在一臺1970年代的PDP-11上訓練Transformer要多久？答案是5.5分鐘

機器之心編輯部

試想一下，如果把當下大火的大模型技術帶回 1970 年，會發生什么？

彼時，沒有 GPU、沒有 CUDA，也沒有浮點數，甚至沒有任何深度學習框架，只有一臺 PDP-11 小型機，以及一門幾乎已經退出歷史舞臺的語言：匯編語言。

近日，一位開發者給出了答案。他復現了那個年代的技術環境，用 1970 年代的 PDP-11 匯編語言，實現了一個 Transformer，并且真正訓練成功了，這個項目叫做 ATTN-11。

具體來看，就是在 1970 年代的小型機 PDP-11 上，用純匯編語言，實現一個單層、單頭的 Transformer，并完成一個「序列反轉」的任務，即輸入一串數字，輸出其反序結果。

比如，輸入：4 7 4 9 6 3 6 5，輸出：5 6 3 6 9 4 7 4。

看似很容易，但關鍵特征是，機器無法通過「記住內容」來完成這個任務，必須理解「位置之間的映射關系」。而這恰恰是自注意力（Attention）機制的的核心能力。

項目結果顯示，在一臺 1970 年代的計算機上，一個僅有 1216 個參數、單層單頭的 Transformer，在約 350 步訓練后就實現了 100% 的準確率，而訓練時間只有 5 分鐘左右。

有意思的是，由于 PDP-11 時代，程序的主要存儲介質是 Paper Tape（穿孔紙帶），因此，該項目開發者又稱該項目為「Paper Tape is All You Need」。

而當開發者將該項目發布之后，引起了網友的熱議。

當下，大模型的發展主要圍繞 Scaling Law 展開，更多的參數 ，更多的數據，更的多算力…… 而 ATTN-11，卻在極低的資源、極簡的結構下，成功實現功能閉環。因此，大家不禁在思考：Transformer，到底需要什么？

一位網友該項目「在 PDP-11 上訓練只要 5 分鐘」表示驚訝，而更讓他震驚的是，這似乎說明「我們其實一直都可以做到這些？？？」

另一位網友則認為，不必驚訝，是的，我們一直可以做到這些。因為，「1980 年代的 Cray 超級計算機非常厲害，尤其在矩陣乘法方面性能極其強大。

比如一臺 1984 年的四核 CPU Cray X-MP，可以持續提供 800 MFLOPS 到 1 GFLOPS 的算力，如果配上一塊 1GB 的 SSD，在算力和帶寬上已經足以在半年內訓練一個 700 萬到 1000 萬參數的語言模型，并以每秒 18 到 25 個 token 的速度進行推理。

而到了 1990 年代中期，一臺 Cray T3E 的算力，就已經可以承載 GPT-2（1.24 億參數）規模的模型，這要比 OpenAI 早 24 年。

而我自己，甚至還用一臺 1965 年的打孔卡計算機，通過反向傳播學會了 XOR。

真正的瓶頸從來都不是硬件，而是想法?！?/strong>

另一位網友也現身說法，他舉了后量子密碼學的例子。他表示，基于格（lattice）的加密方案早在 1990 年代就已被提出，但真正走向產業落地，卻花了整整幾十年，而問題的關鍵不在于數學不成熟，也不在于硬件不足，而是讓這些理論真正「跑起來」的關鍵思路，當時還沒有出現。

接下來，詳細了解一下具體項目實現。

開發者稱，該項目是 Xortran 的精神續作，Xortran 是一個在 IBM 1130（1965 年）和 PDP-11/20（1970 年）上，用 Fortran IV 實現反向傳播來學習 XOR 運算的神經網絡。

自然而然地，下一步就想看看這些機器是否能在可接受的時間內（幾小時）成功訓練一個小型 Transformer。

從架構上看，Transformer 實際上只是基礎神經網絡的適度擴展。矩陣乘法、反向傳播、隨機梯度下降（SGD）和交叉熵等構建模塊早已存在。

新增的三個部分是：

• 自注意力：映射后的查詢（Query）與鍵（Key）之間的點積得分；
• 位置編碼：學習到的位置嵌入，加到輸入上；
• Softmax：將得分轉換為概率分布；

該項目的目標是訓練一個 Transformer 來反轉數字序列。盡管看似簡單，但對神經網絡來說，模型必須學會將每個 token 路由到僅由其索引決定的位置，沒有基于內容的捷徑。而這類問題正是為自注意力設計的，實際上也是 Tensor2Tensor（谷歌 2017 年原始 Transformer 的參考實現）中包含的算法基準之一。

架構

數據路徑很直接，token 被嵌入，通過帶有殘差連接的自注意力層，然后映射回詞表并通過 softmax 得到預測：

該模型是一個極簡的 Transformer：嵌入、帶殘差連接的自注意力、輸出映射。它是真正的帶自注意力的 Transformer，但既不是 BERT 也不是 GPT：沒有層歸一化、沒有前饋網絡、沒有解碼器。

該任務中，不需要對 token 表示做任何變換，因此注意力和殘差連接就足夠了。層歸一化在深層網絡中用于防止激活漂移，但在單層中并不需要。

針對 1970 年代硬件的優化

第一次實現沿用了 Xortran 的方案，并使用 Fortran IV 編寫。在統一學習率為 0.01 的情況下，模型完成 100 步訓練需要 25 分鐘，而要達到 100% 的準確率則需要約 1500 個訓練步數。這在真實硬件上大約相當于 6.5 小時的訓練時間，在 IBM 1130 上甚至可能需要整整一周。

即便是按照 1970 年代的標準來看，這樣的耗時也是難以接受的，因為當時的計算機通常采用分時共享機制，計算資源非常寶貴。

因此，第一次改進是將統一學習率替換為手動調優的分層學習率：

編碼「反轉模式」的注意力權重更適合使用較高的學習率，而輸出映射層在較小學習率下收斂效果更好。通過這一調優，訓練步數降至 600 步，預計訓練時間約為 2.5 小時。

優化器采用的是最基礎的隨機梯度下降（SGD）。像 Adam 這樣的優化器雖然可以為每個參數自適應調整步長，但代價是每個權重需要額外維護兩個狀態向量，使參數所占內存增加到原來的 3 倍。同時，每次更新還需要進行平方根和除法運算，即便在配備 EIS 的 PDP-11 上，這些操作也依然開銷較大。

相比之下，分層學習率在不增加額外成本的情況下實現了類似效果，而且由于模型規模較小，這三組學習率可以手動調優。此外，這也使得 Transformer 可以裝入 32KB 的核心內存，而不是 64KB，這在 1970 年代尤為關鍵。

補充說明：由于采用裸機匯編實現，ATTN/11 的內存占用并不高于 Xortran，后者還需要承擔 RT-11 V3 操作系統和 Fortran 運行時的開銷。最終生成的二進制文件也相當緊湊，僅為 6179 字節。

NN11

核心算術運算基于 NN11，這是一個為 ATTN/11 和 PDP-11 設計的最小化定點神經網絡計算棧。

NN11 的組織結構類似于 BLAS，分為多個層級：最底層是標量基礎操作（FXMATH）；其上是向量運算，如點積和縮放（VECOP）；再往上是矩陣–向量運算（MATOP），每一層都構建在下層之上。

此外，還有兩個模塊將該計算棧擴展到線性代數之外：一個是激活函數及其查找表（ACTFN），另一個是層級操作（LAYER），用于將前述運算組合起來，實現、映射以及注意力等功能。

這些算術計算會根據不同的計算階段進行適配：

在 PDP-11 上，前向計算使用 Q8、反向傳播使用 Q15 的組合非常契合：將一個 Q8 數與一個 Q15 數相乘，會在一個 32 位寄存器對中得到 Q23 的結果，只需一次「ASHC #-8」操作即可將其縮放回 Q15。

因此，反向傳播中的乘法開銷并不高于前向計算，同時還能讓梯度的精度達到激活值的 128 倍。

經過優化后，模型在 350 步內即可收斂，使得在開發者的 PDP-11/34A 上，總訓練時間縮短至僅 5.5 分鐘。

在該項目中，開發者并沒有使用真正的紙帶讀取器，因此是通過控制臺將目標代碼直接寫入內存。

以下是運行該 Transformer 后的結果：

原型

在正式轉向匯編實現之前，必須先驗證其正確性。因此，開發者先在 Sheaf 中對浮點和定點算術進行了原型設計與驗證。Sheaf 是開發者開發的一個函數式 ML 框架，內置了可觀測性機制。

對于這類機器學習工作，Sheaf 相比 Python 有幾個優勢：

• 代碼量大約減少三分之一；
• 其純函數式語義帶來了更強的正確性保障；
• 能夠對每一個中間張量進行內置追蹤，包括其形狀、數值范圍以及計算時間。在開發定點算術時，這一點尤為關鍵。

例如，在「vtmul」上設置一個范圍保護，可以立刻捕捉到遺漏「>>8」位移的問題：

浮點與定點兩種原型實現都可以在「proto」文件夾中找到，同時還包含最初的 Fortran 版本。

實現細節

由于沒有浮點運算單元，超越函數（如 exp、log）被預先計算的查找表所替代。在 PDP-11 上，一次查表只需一條「MOV」指令，其開銷遠低于多項式近似或 CORDIC 算法。

Softmax

Softmax 使用一個包含 256 個條目的查找表（EXPTBL，Q8），將每個索引 i 映射為 exp (?i/32)。計算分為三個步驟：

• 找到輸入向量中的最大值，并從每個元素中減去該值，以保證數值穩定性；
• 將差值（max ? x_i）除以 8，作為查表索引，并限制在 [0, 255] 范圍內；
• 將得到的 exp 值除以它們的總和（通過 FXDIV），得到概率分布。

該查找表大約覆蓋了輸入范圍內的 8 個單位，在趨近于 0 之前，這對于一個 10 類詞表來說已經完全足夠。

交叉熵損失

損失函數每 50 步計算一次，用于報告訓練過程。它依賴另一個查找表（LOGTBL，257 個條目，Q12），將每個值 x ∈ [0, 256] 映射為 ?ln (x/256) × 4096。

計算流程遵循標準路徑：先對 logits 做 softmax，讀取目標 token 的概率，然后在查找表中查得 ?ln (p)。8 個位置（每個序列位置一個）的結果累加到一個 32 位寄存器對中（因為 8 個 Q12 值的和可能超過 16 位），再通過「ASHC #-3」除以 8。Q12 精度（1/4096 ≈ 0.0002）可以提供四位小數，足以用于監控收斂過程。

查找表

ATTN/11 使用兩個查找表。第一個將每個索引映射為 Q8 表示的 exp (?i/32)，在 softmax 中用一條「MOV」指令替代指數計算。另一個表主要用于便利計算，將每個值映射為 Q12 表示的 ?ln (x/256)，每 50 步用于計算交叉熵損失，以監控模型收斂情況。

兩個查找表均通過 Sheaf 腳本離線生成，并以 .WORD 常量的形式存儲在源代碼中。

交叉熵梯度

反向傳播利用了 softmax 與交叉熵組合的一個經典性質：logits 的梯度可以簡化為

從而在訓練過程中完全避免了對數運算的開銷。該結果最初以 Q8 表示，隨后左移 7 位轉換為 Q15，這是整個反向傳播過程中使用的數值格式。同一個 SFTMX 例程同時用于前向與反向計算，無需單獨實現反向傳播版本。

最后補充一點：在這些算法的開發過程中，開發者僅將 AI 工具作為輔助使用，而所有的設計決策、縮放策略，以及數值驗證，均是在硬件上由人工完成的。

內存布局

ATTN/11 總共占用 19.2 KB 內存。下表展示了其內存分布情況，整理自 MACRO-11 匯編器的輸出列表：

這 1216 個參數由于計算需要被復制了三份：Q16 累加器（4.8 KB）、用于前向計算的 Q8（2.4 KB），以及用于梯度的 Q15（2.4 KB）。僅模型本身就占用了 9.6 KB，是整體內存使用中占比最大的部分。

構建

構建所需的兩個條件是：MACRO11 匯編器，以及用于將目標代碼轉換為可加載二進制文件的 obj2bin 工具。

運行

運行，需要具備以下條件之一：

• 一臺真實的 PDP-11，且其 CPU 支持 EIS 指令，并配備 32KB 的核心內存或 MOS 內存；
• 或使用 ll-34：這是我設計的一款電路級、微周期精確的 PDP-11/34 模擬器，可作為真實硬件的數字復刻。

ll-34 幾乎可以視作擁有一臺真正的 11/34。啟動 ATTN/11 的方式如下：

或者，如果只是想快速體驗，可以使用這里提供的 WebAssembly 版本：

• https://dbrll.github.io/ll-34/。

SIMH 也可以使用，但它模擬的是 PDP-11 的高層行為（而非電路級），并以宿主機 CPU 的速度運行。雖然可以通過人為方式降低速度，但其時序并非周期級精確，因此不太適合用于性能調優或還原真實體驗。

大家詳細了解該項目后有何感想，可以在評論區留言交流！

https://github.com/dbrll/ATTN-11?tab=readme-ov-file#attn11---paper-tape-is-all-you-need

https://news.ycombinator.com/item?id=47518568