“開胃菜”數(shù)學(xué)專欄第9期：遞推積分法與區(qū)間重現(xiàn)積分法

本期話題：遞推積分法與用“區(qū)間重現(xiàn)法”計算定積分的幾種經(jīng)典模型。對于含參數(shù)n（n為自然數(shù)或正整數(shù)）的積分，有時難以直接求出其結(jié)果，這時我們經(jīng)常通過建立遞推公式的辦法來求解，就像下樓梯一樣逐步降低n的值，最終求出結(jié)果，這種方法我們稱之為“遞推積分法”。

一般通過分部積分的方法進行降階，值得注意的是，“下樓梯”可能每次是一個“臺階”，也可能是兩個“臺階”，所以要準(zhǔn)備好“底部”的一個或兩個初始結(jié)果。如果遞推公式比較簡單，有時可以歸納得到通項公式。

區(qū)間重現(xiàn)積分法是定積分中一類特殊的還換元法，其作用是通過換元改造了被積函數(shù)，但保持了積分區(qū)間不變，進而可與原積分協(xié)作，求出結(jié)果。

本專題推文的主體內(nèi)容將在后續(xù)整理后上傳分享！由于電子文檔以外部鏈接存放具有不穩(wěn)定性與不可控性，為此，咱們公眾號的部分封面圖片原始高清文件和推文中明確有PDF文檔分享的電子文檔下載請通過考研競賽交流圈（點擊打開）文件或美圖分類，或相應(yīng)分類標(biāo)簽快速獲取。文檔上傳時間一般要晚于推文幾天，或者會集中在月底上傳。咱號不贊成積累、打印電子文檔，希望學(xué)友們通過筆記本、草稿紙，抄抄寫寫學(xué)數(shù)學(xué)！

典型題

｜詳細(xì)分析

自主練習(xí)

｜專題訓(xùn)練

參考解答將在下一期公布，歡迎大家直接在文后留言參與討論和批評指正（描述不清楚的問題可以直接在留言區(qū)上傳圖片）。

【注1】“開胃菜” 數(shù)學(xué)專欄是咱號為助力學(xué)友們攻克大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難關(guān)，特別聯(lián)合在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域擁有深厚積淀與豐富經(jīng)驗的金義明老師共同打造的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)專欄。專欄以 “夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、拓展解題思路、提升問題解決能力” 為核心宗旨，聚焦學(xué)生在大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)中的核心需求。無論是在課堂學(xué)習(xí)后，希望進一步鞏固相關(guān)課程的核心知識點，解決知識掌握不牢固的問題；還是在解題過程中，面臨思路狹窄、方法單一的困境，渴望拓寬解題視角；亦或是希望系統(tǒng)積累各類實用解題技巧，提升解題效率與準(zhǔn)確性，專欄都將提供針對性的內(nèi)容支持。

在推文內(nèi)容定位上，專欄主要面向三類核心人群：針對考研備考學(xué)子，圍繞考研數(shù)學(xué)大綱，梳理高頻考點、解析經(jīng)典真題，助力學(xué)子夯實考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，突破備考難點；面向競賽備賽的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，將分享競賽常用解題思路、技巧與典型例題，幫助同學(xué)提升競賽解題能力，從容應(yīng)對賽事挑戰(zhàn)；同時，對于希望在大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)課程學(xué)習(xí)中實現(xiàn)進一步提升與鞏固的學(xué)友，專欄也通過知識點深化講解、易錯點分析等內(nèi)容，助力其穩(wěn)步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)成績。

【注2】對于練習(xí)，一定不要做完、核對完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類問題，或者某個知識點的應(yīng)用、或某個題型的求解思路與方法，不僅對于解題思路要理解、掌握，同時對于涉及的知識點、解題思想與方法要總結(jié)，對于其中的一些結(jié)論、結(jié)果最好能夠記住。同時，對于給出的參考解答過程，要仔細(xì)推敲一下，為什么這么做？問題解決的突破口在哪里？還有沒其他更好的方法，自己的方法為什么不對，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時查漏補缺，保證在再出現(xiàn)類似問題時，能夠重現(xiàn)求解思路與過程，從而保證訓(xùn)練的有效性！對于如何練習(xí)，可以參考推文：.

【注3】選擇的例題與練習(xí)題主要源于歷屆考研題、競賽題與經(jīng)典教材與參考書，相關(guān)題目可能略有改動！建議（一定）自己在草稿紙上動手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細(xì)參考解答（多解）參看高數(shù)、數(shù)分綜合提高練習(xí)冊，點擊推文鏈接：了解詳情！

【注4】數(shù)學(xué)內(nèi)容推文整理分享、閱讀都不容易，費時費力更費腦！參考解答僅供參考，解答過程與思路僅代表作者對問題的理解，解答過程不一定嚴(yán)謹(jǐn)或完全正確，或者是最優(yōu)的，希望在對照完以后，不管是題目有問題，還是參考解答過程有問題，希望學(xué)友們在文后留言不吝指出！如果有更好的解題思路與過程，也歡迎通過管理員郵箱、微信或QQ以圖片、或Word文檔形式發(fā)送給管理員，對于分享的完整思路與解答過程，管理員將盡可能在第一時間推送和大家分享，謝謝！

上期練習(xí)參考簡答

往期推薦閱讀

1、

2、

3、

4、

微信公眾號：考研競賽數(shù)學(xué)(ID: xwmath)大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程分享交流平臺！支持咱號請點贊分享！