量子力學需要虛數嗎？

薛定諤方程中的i曾令許多物理學家困惑，虛數有真實的物理意義嗎？i究竟是量子理論的必要組成部分，還是僅僅為了方便數學運算？很早就有物理學家干脆拋棄i，構建出實數量子力學，但并未獲得實驗證實。然而，故事在2025年發生了變化。

撰文 | 一根弦

在物理學發展歷史中，量子力學的誕生具備里程碑式的意義。從物理思想上講，量子力學的出現打破了經典物理中的“機械決定論”，刷新了人類對微觀世界的認知觀念。從數學結構上看，量子力學的核心理論——薛定諤方程引入了不可消除的虛數。

那么問題來了：量子力學中對復數的引入僅僅是數學上的便利，還是物理學自身的需要呢？自從1926年薛定諤方程提出之日起，這個問題就一直在困擾著物理學家。

近些年，隨著人們對量子力學基礎及相關實驗的討論不斷加深，這個老問題又重新引發了物理學家的濃厚興趣[1, 2]。

虛數 VS 量子力學

虛數概念的引入出現在16世紀的意大利，文藝復興時期的數學家熱衷于尋找一元高次方程的通解（編者注：可參見《一次數學比賽，誕生了數學上至關重要的概念》）。1545年，意大利數學家卡爾達諾（Girolamo Cardano，1501-1576）在《大術》（Ars magna）中提出了一個著名的問題：把10分成2個部分，它們的乘積等于40（即求解

1629年，荷蘭數學家吉拉德（Albert Girard，1595－1632）斷言“n次多項式方程都有n個根”，包括負根和“不可解數”（虛數）。這就是今天代數基本定理的雛形。后來，法國數學家笛卡爾（René Descartes，1596-1650）提出了相同的論斷，并在此基礎上正式引入了“虛數”這一術語。顧名思義，“虛數”意味著“想象中的數”。從取名中不難發現笛卡爾對虛數充滿著質疑。

1777年，瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler，1707－1783）在論文中首次引入了虛數符

（Carl Gau?，1777－1855）、哈密頓（William Hamilton，1805－1865）等數學家的不斷完善，復數理論逐漸形成了一整套完備的理論體系[3]。

圖1. 左圖：卡爾達諾，第一個正式提出虛數概念的數學家；中圖：笛卡爾，第一個給虛數命名的數學家；右圖：歐拉，第一個正式定義虛數的數學家。 圖源：維基百科

然而，直到量子力學出現，虛數都還停留在數學領域，并未真正進入到物理學中。原因是：所有的可觀測量都必須是實數，復數沒有辦法被直接觀測到。

實際上，在經典理論中很多場景使用到了復數（譬如，電動力學中對電磁波的描述就使用了復數），但這些僅僅是為了數學上的簡潔和計算上的便利。換句話說，在這些經典理論中，復數的引入并非必須項——僅僅使用實數也完全夠用。楊振寧先生在《20世紀數學與物理的分與合》一文中如是說：“i在量子力學以前也出現過，可是不是基本的，只是一個工具。到了量子力學發展以后，它就不只是個工具，而是一個基本觀念了。為什么基礎物理學必須用這個抽象的數學觀念，虛數i，現在沒有人能解釋”[4]。

19266年，薛定諤（Erwin Schrodinger，1887－1961）提出了以他的名字命名的方程，方程中有個大大的虛數單位i。使用薛定諤方程計算得到氫原子光譜與實驗觀測高度吻合，薛定諤方程大獲成功，這份成功的喜悅令人們短暫地忘記了虛數這個在數學結構上看上去“不太完美”的東西。

最早對虛數的引入產生質疑的恰恰是薛定諤本人。在薛定諤方程提出的同年，在寫給洛倫茲的信中，薛定諤表達了自己的焦慮——“這里（指的是薛定諤方程）最令人不安的是復數的使用，從原理上講，波函數Ψ應該是實函數”。薛定諤留下的大量手稿表明，他一直在尋找一個只有實數版本的波動方程。

實數量子力學（Real Number Quantum Mechanics）是否真的可行呢？

早期研究回顧

眾所周知，一個復數對應復平面上的一個向量，包含一個實部和一個虛部。因此，構建實數量子力學的樸素方法是：用兩個實數等價替換掉對應的實部和虛部。

1934年，約爾當（Pascual Jordan，1902－1980）、魏格納（Eugene Wigner，1902－1995）和馮·諾依曼（John von Neumann，1903－1957）利用代數的方法搭建起基于實數量子力學的基礎框架。之后，在60年代瑞士物理學家恩斯特·施蒂克爾貝格（Ernst Stueckelberg，1905－1984）將其進一步發展：他成功地把d維的復數表示拓展到了2d維的實數表示，并發展了一套數學技巧，在實數域中實現了繞虛軸轉動這樣看上去只能在復平面上的操作。

從形式上講，從基于復數的量子力學（為了加以區分，后文統稱“標準量子力學”）變換到基于實數的量子力學（后文統稱為“實數量子力學”），只需要對密度矩陣和哈密頓量算符做如下變換：

實數域的。同理，標準量子力學基于的四個假設可以非常自然地推廣到實數量子力學中。2008年和2009年，兩個研究團隊通過計算經典貝爾實驗中貝爾不等式的最大違背數，證明了實數量子力學與標準量子力學的等價性[5, 6]，使人們對實數量子力學又增加了一份信心。

那么，實數量子力學是否能在任何場景下都能和標準量子力學保持一致？或者說，當兩者不一致時，孰對孰錯呢？

貝爾實驗與實數量子力學的“死刑”

1935年，愛因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）、波多爾斯基（Boris Podolsky，1896－1966）和羅森（Nathan Rosen，1909-1995）提出了著名的EPR佯謬，向量子力學的完備性發起挑戰。1964年，貝爾（John Stewart Bell，1928－1990）基于玻姆（David Bohm，1917－1992）的隱變量理論，推導出了特定糾纏態上關聯測量滿足的基本不等式，被稱為貝爾不等式。1969年，克勞澤（John Clauser，1942－）、霍恩（Michael Horne，1943－2019）, 希莫尼（Abner Shimony，1928－2015）和霍爾特（Richard Holt，據說后來不搞物理了）四位物理學家給出了一個更便于在實驗上檢驗的版本——CHSH不等式（CHSH分別取自四位的姓氏），是貝爾不等式的特殊情況。

在傳統貝爾實驗中，有兩位分別叫作Alice和Bob的觀測者（之所以取這個名字是因為兩人的首字母分別是A和B）。在Alice和Bob中間有一個EPR糾纏對，這個糾纏對由2個1/2-自旋粒子組成。這樣，Alice觀測的第一個粒子就存在兩種可能性——自旋向上或者向下（為了不失一般性，把Alice觀測的結果記作A和A’）。Bob觀測的第二個粒子同樣具備兩種可能性，把Bob觀測的結果記作B和B’。

圖2 傳統貝爾實驗示意圖。圖源：參考文獻[7]

定義Alice觀測到A，同時Bob觀測到B的關聯函數E(A, B)；同理，可以定義E(A, B’), E(A’, B)和E(A’, B’)，并把這四個關聯函數組合成S：

S=E(A,B)+E(A,B')+E(A',B)-E(A',B')

由于在實際實驗中粒子極化率無法做到完美的100%，因此實驗中測量的S數值為2.697 ± 0.0515[8]。這一結果表明，經典理論完全失效，量子力學大獲全勝。

貝爾不等式的驗證（或者說貝爾不等式違背），徹底否定了局域隱變量的理論，直接揭示了量子力學的基本特征——量子非定域性（non-locality）[9]，這也是人類首次觸摸到了類空距離上的“鬼魅”長程量子關聯。關于貝爾不等式的研究工作，在2022年被授予了諾貝爾物理學獎，前文中提到的克勞澤是獲獎人之一（再一次印證了在得諾貝爾獎這件事上，活得久是非常重要的）。

既然貝爾實驗可以檢驗經典理論和量子理論的有效性，一個天然的想法是貝爾實驗是否可以用來檢驗實數量子力學的正確性？不過，實數量子力學理論給出了和標準量子力學相同的CHSH上限值，換言之，傳統的貝爾實驗無法用來檢測實數量子力學的正確性。

2021年，8位研究人員在《自然》雜志上發表了一篇論文[7]。這篇文章創新性地提出了一個思維實驗，這個實驗可以看作傳統貝爾實驗的改進版。在這個思維實驗中，使用2個EPR糾纏對和三名觀察者：Alice、Bob和Charlie。在Alice和Bob之間、Bob和Charlie之間各形成一個EPR糾纏對（見圖3）。在Bob這里會形成貝爾態，該貝爾態有四種可能性。

圖3 進階版貝爾實驗原理圖。圖源：參考文獻[11]

不久之后，兩支來自中國的科研團隊實施了這套實驗方案。南方科技大學范靖云團隊利用光學的實驗方法搭建了實驗平臺[10]，結果顯示：糾纏光子之間的相關性遠遠超過了實數理論所允許的上限。這表明復數在描述量子態時是不可或缺的。而中國科學技術大學潘建偉團隊則超導量子比特開展了此項實驗[11]。實驗測量出CHSH3值為8.09, 小于標準量子力學

這一實驗結果就像他們論文標題一樣醒目：Ruling out real-valued standard formalism of quantum theory（推翻量子力學的實數版本），實數量子力學被潘建偉和范靖云的兩個實驗判了個“死刑”。

值得一提的是，這兩個來自中國的研究團隊憑借對實數量子力學的檢驗實驗，成功入選了2022年國際物理學領域十大進展[12]。

就在人們以為實數量子力學將永無出頭之日時，事情在2025年發生了翻轉。

死刑？死緩？

這份轉機并非來自新實驗結果的出現或者原有實驗被推翻，而是來源于研究人員發現：原

失誤，而是早期的實數量子力學理論本身確實存在一些問題。

2025年3月，5名德國研究人員（作者見圖6）在arXiv網站上掛出了一篇文章[13]，在文章后長達15頁的附錄中，他們重構了實數版量子力學并用重構后的版本計算出了和標準量子

出一篇文章[14]，以另外一種方式重寫了實數版量子力學。

圖7 左圖為文獻[14]的第一作者Timothée Hoffreumon，右圖為文獻[14]的第二作者Mischa Woods。圖源：參考文獻[1]

盡管兩篇論文數學出發點略有不同，但都同時注意到了早期實數量子力學框架的致命缺點：標準量子力學滿足“表示局域性”的（representation-local），但原來的實數量子力學不具備這樣的性質。

圖8 表示局域性示意圖。當兩個沒有相互作用的體系中的一個體系受到影響或者發生變化時，另外一個體系如果不發生變化，那么這樣的理論描述就具備表示的局域性，反之則不具備。

何為“表示局域性”？以圖8為例：假設存在兩個完全獨立的量子系統，左右兩個系統分別處于為ρ量子態和σ量子態，此時整個系統可表示為ρ?σ。

當左側體系發生變化時（比如一束激光打過來），左體系由量子態ρ變成量子態ρ'，其數學表示為ρ'=h(ρ)。由于左右兩個體系之間不存在相互作用，因此右體系仍處于σ量子態，此時整個系統可表示為ρ'?σ=h(ρ)?σ。如果一個理論滿足此性質，那么這樣的理論描述就具備表示局域性。標準量子力學可做到這一點，但早期的實數量子力學就無法做到——在早期實數量子力學框架中，由于直接套用了標準量子力學中的張量積規則定義，導致在描述這樣的系統時，必須使用h'(ρ?σ) 才能描述變化后的體系。也就是說，都是張量積運算?使得實數量子力學出現了表示不定域的現象。正是這個原因導致了在進階版的貝爾實驗中，實數量子力學給出了與標準量子力學不一致的計算結果。

為了解決這個問題，兩個研究團隊都在實數域中對標準張量積（Tensor Product）進行改寫，最終有效地解決實數量子力學的表示局域性問題。張量積的改寫過程涉及較為深奧的數學知識，我們打個比方來試圖理解整個過程：在平直空間內，直角三角形的三條邊長遵循勾股定理，即a^2+b^2=c^2，但是這樣的規律在非平直空間中完全失效（非歐幾何）。換句話說，勾股定理只是直角三角形在平直空間的一種特殊情況而已。

張量積的本質是矢量組合的運算規則，張量積的運算規則可以保證復數域內量子力學的表示局域性，但不能保證其在其他數域（比如實數域）的表示局域性，就像勾股定理雖然在平直空間有效，但在非歐空間中失效一樣。要保證其他數域下表示局域性就不能生搬硬套張量積在復數域中運算法則，而是需要找到通用的矢量組合規則。因此，來自德國和法國的兩個科研團隊分別在實數域內創造出了不同的矢量-矢量組合規則，重新構建了實數值量子理論。這些理論能夠滿足表示局域性，并且給出了與標準量子理論完全相同的預測結果。

圖9 文獻[13]的最后，通過重新構建的實數量子力學計算出了進階版貝爾實驗的CHSH3上限值為62，與標準量子力學計算得到的結果完全一致。

圖10 多體實數量子力學與多體標準量子力學的對應映射關系圖

順便說一句，文獻[13]深入討論了當多體量子理論從復數變化到實數時，維度增多了——原來的d維空間變成了2d維空間。多出來的維度可通過U(1)全局對稱性消除掉。因此，多體實數域的希爾伯特空間的商空間和標準復數域的希爾伯特空間是完全同構的。

結語

2025年出現在arXiv上的兩篇論文修正了原本實數量子力學理論框架的問題，并給出和標準

經過此番修正，實數量子力學是否在任何情況下都可以達到與標準量子力學完全一致的計算結果？是否存在更進階版本的貝爾實驗（比如實驗中引入3個或者更多的EPR糾纏對）來否認當前的實數量子力學理論體系呢？換句話說，這樣的修正是否只是一次小修小補，當前的理論體系仍舊存在著巨大的bug？

或者，一種更加形而上學的觀點是：即便人類找到了與標準量子力學完全等價的實數版本的量子力學，發現復數版本的量子力學更加簡明扼要，最后仍舊免不了要以復數版本的量子力學為準，那么對實數量子力學的探索和尋找是不是本身就是徒勞的呢？對量子力學基礎的探索路途仍然遙遠，讓我們拭目以待吧。

參考文獻

[1] Physicists Take the Imaginary Numbers Out of Quantum Mechanics, Quantum Physics, https://www.quantamagazine.org/physicists-take-the-imaginary-numbers-out-of-quantum-mechanics-20251107/

[2] Imaginary Numbers May Be Essential for Describing Reality, Quantum Physics, https://www.quantamagazine.org/imaginary-numbers-may-be-essential-for-describing-reality-20210303/

[3] 陸俊，復數與復數測量學問錄，物理 (2020) http://www.wuli.ac.cn/cn/article/pdf/preview/10.7693/wl20200709.pdf

[4] 楊振寧，20世紀數學與物理的分與合, 環球科學, 第10 期, (2008)

[5] Károly F. Pál and Tamás Vértesi，Efficiency of higher-dimensional Hilbert spaces for the violation of Bell inequalities, Phys. Rev. A 77, 042105 (2008)

[6] Matthew McKague, Michele Mosca, Nicolas Gisin, Simulating Quantum Systems Using Real Hilbert Spaces, Phys. Rev. Lett. 102, 020505 (2009)

[7] Renou, MO., Trillo, D., Weilenmann, M. et al. Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified. Nature 600, 625–629 (2021). https://doi.org/10.1038/s41586-021-04160-4

[8] S. Weinberg, Lectures on Quantum Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. (2013).

[9] 崔廉相，許康，張芃，孫昌璞，貝爾不等式的量子違背及其實驗檢驗——兼議2022 年諾貝爾物理學獎，物理，52卷（2023）

[10] Zheng-Da Li et al, Testing Real Quantum Theory in an Optical Quantum Network, Phys. Rev. Lett. 128, 040402 (2022).

[11] Ming-Cheng Chen et al, Ruling Out Real-Valued Standard Formalism of Quantum Theory, Phys. Rev. Lett. 128, 040403 (2022).

[12] 美國物理學會（APS）旗下的Physics網站公布評選出的2022年物理領域十項重大進展：https://physics.aps.org/articles/v15/197

[13] P.B. Hita et al, Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description, arXiv:2503.17307(2025)

[14] T. Hoffreumon, M. P. Woods, Quantum theory does not need complex numbers, arXiv:2504.02808(2025)

作者簡介

一根弦，中關村文理學院非優秀畢業生。博士期間主業發展原子核集體激發態理論，副業打聽八卦新聞。因帝都房價高企加上錯信IT高薪傳聞，誤入碼農行列，逃離北京來到卷都杭州。除全職工作外，分別在知乎以“一根弦”和在B站以“一根弦肥二”的網名挖掘和寫作物理學家，并以此為樂。

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