從切蘋果到量子臨界點(diǎn)：“怎么切”為何如此重要？

糾纏熵通常被當(dāng)作觀察量子臨界性的窗口，但這扇窗口看到什么，竟然和“怎么切”密切相關(guān)。我們近期發(fā)表在Physical Review Letters上的研究發(fā)現(xiàn)，不同的糾纏切割方式會(huì)在切割邊界上誘導(dǎo)出不同的低能結(jié)構(gòu)，因而讓糾纏熵混入額外的邊界信息。換句話說，糾纏切割有時(shí)并不只是數(shù)學(xué)步驟，它在物理上可以等效為一條邊界。

撰文 | 朱彥璋、王哲（西湖大學(xué)物理系量子多體計(jì)算實(shí)驗(yàn)室）

大家可能見過這樣一個(gè)小實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)蘋果攔腰橫切，切面會(huì)露出一個(gè)清晰的五角星；如果換個(gè)方向切，這顆“星”就不見了。蘋果本身沒有變，變的只是切割方式，但我們觀察到的結(jié)構(gòu)卻完全不同。這個(gè)簡單的例子揭示了一個(gè)常被忽略的事實(shí)：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)足夠復(fù)雜時(shí)，我們?nèi)绾吻懈睢⑷绾斡^察，會(huì)直接影響我們能夠看到的結(jié)構(gòu)。

圖一：橫切蘋果的“五角星”

糾纏與切割

在量子物理中，糾纏被用來描述復(fù)合系統(tǒng)內(nèi)部各部分之間的量子關(guān)聯(lián)。為了研究這種關(guān)聯(lián)，物理學(xué)家通常把系統(tǒng)劃分成兩個(gè)部分，通過對其中一部分的自由度求偏跡（partial trace），從而提煉出另一部分的狀態(tài)，并用一個(gè)量來衡量這兩部分之間剩下多少關(guān)聯(lián)，這個(gè)量就是糾纏熵（entanglement entropy）。在大量模型中，人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)體系接近量子相變點(diǎn)時(shí)，糾纏熵的變化方式往往具有普適性，能夠反映體系的臨界行為，因此糾纏逐漸被當(dāng)作一種探測體相性質(zhì)的重要工具，尤其是在一些非常規(guī)的量子相變中[1]。在這一過程中，一個(gè)幾乎被默認(rèn)接受的前提是：只要體系足夠大，糾纏熵就能很好地反映體相性質(zhì)，而不依賴于具體的二分切割方式。

近年來，對二維量子磁體的研究發(fā)現(xiàn)了一個(gè)耐人尋味的現(xiàn)象：在同一個(gè)量子臨界點(diǎn)上，僅僅改變糾纏切割的方向，就可能得到不同的糾纏標(biāo)度行為。有些切割方式看起來與理論預(yù)期高度一致，而有些則明顯偏離[2]。這就像是在研究同一個(gè)蘋果，卻因?yàn)榍蟹ú煌袝r(shí)看到五角星，有時(shí)卻什么也看不到。這些差異究竟意味著什么？是有的切割方式未能反映量子系統(tǒng)的性質(zhì)，還是有的切割方式本身引入了額外的信息？

要回答這個(gè)問題，關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)到一件事：糾纏切割雖然不會(huì)改變體系的哈密頓量，但它確實(shí)引入了一條清晰的分界線，這條線在物理效果上扮演了類似“邊界”的角色。事實(shí)上，先前已有研究發(fā)現(xiàn)，相比于光滑的（cornerless）糾纏切割，有邊角的糾纏切割方式會(huì)在糾纏熵中引入額外的對數(shù)修正項(xiàng)[3]。這也啟發(fā)了我們對于切割方式的關(guān)注。

在研究臨界現(xiàn)象時(shí)人們早已知道，在具有開放邊界條件的系統(tǒng)中，真實(shí)物理邊界并不總是平凡的。不同的邊界條件，可能對應(yīng)完全不同的邊界行為，有的邊界無序，有的卻能夠形成自己的低能結(jié)構(gòu)[4, 5]。同時(shí)，研究物理系統(tǒng)邊緣行為的科學(xué)家們曾經(jīng)提出過Li-Haldane-Poilblanc猜想：對于有些量子系統(tǒng)，真實(shí)開邊體系的邊緣激發(fā)譜（edge excitation spectrum）與糾纏譜（entanglement spectrum）的低能部分有相似的物理性質(zhì)[6, 7]，這暗示了我們真開邊與糾纏切割在有些系統(tǒng)中有對應(yīng)關(guān)系。如果糾纏切割在物理上可以被看作一種等效邊界，那么一個(gè)自然的問題就是：不同的糾纏切割方式，是否會(huì)對應(yīng)不同的“邊界行為”，從而影響糾纏熵中所包含的信息？為了檢驗(yàn)這一點(diǎn)，我們研究了二維J-Q?自旋模型在不同切割方式下的邊緣臨界行為[8]。

兩種切割，兩種邊界物理

方向的標(biāo)準(zhǔn)切割（正切），以及與晶格成45°的傾斜切割（斜切）。數(shù)值結(jié)果顯示，這兩種切割方式在糾纏邊界上誘導(dǎo)出了本質(zhì)不同的低能行為。在標(biāo)準(zhǔn)切割下，切割線附近的關(guān)聯(lián)隨距離衰減，表現(xiàn)得像一個(gè)普通（ordinary）、無序的邊界，糾纏主要由體相的臨界漲落控制；而在傾斜切割下，即使體系整體仍處在量子臨界點(diǎn)，切割線附近卻保持著有限的有序結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出非凡（extraordinary）邊界的特征。這說明，糾纏切割并不是一個(gè)中性的選擇，它本身會(huì)影響糾纏邊界的物理行為。

糾纏熵只是一個(gè)數(shù)，相比之下，糾纏譜包含了更豐富的信息，我們還可以進(jìn)一步對其進(jìn)行計(jì)算和分析。糾纏譜描述的是，當(dāng)我們只觀察體系的一部分時(shí)，這一部分內(nèi)部允許出現(xiàn)的激發(fā)模式。正如前文所言，在許多量子體系中，人們發(fā)現(xiàn)糾纏譜與真實(shí)物理邊界上的激發(fā)譜非常相似，這意味著糾纏對邊界附近發(fā)生的事情高度敏感。在我們的研究中，不同切割方式下的糾纏譜，與相應(yīng)幾何條件下的邊緣激發(fā)譜行為高度一致，因此如果某種切割方式會(huì)在真實(shí)邊界上引入額外的低能結(jié)構(gòu)，那么類似的結(jié)構(gòu)也會(huì)出現(xiàn)在糾纏邊界上。它們會(huì)不可避免地進(jìn)入糾纏譜，并進(jìn)一步影響糾纏熵的行為。

圖三：(a,b)開放邊界條件(OBC)下的邊緣激發(fā)譜，(c,d)糾纏譜。(a,c)對應(yīng)正切，(b,d)對應(yīng)斜切。可以看到在相同切割方式下的邊緣激發(fā)譜與糾纏譜極其相似，驗(yàn)證了Li-Haldane-Poilblanc猜想，并且不同的切割方式體現(xiàn)出了截然不同的激發(fā)行為，進(jìn)一步說明了這會(huì)影響糾纏熵的行為。

我們的結(jié)果表明，糾纏熵并不總是一個(gè)只反映體相性質(zhì)的量。只有當(dāng)糾纏切割對應(yīng)的邊界是普通的、沒有自身低能結(jié)構(gòu)時(shí)，糾纏才能作為體相臨界性的可靠探針。正如蘋果里的五角星所提醒的那樣，在研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，觀察方式本身也可能塑造我們看到的結(jié)構(gòu)。在使用糾纏行為研究量子多體系統(tǒng)時(shí)，也許我們不僅要問體系處在什么相，還需要多問一句：我們是如何把它切開的？

感謝合作者們（朱彥璋、劉澤楠、王哲、王艷成、嚴(yán)正）在研究中的貢獻(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1] G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico, and A. Kitaev, Phys. Rev. Lett. 90, 227902 (2003).

[2] J. D’Emidio and A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 133, 166702 (2024).

[3] E. Fradkin and J. E. Moore, Phys. Rev. Lett. 97, 050404 (2006).

[4] L. Zhang, and F. Wang, Phys. Rev. Lett. 118, 087201 (2017).

[5] C. Ding, L. Zhang, and W. Guo, Phys. Rev. Lett. 120, 235701 (2018).

[6] H. Li and F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 101, 010504 (2008).

[7] D. Poilblanc, Phys. Rev. Lett. 105, 077202 (2010).

[8] Y. Zhu, Z. Liu, Z. Wang, Y.-C. Wang, and Z. Yan, Phys. Rev. Lett. 136, 046501 (2026).

[9] A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007).

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