如何聯想到“牧民飲馬”問題？

如何聯想到“牧民飲馬”問題？

人教版數學八年級上冊綜合與實踐《最短路徑問題》是經典的最值問題，教材中明確給出了研究方法，即利用“兩點之間，線段最短”，“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等，對線段和的最小值問題進行探究.

這節課的活動目標是：會用數學的眼光發現生活中的最短路徑問題；會用數學知識、思想、方法描述最短路徑問題，把最短路徑問題轉化為數學問題；會通過邏輯推理解決數學問題；會用數學問題的結果解釋最短路徑問題，獲得最短路徑問題的答案.

在這個問題解決之后，我們可幫助學生歸納方法，形成解題模型，模型特征非常明顯，直線同側有兩定點，直線上有一動點，分別連接定點與動點，所得線段和最短.

當我們在面對這類問題的時候，需要將新問題轉化成已經解決的問題，這是解題模型的正確打開方式.

題目

在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，將△ABC繞點A逆時針方向旋轉，得到△ADE（點B的對應點為點D，點C的對應點為點E）.

(1)如圖1，連接BD，CE，求證：BD=CE；

(2)如圖2，若AB=AC=6，α=60°，△ABC繞點A逆時針方向旋轉0°至360°得到△ADE的過程中，當DE⊥BC時，連接BE，CE，求△BCE的面積；

(3)如圖3，若AB=AC=6，α=60°，當AD與AC重合時，再將△ADE沿直線AC平移，得到△AD'E'，連接BE'，BD'，求△BD'E'周長的最小值.

解析：

01

(1)由旋轉可證△ABD≌△ACE，如下圖：

所以得到BD=CE；

02

(2)由旋轉仍然可得△ABD≌△ACE，再延長BC、ED相交于點F，連接BD，如下圖：

△ABC與△ADE的對應邊BC⊥DE，則可知旋轉角為90°，因此可得等腰Rt△ABD，求得BD=6√2，由△ABD≌△ACE得BD=CE，可再證△BDF≌△ECF，所以BF=EF，得到DF=CF，不妨設DF=CF=x，在Rt△BDF中由勾股定理得x2+(x+6)2=(6√2)2，解得x=-3+3√3，所以EF=6+(-3+3√3)=3+3√3，它是△BCE的高，因此可求出面積為9+9√3；

第二種情況類似，如下圖：

同理可得EF=-3+3√3，則△BCE的面積為-9+9√3.

03

(3)理解△BD'E'周長的最小值是關鍵，從圖中可知，這個三角形有一條邊長是固定的，即D'E'=6，另兩邊長度未知，所以求△BD'E'周長的最小值，等同于求BD'+BE'的最小值，如下圖：

轉化成求兩條線段和的最小值問題了，此時應該明確需要使用的模型為“牧民飲馬”；

從教材上的活動，我們需要明白這一類問題中，構成線段和的這兩張線段，分別有一個端點是固定的，另一個端點重合，且在某條直線上運動，顯然上圖中的線段并不符合，因此需要進一步轉化，不妨連接AE'，如下圖：

由平移可知，AE'=BD'，且點E'在直線EE'上，我們再來看AE'+BE'，完美條例模型使用條件了，接下來我們將點A或點B之一關于直線EE'軸對稱，如下圖：

可知四邊形ABCE為菱形，因此將其對角線BE加倍延長即可得到對稱點B'，再連接AB'，它與直線EE'的交點G，即為使線段和最小的E'位置，此時AB'=AE'+BE'，我們可以在Rt△AOB'中利用勾股定理來求，BE=6√3=BE'，所以OB'=9√3，OA=3，得到AB'=6√7，即△BD'E'周長的最小值是6+6√7.

解題思考

上述思路也是較簡單的“套用模型”方法，對于解題模型，我們需要理解它的架構，它為什么會成為模型，是因為教材上給出的是最基本的定理、公式、方法，我們若將它們看作“原材料”，那么各類解題模型則是“加工料”，屬于半成品，它們有好用的一面，例如學生面對的題目恰好可以用模型“組裝”起來，那便如魚得水、勢如破竹，但在模型學習過程中，只會“組裝”是不行的，我們需要理解模型生成的原理，即理解為什么要用模型，這就要求我們在課堂上，除了教會學生用，更要教會學生為什么用。