從軸對(duì)稱角度理解——2024年常州中考數(shù)學(xué)第27題

從軸對(duì)稱角度理解

2024年常州中考數(shù)學(xué)第27題

在2022版新課標(biāo)中，對(duì)圖形的軸對(duì)稱的內(nèi)容要求：

①通過(guò)具體實(shí)例理解軸對(duì)稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分；

②能畫出簡(jiǎn)單平面圖形（點(diǎn)、線段、直線、三角形等）關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形；

③理解軸對(duì)稱圖形的概念：探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對(duì)稱性質(zhì)；

④認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形。

對(duì)于軸對(duì)稱概念，人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)58頁(yè)有如下描述：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁邊的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸。

在幾何綜合壓軸題中，往往存在動(dòng)態(tài)幾何圖形，而在圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，可能會(huì)產(chǎn)生軸對(duì)稱現(xiàn)象，這也是新課標(biāo)對(duì)圖形變化的學(xué)業(yè)要求之一。學(xué)生可通過(guò)作圖、想像，掌握?qǐng)D形變化過(guò)程中，哪些元素可能出現(xiàn)軸對(duì)稱關(guān)系，并利用軸對(duì)稱性質(zhì)去探索這些幾何元素間的關(guān)系。

2024年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)第27題第3問(wèn)，如果能夠挖掘出其中的軸對(duì)稱圖形，則這道題幾乎可以秒出答案。

題目

將邊長(zhǎng)均為6cm的等邊三角形紙片ABC、DEF疊放在一起，使點(diǎn)E、B分別在邊AC、DF上（端點(diǎn)除外），邊AB、EF相交于點(diǎn)G，邊BC、DE相交于點(diǎn)H．

（1）如圖1，當(dāng)E是邊AC的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是_____________；

（2）如圖2，若EF∥BC，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

（3）如圖3，當(dāng)AE＞EC，F(xiàn)B＞BD時(shí)，AE與FB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說(shuō)明理由．

解析：

01

(1)要敢于大膽猜想，當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)E落在△ABC的AC邊中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B也在DF邊中點(diǎn)處，下面我們來(lái)嘗試證明這一結(jié)論：

連接BE，如下圖：

對(duì)于等邊△ABC，BE⊥AC，我們可求出BE=3√3，而對(duì)于等邊△DEF，頂點(diǎn)E到邊DF上一點(diǎn)B的距離即BE=3√3，顯然這個(gè)距離就是頂點(diǎn)E到邊DF的距離，說(shuō)明點(diǎn)B為垂足，BE⊥DF，我們就得到了結(jié)論：點(diǎn)B是DF中點(diǎn)；

這樣BE所在直線即是等邊△ABC的對(duì)稱軸，也是等邊△DEF的對(duì)稱軸，于是點(diǎn)G、H也關(guān)于BE軸對(duì)稱，BG=BH，EG=EH，再利用三線合一分別得到∠GBE=∠GEB=30°，于是BG=EG，就得到了四邊形BHEG四邊相等，即它是菱形；

02

(2)當(dāng)EF∥BC時(shí)，我們首先判斷四邊形BHEG的形狀，如下圖：

∠AEF=∠C=60°，而∠DEF=60°，所以∠CEH=60°，即△CEH是等邊三角形，得∠CHE=60°，再加上∠ABC=60°，于是EH∥BG，四邊形BHEG是平行四邊形；

作EK⊥CH于點(diǎn)K，設(shè)CE=x，則AE=6-x，EK=√3/2·x，△AEG也是等邊三角形，于是EG=6-x，現(xiàn)在可以表示平行四邊形BHEG的面積了，S=√3/2·x(6-x)=-√3/2(x-3)2+9√3/2，當(dāng)x=3時(shí)，S有最大值9√3/2；

03

(3)請(qǐng)?zhí)貏e留意本小題條件中的AE＞EC，F(xiàn)B＞BD，后面會(huì)對(duì)它的作用進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，現(xiàn)在我們需要探索線段AE和FB的數(shù)量關(guān)系，出于對(duì)等邊三角形軸對(duì)稱性的考慮，我們分別過(guò)頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E，在各自的等邊三角形中作對(duì)邊的中線，如下圖：

由于等邊△ABC和等邊△DEF邊長(zhǎng)均為6，則它們本身就是一對(duì)全等三角形，因此很容易證明它們的高相等，即BP=EQ，再加上公共邊BE，可得△BEQ≌△EBP，于是BQ=EP，又因?yàn)镻、Q分別是AC、DF中點(diǎn)，所以AP=FQ，于是AP+EP=FQ+BQ，即AE=FB.

解題思考

本題的作圖其實(shí)可以幫助我們加深對(duì)圖形的理解，如何繪制本題的圖形？

第一步，作等邊△ABC；

第二步，在AC邊上任取一點(diǎn)E；

第三步，連接BE，以BE為直徑作圓；

【此時(shí)紅色圓周上BE所對(duì)的圓周角均為直角】

第四步，以E為圓心，3√3為半徑作圓(等邊三角形的高是3√3)；

【此時(shí)圓E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)E的距離均為3√3，這個(gè)距離也是等邊三角形一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離】

第五步，兩圓交點(diǎn)為M、N，先觀察點(diǎn)M；

在紅色圓中，∠BME=90°，即EM⊥DF，同時(shí)EM=3√3，以E為頂點(diǎn)，EM為高，構(gòu)造等邊△DEF即可完成作圖；

在上圖中，我們注意到兩圓若相交，則有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是M、N，剛才我們構(gòu)造了等邊△DEF，我們同樣可以連接EN，以E為頂點(diǎn)，EN為高，構(gòu)造另一個(gè)等邊△D'E'F'，如下圖：

因?yàn)閳A也是軸對(duì)稱圖形，并且兩圓對(duì)稱軸均是BE所在直線，因此M、N也關(guān)于直線BE軸對(duì)稱，那我們分別以EM、EN為高所作等邊三角形也是軸對(duì)稱圖形，即△DEF與△D'E'F'也關(guān)于直線BE軸對(duì)稱，此時(shí)我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看第3問(wèn)，便可以秒殺了，如下圖：

△DEF關(guān)于BE的軸對(duì)稱圖形是△D'E'F'，于是BF=BD'，借助第2問(wèn)的推導(dǎo)，可知△AEG'和△BD'H'是等邊三角形，四邊形BH‘EG’是平行四邊形，則AE=EG'=BH'=BD'=FB；

這一路推導(dǎo)，酣暢淋漓……

現(xiàn)在再來(lái)看條件AE＞EC，F(xiàn)B＞BD，應(yīng)該明白它究竟想限制什么了吧？特別地，當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)等邊三角形也重合了，變成了第1問(wèn)的圖形。

作為數(shù)學(xué)教師，研究幾何作圖是一項(xiàng)教學(xué)基本功，除了利用粉筆黑板完成教學(xué)作圖之外，軟件作圖非常重要，幾何畫板也好，Grogobra也罷，懂得作圖原理才能畫好圖，畫出準(zhǔn)確的圖，通過(guò)軟件作圖，還可以幫助教師更深入理解幾何綜合題的命題意圖，從而提升自已的命題水平，可謂一舉多得。