我愛糾纏如秋褲：今天你穿“秋褲”了嗎？

作者：孟子楊

本文選自《物理》2021年第3期

1 引 子

秋褲者，勤勞勇敢的中國人民御寒保腿溫之神器也。從塞外北國到中原大地，從江南水鄉及至嶺南熱土(沒暖氣)，每當神州各地秋風乍起涼意漸濃的時候，媽媽總會關切地問一句“你穿秋褲了嗎？”不論在北風呼嘯大雪飄飄的北方，還是在陰冷潮濕室內室外同此涼熱的南方，一條秋褲不僅讓溫度從腿部一直蔓延到心里，更喚起了你內心中一種依戀的情節，告訴你時代再變再內卷再996，國際形勢再復雜再詭譎再亡我之心不死，我們漂泊的人生中總有一些不變的東西，家一樣的東西，每年按時來到，讓你安心，保你平安。這就是規律性和規律性給人帶來的慰藉。

雖然穿不穿秋褲的爭論仍在全球化的大潮中此起彼伏，但秋褲的存在，的確揭示了我們生活中的一個普遍現象，呼喚著我們心中的一種普遍心理。這樣反映普遍規律的事物，愿意思考的人都喜歡琢磨一下。雖然他們中很多人并不見得會穿秋褲，比如筆者，但喜歡是真的。

科學研究當然也是揭示規律性的活動，從事這個行業的，也頗有一些愿意思考的人。有趣的是，在筆者熟悉的量子多體系統的研究中，竟也存在一個和秋褲頗為相像的事物，揭示出量子多體系統中無處不在的量子糾纏這樣深刻的道理，讓科研從業者中愿意思考的人安心，忘卻身邊的種種不順遂，進入“此中有真意”的境界而更加起勁地探索其中的奧妙。他們發現通過秋褲的視角可以揭示量子多體系統從朗道—金茲堡對稱性自發破缺，到量子相變，再到拓撲序長程糾纏和范疇對稱性等等奇異的現象，秋褲之功善莫大焉。

這聽起來好像有點離奇，待我為君細細道來。

2 量子糾纏

量子糾纏是一個深刻的概念，其全面的外延與內涵，當然不是這篇小文可以承擔的。但是僅就在凝聚態物理學量子多體問題的研究中，人們逐漸認識到，量子糾纏的重要性體現在對其的測量能夠反映量子多體系統的規律性——尤其是這樣的規律性無法從常規測量中得到時——以至于在許多新奇量子物質形態的探索中，糾纏成了一錘定音的判據。

那么糾纏作為一個概念，怎樣在量子多體系統的計算中進行量化呢？這就是糾纏熵。為了計算糾纏熵，需要定義約化密度矩陣(reduced density matrix)。如圖1所示的一個量子多體系統，我們將其分為A 和B 兩個子系統(也可以記為A 與其補集)，那么就子系統A 而言的約化密度矩陣就是將系統波函數中屬于B 的自由度積分掉，寫成公式就是

然后隨之而來的糾纏熵(此處主要介紹雷尼(Renyi)熵)就是

其中 q 是一個整數。q → 1 的極限就給出了馮·諾依曼熵，而在量子蒙特卡洛的晶格計算中，人們常常計算 q = 2 的Renyi熵。對于空間維度 d = 1 的量子多體系統，糾纏熵在量子場論的理論框架之下，以及密度矩陣重正化群(density- matrix renormalization group，DMRG)的嚴格數值計算之中，目前人們已經獲得了十分深入近乎完善的理解。比如對于 s =1/2 海森伯模型的自旋鏈，假設鏈長為L，而其中的子系統A長為lA，其 q = 2 的Renyi熵就是

其中的常數c就是系統的中心荷(central charge)，是一個普適量(universal constant)(對于 s = 1/2 海森伯自旋鏈 c = 1)，而b是一個非普適量。這方面的文獻已然汗牛充棟，比如文獻[1]，筆者也不贅述了?？傊m纏熵的計算在1維的量子多體系統中是如此多見，以至于眼下做DMRG計算的人，在進行量子多體計算時，第一個要看的就是糾纏熵如何，“糾纏熵怎么樣？”，“糾纏熵大不大？”，“糾纏熵和D怎么標定？”這樣的話，在DMRG從業人員的日常交流中，已經平常到“你吃了嗎？”，“你家孩子幾歲了？”，“今天天氣，哈哈哈……”這樣的見面寒暄用語的程度了。

不過在這篇文章里，出于筆者個人的行業積習，我們談談糾纏熵在空間維度 d = 2 的量子多體系統中，如何通過蒙特卡洛計算得到，以及得到的結果反映了什么普適規律。當然，最重要的是，糾纏熵與秋褲到底是什么關系。

圖1 空間維度為d 的量子多體系統，可以分為A，B 兩個子系統，計算其糾纏熵。A 和B的交界，記為 lA ，就是下文中所說的面積律里面的面積。 注意此處的面積是指A 和B 交界的面積，即d-1維度面積，對于d 維來說，lA是A 和B 交界的周長

3 秋褲的算法

其實糾纏熵之所以能夠在DMRG這類計算中生根發芽，主要是因為這些計算可以得到量子多體系統的波函數(起碼是波函數很高程度的近似)，有了波函數，自然可以套用上面所說的公式，直接計算系統的約化密度矩陣和糾纏熵。但是對于空間維度 d = 2 和更加高維的晶格系統，如正方、三角、Kagome等晶格的Hubbard模型和海森伯模型等等，面對系統中自由度指數增加的問題(常常也稱為“指數墻”問題)，此時還想要普遍性地寫出系統的波函數，就勉為其難了。取而代之的，是通過統計物理的方法，在 d+z 維度的相空間中(d 為系統的空間維度，z 為系統的“時間”維度，其實z 有一個學名，叫做動力學臨界指數，在我們討論的問題里，很多時候 z = 1，也就是大家常常聽到的那句其實是有錯誤的話“量子系統就是d+1維的經典系統”的由來)，進行滿足系統統計規律的蒙特卡洛抽樣，才有可能以代數增長的計算復雜度，克服指數增長的物理問題自由度，獲得對于量子多體系統的嚴格結論。

那么問題就來了，既然量子蒙特卡洛是解決 d = 2 的量子多體系統的不二法門，怎么用蒙特卡洛的方法計算糾纏熵呢？辦法自然是有的，這就是秋褲登場的地方。不過我們還是以 d = 1 ，z = 1 的量子多體系統為例(比如上文中的 s = 1/2 海森伯自旋鏈)來說明秋褲的算法吧，如圖2所示(此處當然也可以畫一個空間維度 d = 2 的晶格，不過那樣卷成的秋褲就太后現代了，還是一維比較清楚)，長度為L，溫度為T (“時間”長度 β = 1/T )的量子多體系統的配分函數，可以用圖2分母中的一個長為L 的圓筒表示，圓筒的周長就是系統的時間維度β，之所以卷起來是周期性邊界條件的意思。如此系統的配分函數和種種物理可觀測量，其蒙特卡洛計算自然是不在話下[2]。問題是糾纏熵需要把系統兩分(bipartition，當然實際計算中可能不止兩分而是多分)為子系統A和其補集，就是。然后刻畫系統內子系統之間的糾纏。

圖2 d =1，z =1的量子多體系統，2階Renyi糾纏熵S2(A )的秋褲表示。系統本身的配分函數Z就是一個長為L 的圓筒，筒的周長是β?，F在為了計算糾纏熵，需要把Z 平方一下，就是ln里面分母中的，其中的?是空集的意思，就是系統不兩分，子系統A 為空集。而ln里面分子上的，就是我們所說的秋褲構型或者秋褲配分函數。這個配分函數的褲襠就是子系統A，具有時間周期2β；褲腿就是A 的補集，，時間周期為β 。2階Renyi糾纏熵

其實通過簡單的推導(比如在文獻[1]中)，如是的以約化密度矩陣寫出的糾纏熵：

可以轉化為用配分函數寫成

其中 q = 2 就是圖2所示的，我們關心的2階Renyi糾纏熵， ，而ln里面分母上的，就是系統不兩分時配分函數的平方(此時子系統A為空集?)。ln里面分子上的，就是我們喜歡的秋褲構型的配分函數。其中褲襠部分的空間維度就是子系統A，其時間上的周期為2β；褲腿部分的A的補集，其時間周期為β。因為我們此處討論的是2階Renyi糾纏熵，所以秋褲有兩條腿。如果是3階、4階的話，那就會有3條、4條腿甚至更加復雜聯通的秋褲了，是給外星生物穿的了。

圖2中描述的，就是這樣的一個2階Renyi糾纏熵的秋褲表示。一旦可以寫出配分函數，不管其形狀多么奇怪，后面的蒙特卡洛抽樣等等就有章可循了。重要的是有秋褲這樣一個清晰的意象。當然算法的發展，也經歷了頗為曲折的過程，而且還在不斷優化之中，從最早的、略顯尷尬的在蒙特卡洛中硬要DMRG上身的Swap算符[3]，到后來的運用非平衡抽樣的手段，優化配分函數比例的統計質量[4]等等，更加簡便和魯棒的計算竅門，正在不斷向前推進。但是正是拜秋褲的意象所賜，蒙特卡洛從業人員可以從配分函數入手計算糾纏熵(其實也不止糾纏熵了，而是以其為代表的廣泛的非局域測量方法，如威爾遜環(Wilson loop)， 無 序 算 符 (disorder operator)等等，后文會有提及)，這樣的視角在技術上對蒙特卡洛從業人員來說，比糾結于波函數的方法更加可親，也更容易在不同的模型中程序實現。可以想見在不久的將來，隨著計算方法的普及，量子蒙特卡洛的從業人員討論起糾纏熵的時候，也可以像我們的 DMRG同行那樣稀松平常，“今天天氣，哈哈哈……”了。

4 秋褲的應用

有了通過秋褲配分函數計算Renyi糾纏熵的方法，我們就可以談談糾纏熵作為物理可觀測量，在量子多體問題中揭示了什么普遍性的規律。其實很多讀者都聽說過糾纏熵要滿足面積律(area law)，就是說

其中 lA 就是上文提到的子系統的邊界，也就是d - 1維度的面積?？梢娂m纏熵和被分開的子系統之間交界的面積成正比，這是對于糾纏熵的leading貢獻，是十分自然的結果。但是其實人們真正關心的，是上面公式中的省略號 ， 也就是糾纏熵中sub-leading的貢獻，正是這里深藏著量子多體系統中的種種奧秘。

當然這方面的討論也非常多，比如可以參見綜述文獻[5]，筆者在此仍是從個人的行業積習出發，略論糾纏熵在 d = 2 的量子多體系統中如下幾個方面的應用。

4.1 對稱性破缺系統中的應用

眾所周知，作為量子多體理論的核心支柱之一，朗道—金茲堡—威爾遜理論框架，通過對系統序參量的對稱性和對稱性自發破缺過程的刻畫，成功地描述了大量凝聚態物理學中的物質的相與相變。比如超導體、超流體、量子磁體等等。在對稱性，尤其是連續對稱性發生自發破缺之后，系統除了進入如是的超導、超流、反鐵磁相之外，還有伴隨著序參量出現的無能隙的激發模式，所謂戈德斯通模(Goldstone mode)，這些模式告訴人們在連續對稱性自發破缺的系統中，應該有的低能準粒子譜。這樣的譜，就是如中子散射、核磁共振等現代譜學手段研究量子磁性、常規和非常規超導體等等系統的理論依據[2]。

那么糾纏熵在這樣的系統中，如何應用呢？秘密還是藏在那個省略號之中。原來對于連續對稱性自發破缺的系統，其糾纏熵滿足這樣一個形式：

此處的省略號…化身成為一個ln 修正項與一個常數，而ln修正項前面的系數Ng，不是別人，正是Goldstone模式的數目[6]。這是一個很有意思的結果，它告訴人們當對稱性發生自發破缺之后，系統內部的量子糾纏其實是與系統中存在的激發模式的數目有關系。

圖3 d =2 維正方晶格反鐵磁海森伯模型2 階Renyi 糾纏熵的量子蒙特卡洛計算結果。系統的幾何結構如右下插圖所示，子系統A 與其補集之間的邊界長度就是l A =L 。擬合計算所得的結果，得到糾纏熵中ln 修正項的系數收斂到 Ng =2 的平臺，這正是反鐵磁的Néel態中應該具有的Goldstone mode數目 (此圖為趙家瑞同學學習秋褲糾纏的習作)

圖3 所示的就是2 維正方晶格反鐵磁海森伯模型中2 階Renyi 熵的量子蒙特卡洛計算結果。此處為了不引入子系統角落(corner)的貢獻，我們將幾何結構為L × L/2 的系統在面包圈上分為兩節，如圖3 中的右下插圖所示， A 與其補集 之間的邊界，然后用秋褲的算法，計算了不同長度L =16, 32, 48, 64?之下的系統的糾纏熵。再對得到的數據進行按照上面公式的擬合，可以看到，當L 大于16 之后，數據已經可以很好地用如上公式擬合了，并且得到了ln 修正前面的系數，穩步地收斂到Ng =2 的平臺，而對于具有SU(2)自旋旋轉對稱性的反鐵磁海森伯模型，其奈爾(Néel)態中的自旋波(Goldstone mode)的數目，就是2。秋褲糾纏，誠不我欺也！

4.2 量子臨界現象中的應用

下面再說說秋褲在空間維度d = 2 的量子臨界現象研究中的應用。我們討論d = 2，動力學臨界指數z =1 的量子臨界點。比如上文所說的反鐵磁Néel 態到順磁態的相變(對于2 維正方晶格，這樣的相變應該發生在零溫)，比如2 維橫場伊辛(Ising)模型在零溫時從Ising 態到被橫場極化態的相變等等。

在這些量子相變點上，如果子系統A 與其補集的交界具有如圖4所示的4 個90°的棱角，那么此時的糾纏熵滿足如下公式：

也是面積律leading 項， ln 修正項再加一個常數。此處有趣的是，面積律的系數a1，當橫場h 向相變點hc調節時，滿足的冪指數行為，而此處的ν 就是量子相變點的關聯長度指數(比如d = 2，z = 1 的橫場Ising 模型，ν =0.63)。而在相變點上得到的ln修正的系數，就是4 倍的角落貢獻。每個角落的貢獻，又可以從系統對應的高斯不動點上做嚴格的解析計算，計算所得的每個角落的貢獻是，所以此式中的。

圖4 此處子系統A 為正方晶格中的一個藍色方塊，這樣A與其補集之間就具有了四個呈直角的角落。當如此的正方晶格的橫場Ising 模型發生量子相變時，糾纏熵中面積律leading項的系數具有普適的形式，體現了量子相變的關聯長度指數。sub-leading項的貢獻也具有普適的ln 形式，ln 前面的系數可以通過解析與數值配合計算得到，見文獻[7]

這樣的結果都被量子蒙特卡洛模擬所證實。在文獻[7]中，我們計算了如是的橫場Ising 的無序算符。此處請允許筆者再放飛一下，簡介何謂無序算符，以及這個算符和糾纏熵的關系。

無序算符是一種新的非局域關聯函數，它是設計來探測一種更加廣義的對稱性——高型對稱(higher-form symmetry)或者范疇對稱性(categorical symmetry)——及其破缺和臨界點上的標度行為的。而高型對稱或者范疇對稱性之所以被提出，背后的動機是想在一個統一的框架之下，把滿足朗道—金茲堡框架的物質形態和滿足長程量子糾纏的拓撲序物質形態完整地進行描述[8—11]，嘗試建立起一個新的理論體系。這方面的研究剛剛開始，所牽涉的知識也遠遠地超出了本文的范圍。但是可以講的是無序算符探測的就是1-form symmetry 及其破缺，而傳統的朗道—金茲堡框架下的序參量探測的就是0-form symmetry及其破缺。通過對無序算符進行量子蒙特卡洛計算和量子場論的解析分析，已經在d = 2，z = 1 的Ising量子臨界點[7,12]， XY 量子臨界點[13,14]上取得確定性的結果。

無序算符其實與糾纏熵都是非局域的關聯函數，在此處討論的2+1 Ising量子臨界點上，它其實就是圖4 中的子系統A 所有的自旋算符的連乘(模型中的Ising 相互作用項是)，即，更有意思的是，可以證明在如是相變的高斯不動點上，2 階Renyi 糾纏熵就是，所以通過無序算符的蒙特卡洛測量(此處為等時測量，比糾纏熵的秋褲配分函數更加容易計算)就可以直接得到2 階Renyi糾纏熵。

圖5 是通過無序算符計算得到的糾纏熵結果。其中圖5(a)是面積律系數的行為，可以看到在雙對數坐標下，當橫場逐漸靠近hc =3.044時， 確實滿足冪指數函數形式，而且其冪次就是圖中的紅線ν =0.63 。圖5(b)是在相變點hc =3.044 上擬合無序算符的面積律+ln+常數的函數形式，通過擬合不同的系統尺寸，我們得到了如下結果：

其中的ln 修正前面的系數，在誤差之內0.026(5)與高斯不動點上的計算在誤差范圍內吻合。這些在d = 2，z = 1 的Ising 量子相變點上的結果，又是一個秋褲糾纏熵于微末處揭示量子相變本質內容的成功案例。

圖5 (a)2 階Renyi 糾纏熵(其實是無序算符)面積律系數隨著h 向相變點hc靠近，呈現冪指數的行為， 在雙對數坐標下為直線，其斜率即為冪律，圖中紅線為用2+1 Ising 相變關聯長度指數ν =0.63 所畫的示意線，與數據高度吻合；(b)2 階Renyi糾纏熵(其實是無序算符)在量子相變點上的數據擬合，按照文中的公式，可以得到ln修正項前面的系數，與高斯不動點解析計算預期吻合[7]

5 且待秋褲的來日

行文至此，我們討論了糾纏熵面積律的物理意義，討論了糾纏熵ln 修正項所包含的物理意義，其實糾纏熵最后那個常數包含的也許是更加深刻的物理意義，尤其在傳統的量子多體局域測量無能為力的地方。比如在超越朗道—金茲堡—威爾遜框架的，具有真正長程量子糾纏的拓撲序系統中，糾纏熵中最后的常數，其實告訴人們如是拓撲序的任意子統計的具體性質，這方面的量子蒙特卡洛計算與其他多體計算，比如對于晶格模型量子自旋液體種類的判斷，正是領域發展的前沿。可見一條秋褲，寄托了人們多少深刻的情愫啊。這方面的內容，篇幅所限，我們且待來日吧。

要之，量子多體的潮流浩浩蕩蕩，順之者 x, 逆之者 xx。秋褲的計算初看并不起眼，但是卻能夠從微末中發掘出量子多體系統獨有的糾纏特性，從對稱性破缺到量子相變再到拓撲序等等，超越了長期以來人們所習以為常的測量方式，打開了許多新的方向：如其在拓撲序系統中的應用，還有與無序算符這樣嘗試統一朗道—金茲堡和拓撲序的范疇對稱性非局域測量方法的互動等等。這些規律性的內容都值得愿意思考的人們反復琢磨、體會和發掘，全身心地投身于其中，新的發現是可以預期的。最后開個玩笑，套一句一百年前的宣傳語收束此篇，那就是我們有理由相信：“試看將來的量子多體糾纏，必是秋褲的世界?！?/p>

參考文獻

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[14]Wu X C，Jian C M，XuC K. Universal features of higher- form symmetries at phase transitions. 2021，arXiv：2101.10342

書名：量子多體中的吶喊與彷徨：量子物質科學前沿淺談

?♂? 作者：卡洛

內容簡介

本書介紹了凝聚態物理學量子多體問題研究中的新現象和新結果，結合解析理論與數值計算的進展，闡述了現代量子物質科學研究的發展現狀。本書涵蓋的科學內容包括去禁閉量子臨界現象、非費米液體的模型設計與數據分析方法、量子磁性材料計算與實驗數據解讀、關聯電子系統量子糾纏算法的新進展，以及量子摩爾材料模型設計和計算、拓撲序臨界現象、凝聚態物理計算、高能物理與受限量子多體系統結合的新發展等。本書通過10余篇深入淺出的科普美文，向讀者展現了量子多體物理學研究從興趣、想法逐步落實到理論、計算和實驗發現的過程。本書適合對科學與人文創造性活動、凝聚態物理學史和量子物質科學前沿進展感興趣的讀者閱讀。