高等數學期末考試考完了嗎? 據說這是2025-2026學年北京大學第一學期的高等數學A試題

一、（3*5=15分）設三維空間中四點 所形成的三個向量為 , , , 其中 . 已知 作為相鄰兩邊所成的平行四邊形的面積為 ， , , 作為共頂點三條棱所成的平行六面體的體積為 .

(1) 求 的值.

(2) 求平行于向量 且過點 的平面的方程.

(3) 求函數 在點 的梯度以及在該點沿 方向的方向導數.

二、（3*5=15分）設函數 在閉區間 上連續，在開區間 上可導且導數大于 0，極限 存在. 證明：

(1) 在區間 上取值大于 0；

(2) 存在 ，使得

(3) 對上述 ，存在 ， ，使得

三、（5+10=15分）解答下列各題.

(1) 寫出 在 處的 階帶佩亞諾 (Peano) 余項的泰勒公式.

(2) 計算極限

四、（5+10=15分）設二元函數 有連續偏導數， ， ，且對任意實數 都滿足 .

(1)計算 ；

(2) 計算極限

五、（3*5=15分）設 .

(1) 若定義在 上的二元函數 具有連續的二階偏導數且滿足

證明： , ，其中 , 是二階連續可導的函數.

(2) 若定義在區域 上的二元正值函數 具有連續的二階偏導數且滿足

驗證 滿足

(3) 設二元正值函數 具有連續的二階偏導數且滿足

試給出 的表達式.

六、（15分）設 具有二階連續偏導數，且當 時,

記 證明： 在 處取到極值，計算這個極值并判斷是極大值還是極小值.

七、（10分）設定義域為 、值域為區間 的二元函數 具有二階連續偏導數且處處 。證明：對任意實數 ，曲線 為直線的充分必要條件是

據說這是2025-2026學年北京大學第一學期的高等數學A試題，是否正確，請學友直接文后留言反饋！

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