白色情人節(jié)，予你π 的千年情歌

今天是國際數(shù)學(xué)日，也是白色情人節(jié)。這樣的巧合下，筆者不免想通過幾首情歌，與大家分享π在千年中對人的愛意。

“還要多遠(yuǎn)才能進(jìn)入你的心，

還要多久才能和你接近”

（郭頂《水星記》）

在科學(xué)剛剛萌芽，π還沒被稱為π時，人們就開始想通過計(jì)算離π的真實(shí)值近一點(diǎn)、再近一點(diǎn)了。

故事要從阿基米德說起。當(dāng)時人們已經(jīng)意識到圓的周長與直徑的比是個定值，但是如何得到圓的周長呢？直接拿尺子量肯定是不夠準(zhǔn)確的。相比較而言，正多邊形的周長就容易得到些。于是阿基米德想到一個辦法：在圓內(nèi)部畫一個正多邊形，在圓外部也畫一個相同邊數(shù)的正多邊形（準(zhǔn)確地來說就是畫出內(nèi)接多邊形和外切多邊形），不就可以得到圓周長的范圍，進(jìn)而得到圓周率的取值范圍了嗎？

按照這個思路，阿基米德在只有手算的年代用正96邊形計(jì)算出了圓周率的范圍在223/7到22/7之間，并取它們的平均值3.14作為圓周率的值。

無獨(dú)有偶，我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽也采用求內(nèi)接多邊形周長的方法來獲得圓的近似周長。由于避開了外切多邊形周長的求解，計(jì)算量大大降低；更令人拍案叫絕的是劉徽將正192邊形的幾個浮動近似值，通過簡單的加權(quán)平均就獲得了3.1416這樣含有小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字的圓周率。理論上來說，如果不是通過加權(quán)平均的方法，需要切割到正3072邊形才能得到這樣精確的結(jié)果。

劉徽（圖源百度百科）

此后，祖沖之在劉徽的基礎(chǔ)上將圓周率界定在3.1415926-3.1415927之間，成為世界上第一位將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的數(shù)學(xué)家。然而由于祖沖之所著《綴術(shù)》失傳，具體的計(jì)算過程仍有待考察。

祖沖之（圖源百度百科）

“漸漸地忘記，

忘記了時間，

我只要沿著記憶的路線，

到最深處，縱然那只是瞬間。”

（胡歌《忘記時間》）

時間與π故事要追溯到16世紀(jì)。18歲的伽利略在比薩的教堂中發(fā)現(xiàn)吊燈從輕微晃動到逐漸平息的過程中，每完成一次擺動所用的時間是相同的，也就是“擺的等時性”。然而由于時代的局限性，伽利略沒能進(jìn)一步的研究和應(yīng)用“等時性”。直到70多年后，荷蘭科學(xué)家惠更斯推導(dǎo)出了“等時性”的公式，也就是我們現(xiàn)在所知道的單擺周期公式（大一的讀者朋友現(xiàn)在可以拿出草稿紙來復(fù)習(xí)一遍推導(dǎo)過程了）。

這個公式表明，單擺的周期只與擺的長度L以及當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)，而與掛在擺線上的重物質(zhì)量m無關(guān)。利用這個原理，惠更斯發(fā)明出了擺鐘，經(jīng)過不斷改進(jìn)后至今仍有應(yīng)用。

擺鐘（圖源維基百科）

那2π又是為什么會出現(xiàn)在這個公式里呢？在中學(xué)數(shù)學(xué)里我們學(xué)過2π對應(yīng)著360°，也就是圓的一周。然后我們再來看看，長度L的量綱為[M]（米），重力加速度g的量綱為[MS-2]（米每平方秒），它們相除后開方就變成了1/[S-1]，這個形式是不是很眼熟？沒錯，它可以簡單地類比成距離（圓的一周2π）除以速度（），然后就得到時間（周期T）啦！

接下來π走向了更為復(fù)雜的領(lǐng)域，因此接下來兩部分分為簡單易懂版和稍微難懂版，讀者朋友們可以自行選擇版本閱讀。

“而你在這里，

就是生命的奇跡”

（林憶蓮《至少還有你》）

簡單易懂版：

時間來到18世紀(jì)。這時π在偉大的數(shù)學(xué)家歐拉的幫助下，通過簡單的加法和等式與我們熟悉的0、1以及我們可能沒那么熟悉的自然常數(shù)e以及虛數(shù)i聯(lián)系了起來，這個等式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)上最偉大的公式之一”。如何理解這個公式的偉大呢？我們可以想象在數(shù)學(xué)的藏寶閣里有五顆珍貴的寶石，大家知道它們的珍貴，卻從沒想過它們可以和諧地組合起來。歐拉所做的就是將這五顆寶石用最簡單的方式組合起來，從而造出了一頂數(shù)學(xué)藏寶閣中的桂冠！

稍微難懂版：

時間來到18世紀(jì)。偉大的數(shù)學(xué)家歐拉提出了偉大的歐拉公式：

這個公式又有自然常數(shù)e，又有虛數(shù)單位i，又有三角函數(shù)sin x和cos x，看上去怪讓人害怕的。

這個公式與π的關(guān)系是什么呢？我們且將π帶入x進(jìn)行計(jì)算，便可以得到

誰能想到這樣簡單的代入計(jì)算竟然將e、i、π、1、0這幾個數(shù)學(xué)上最為特別的量給結(jié)合起來了呢？正因如此，歐拉恒等式被稱為“最偉大的數(shù)學(xué)公式之一”。這個公式當(dāng)然不只是簡潔優(yōu)美，它還包含著旋轉(zhuǎn)和頻率這兩個物理學(xué)中重要的過程和量。不過具體是如何包含的較為深奧，在此暫且不贅述了。

歐拉（圖源維基百科）

“知道嗎？

這里的雨季只有一兩天，

白晝很長也很短，

夜晚有三年”

（陳綺貞《我喜歡上你時的內(nèi)心活動》）

簡單易懂版：

20世紀(jì)是量子力學(xué)出現(xiàn)的世紀(jì)，而在這個世紀(jì)π也沒有缺席。在海森堡的幫助下，π與不確定性原理產(chǎn)生了聯(lián)系。等會，不確定性原理指什么呢？簡單來說，這指對于很小很小的小球（小到眼睛無法直接看到）來說，它準(zhǔn)確的位置、質(zhì)量和速度是沒有辦法同時獲得的。想象一下假如我們能看到這個小球，就會發(fā)現(xiàn)在我們能看到小球在哪時，卻沒有辦法知道它有多重以及它跑得多快；反過來我們知道小球的重量和跑的速度時，又沒辦法看清小球究竟在哪里了。當(dāng)然這種微觀的東西和我們實(shí)際生活體驗(yàn)還是很不一樣的，一時難以理解和接受是非常正常的。

稍微難懂版：

20世紀(jì)，也就是量子力學(xué)萌芽和發(fā)展的世紀(jì)，π依然擁有一席之地。其中大家最熟悉的或許就是海森堡不確定性原理的公式了

在這個公式中，x表示位置，p表示動量（動量就是質(zhì)量與速度的乘積），h是普朗克常數(shù)（普朗克常數(shù)用來描述量子大小，深究下去非常有意思，感興趣的讀者可以查閱相關(guān)資料）。這個公式的含義是位置移動測量上的不確定量（）與動量測量上的不確定量（）相乘一定會大于（這個常數(shù)通過實(shí)驗(yàn)和理論都可以得到），意味著位置和動量的確定性都是有限的，不可能同時得到粒子準(zhǔn)確的位置和動量。

海森堡（圖源維基百科）

就這樣，π從被發(fā)現(xiàn)開始，一直伴隨著人類科學(xué)的進(jìn)步。或許在未來，也依然有新的包含π的偉大公式出現(xiàn)，帶領(lǐng)人們走向包含更多可能性的未來。

美編：韓雅彤

校對：萬鵬