我、觀點和個人缺陷與工作本身分開。“太好了，”戈斯喜歡對那些否定康托爾不當行為的數學家們這樣回應。“你下一篇論文，匿名發表。然后我們再看看它是否關乎科學。”當涉及到自己的工作，數學家們非常在意功勞。他們中許多人近乎百科全書式地知道誰提出了哪個定理，誰贏得了哪些獎項。

關于康托爾成果的真相揭示，并沒有削弱他的遺產。他仍然是第一個證明實數比整數多的人，這最終開辟了對無窮的研究。“在我看來，真正重要的是第二個定理，”哈姆金斯說。而那個定理的原始證明并不是戴德金的。

但認識到戴德金在數學史上最偉大發現之一中的作用，以及康托爾決定不給他署名，仍然很重要。歸根結底，康托爾的選擇只是把他從英雄降格為凡人——一個更誠實的形象。“康托爾是個不太容易與人交往的人，”里希特說。“這對康托爾來說非常非常困難。”

“他當時非常年輕，非常充滿激情和熱忱，”費雷羅斯說。“他犯了一個大錯誤。”

歸根結底，這才是更好的故事——因為它是真實的。

本文經授權轉載自微信公眾號“數學家”，責編：。

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