監(jiān)測(cè)預(yù)警基礎(chǔ)6-究竟什么是指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均？指數(shù)含義直觀理解！

系列簡(jiǎn)介

這是我們一系列原創(chuàng)技術(shù)貼，從易到難，每天學(xué)習(xí)一點(diǎn)。所有內(nèi)容均為疾控?cái)?shù)據(jù)分析、科研論文相關(guān)，或者說很多和現(xiàn)在的熱門監(jiān)測(cè)預(yù)警相關(guān)，所以我們這個(gè)系列就叫“監(jiān)測(cè)預(yù)警基礎(chǔ)”。

今天是第6節(jié)，前面講了很多的關(guān)于算數(shù)移動(dòng)平均的應(yīng)用，今天算是新的內(nèi)容，講一講指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均，系統(tǒng)學(xué)習(xí)一下究竟什么是指數(shù)加權(quán)！

在傳染病監(jiān)測(cè)預(yù)警中，我們常常面臨這樣的困境：傳統(tǒng)的簡(jiǎn)單移動(dòng)平均對(duì)近期變化的反應(yīng)不夠靈敏，而單周數(shù)據(jù)又波動(dòng)太大、容易誤報(bào)。

今天，我們聚焦一種在疾控監(jiān)測(cè)中極具價(jià)值的高級(jí)工具——指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（The Exponentially Weighted Moving Average,EWMA）。它能夠更敏銳地捕捉疫情的早期變化，為防控決策贏得寶貴時(shí)間。

EWMA是由美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室的S. W. Roberts博士于1959年提出。原有簡(jiǎn)單控制圖法在處理小波動(dòng)或趨勢(shì)變化時(shí)存在不足，Roberts博士開始探索新的方法，其在簡(jiǎn)單移動(dòng)平均的基礎(chǔ)上引入了權(quán)重的思想。

核心思想就是距今越近，數(shù)據(jù)權(quán)重越大；距今越遠(yuǎn)，數(shù)據(jù)權(quán)重越小；隨著時(shí)間的推移呈指數(shù)形式遞減。

EWMA的優(yōu)勢(shì)就是它會(huì)給近期數(shù)據(jù)更高權(quán)重，讓監(jiān)測(cè)系統(tǒng)對(duì)新變化更敏感，同時(shí)對(duì)歷史數(shù)據(jù)“逐漸淡忘”，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)追蹤。

所以EWMA最重要參數(shù)就是，為權(quán)重因子， 0<<1，決定遞減速度。

我們通過比較就能發(fā)現(xiàn)指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均的精髓

計(jì)算指數(shù)加權(quán)之后的病例數(shù)：

Zt：今天（t時(shí)刻）的指數(shù)加權(quán)之后的病例數(shù)，也就是EWMA值

Xt：今天的新觀測(cè)值，原始數(shù)據(jù)

Z(t-1)：昨天的EWMA值，它包含了昨天之前的所有歷史信息

λ：平滑系數(shù)，或者交權(quán)重系數(shù)、衰減因子，這就是我們要說的的“指數(shù)”，它決定了新數(shù)據(jù)的權(quán)重和遺忘的速度，范圍在0到1之間。

額外說明一下，這個(gè)初始值，也就是第一個(gè)EWMA值，通常直接用第一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)或目標(biāo)的平均值。

此外，從操作方法上看這個(gè)方法似乎只是移動(dòng)指數(shù)加權(quán)，但其本質(zhì)是對(duì)所有歷史數(shù)據(jù)做的加權(quán)平均，它代表一個(gè)“位置”或“中心趨勢(shì)”：就像算術(shù)平均值代表一組數(shù)據(jù)的中心一樣，EWMA值代表了近期而且含歷史影響過程水平的估計(jì)中心，所以叫指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均！

λ的含義：λ是衡量“新數(shù)據(jù)的權(quán)重”
λ越大（接近1，如0.9）：當(dāng)前新數(shù)據(jù)的權(quán)重越大，這意味著模型更信任新數(shù)據(jù)，更不信任歷史記憶。因此，它對(duì)新變化反應(yīng)極快，曲線會(huì)緊跟原始數(shù)據(jù)的波動(dòng)，靈敏度高，但穩(wěn)定性差，更容易被噪聲干擾。

λ越小（接近0，如0.1）：新數(shù)據(jù)的權(quán)重越小，歷史記憶的權(quán)重越大。這意味著模型更信任長(zhǎng)期建立的歷史基線，對(duì)新數(shù)據(jù)持保守態(tài)度。因此，它對(duì)新變化反應(yīng)溫和，曲線非常平滑，能有效過濾短期波動(dòng)，穩(wěn)定性強(qiáng)，但靈敏度低，對(duì)微小變化反應(yīng)滯后。

λ大靈敏度高，λ小穩(wěn)健性強(qiáng)。如果還沒有很理解，接下來我們直接上數(shù)據(jù)看看，不同λ大小畫出來的線究竟有啥區(qū)別！

我們對(duì)以下數(shù)據(jù)做7日移動(dòng)平均、λ為0.8的移動(dòng)加權(quán)和λ為0.3的移動(dòng)加權(quán)。

畫出折線圖如下

這樣就可以比較清楚的看出

黑色線（日病例數(shù)）：這是實(shí)際每天報(bào)告的病例數(shù)，是“真相”，但充滿噪聲，日?qǐng)?bào)告波動(dòng)、周末效應(yīng)等。

黃色線（λ=0.8 的 EWMA）：它幾乎緊貼著黑色線上下起伏。每當(dāng)黑色線在12月3日、17日出現(xiàn)尖峰，黃線都幾乎同步地出現(xiàn)一個(gè)陡峭的突起。因?yàn)?λ=0.8 賦予了新數(shù)據(jù)（今日病例數(shù)）高達(dá)80%的權(quán)重，所以它像一個(gè)“實(shí)時(shí)跟蹤器”，極度敏感，幾乎無滯后，但也因此繼承了原始數(shù)據(jù)的大部分波動(dòng)。它適合用于需要分鐘級(jí)、小時(shí)級(jí)反應(yīng)的高頻監(jiān)控場(chǎng)景，在日數(shù)據(jù)層面則顯得“躁動(dòng)”。

綠色線（λ=0.3 的 EWMA）：它是最平滑、最沉穩(wěn)的一條線。它完全無視了12月3日的單日小尖峰，對(duì)于12月中下旬的整體上升趨勢(shì)，它呈現(xiàn)出一條清晰、堅(jiān)定、無抖動(dòng)的上升斜坡。因?yàn)?λ=0.3 賦予新數(shù)據(jù)的權(quán)重僅30%，而70%依賴于歷史（昨天的EWMA值）。這使它擁有強(qiáng)大的“慣性”和“記憶力”，穩(wěn)定性更強(qiáng)，能有效過濾掉偶然的日度波動(dòng)，只將持續(xù)、一致的趨勢(shì)變化納入曲線。

紅色線（7日移動(dòng)平均）：其平滑度介于黃綠之間，像一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的“趨勢(shì)基線”，7日移動(dòng)平均的主要問題是會(huì)完全忘掉7天之前的數(shù)據(jù)。它的行為在數(shù)學(xué)上近似于一個(gè) λ 約等于 0.25 的 EWMA，所以其平滑和穩(wěn)健的特性與綠線（λ=0.3）相似，但因?yàn)槭枪潭ù翱诘暮?jiǎn)單平均，在趨勢(shì)轉(zhuǎn)折時(shí)可能略有一點(diǎn)不同。

好了，這些應(yīng)該明白指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均怎么計(jì)算以及λ的影響了吧！

那么，λ是怎么確定的呢，這么說吧，λ 是通過“基于目標(biāo)的計(jì)算”得到一個(gè)初始建議值，然后通過“手動(dòng)調(diào)整”來最終確定的，它不是憑空試出來的，但也不是一個(gè)固定公式能完全算死的。λ的“最終值”確定必須通過結(jié)合自身歷史數(shù)據(jù)反復(fù)測(cè)試、調(diào)整，以達(dá)到誤報(bào)和漏報(bào)間最佳平衡。

編輯：普通疾控人 | 審核：詩酒趁年華

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