基于最小變化原理的量子貝葉斯法則與佩茨轉置映射

Quantum Bayes’ rule and Petz transpose map from the minimum change principle

基于最小變化原理的量子貝葉斯法則與佩茨轉置映射

https://arxiv.org/pdf/2410.00319v3

貝葉斯法則通常用于根據新證據更新信念，它可以源自一個最小變化原理。該原理指出，更新后的信念必須與新的數據相一致，同時與先驗信念的偏離最小。在這里，我們引入了一個量子版本的最小變化原理，并通過最小化兩個量子輸入-輸出過程（而不僅僅是其邊際分布）之間的變化，推導出了量子貝葉斯法則。這類似于經典情況，其中貝葉斯法則是通過最小化聯合輸入-輸出分布之間的若干距離來獲得的。當變化以最大化保真度為目標時，量子最小變化原理具有唯一解，并且由此得出的量子貝葉斯法則在許多情況下可還原為佩茨轉置映射。

引言

貝葉斯法則通常通過涉及甕和球的簡單計數論證來演示，但實際上，它被認為在概率論和邏輯學中扮演著更深刻的角色，是唯一一個能根據新證據一致地更新個人信念的系統 [1–6]。作為上述公理化方法的替代方案，貝葉斯法則也可以從一個變分論證推導而來：更新后的信念應與新的觀測一致，同時盡可能少地偏離初始信念。這被稱為最小變化原理[7–10]。它形式化了這樣一種直覺：新信息應以“最不承諾”的方式融入主體的知識中，例如，不引入數據無法證明的偏見。這些基本見解可以被視為（即便不是解釋，也至少是）貝葉斯統計推斷在幾乎所有知識領域中異常有效性的一個動機。

如果將量子理論視為概率論的一種非對易擴展，人們會期望也應該存在一個合理的貝葉斯法則類比。然而，量子貝葉斯法則的地位仍備受爭議，過去幾十年里提出了許多常常互不等價的替代方案 [11–25]。在這些方案中，佩茨轉置映射[26, 27] 脫穎而出，成為唯一滿足一系列類似于經典貝葉斯法則的公理的量子貝葉斯法則 [25]。

也有嘗試通過涉及“后驗”態的優化來推導量子貝葉斯法則。例如，參考文獻 [19] 最小化了一個與量子相對熵相關的損失函數，而參考文獻 [22, 28] 則優化了初始態和最終態兩個估計器之間距離度量的一個上界。然而，這些方法雖然涉及優化，但主要關注過程的邊際而非整個過程。因此，它們未能完全反映在整個過程中變化的極小性，而這恰恰是貝葉斯法則及其推廣（如杰弗里概率運動學理論）產生的核心論點。

因此，當前的情況是，盡管這樣一個概念對于量子理論的基礎及其應用都具有重要性，但量子理論中貝葉斯法則的類比仍未確定。

在本工作中，我們通過提出一種基于自然量子類比的最小變化原理的量子貝葉斯法則新方法，朝著解決這個問題邁出了決定性的一步。該方法涉及整個過程，而不僅僅是其邊際（示意圖參見圖 1）。具體而言，當變化以最大化量子保真度[29, 30] 為目標時，得到的量子貝葉斯法則可以解析地推導出來，并且在許多情況下對應于佩茨轉置映射。這種聯系進一步加強了貝葉斯法則、最小變化原理和佩茨轉置映射之間的聯系，從而證明它們在量子信息理論乃至更廣范圍內應用的合理性。

上述方程表明，應用于 X 和 Y 聯合分布的最小變化原理引出了 (1) 式和 (2) 式中的貝葉斯-杰弗里法則。

為了給接下來將要介紹的量子情況鋪平道路，我們將 (3) 式中的優化問題重新表述為一個等價形式，如下所示：

圖 2 展示了一個比較佩茨轉置映射與方程 (15) 最優解的例子。

在本工作中，我們將最小變化原理推廣到了量子情況，提出了量子貝葉斯法則的一種新表述。特別地，當以保真度作為優值度量時，佩茨轉置映射（通常只是“相當好”但并非最優的 [52, 53]）自然地在許多相關情形中作為唯一最優解出現，這確認了佩茨轉置映射作為量子貝葉斯法則的核心作用。統計充分性理論（佩茨轉置映射在其中扮演核心角色）與最小變化的變分原理之間的一致性表明，該原理在佩茨轉置映射已發揮作用的各個領域——如量子信息理論、量子統計力學和多體物理學——具有廣泛的適用性。

此外，通過對優化問題 (15) 施加額外的約束，可以將反向過程限制在期望的子集內。我們已經解析地求解了優化問題 (15)，而對于一般情況，凸的附加約束保持了優化問題的凸性，可以采用高效的數值算法 [59, 60]。通過這種方法，最小變化原理可以擴展到量子梳 [61, 62]、量子超映射 [63, 64] 和量子貝葉斯網絡 [19, 65–68]，為其提供新的信念更新規則。本工作中引入的工具也可能為熵產生和漲落定理 [69, 70] 的完全量子化推廣鋪平道路。