一道經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，揭示了玻爾茲曼分布的唯一性

此刻，你周圍空氣中的分子正以混亂而不可預(yù)測(cè)的方式運(yùn)動(dòng)。為了理解這類系統(tǒng)，物理學(xué)家會(huì)使用一種稱為玻爾茲曼分布的定律。這一分布由奧地利物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Eduard Boltzmann）于19世紀(jì)下半葉提出，它并不描述每個(gè)粒子具體在哪里，而是描述系統(tǒng)處于各種可能狀態(tài)的概率。這使得即使單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的，仍然可以預(yù)測(cè)整個(gè)系統(tǒng)的行為。

這就像擲一枚骰子：雖無法預(yù)測(cè)單次擲出的結(jié)果，但如果一次又一次地反復(fù)投擲下去，就會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的概率分布模式。如今，玻爾茲曼分布被廣泛用于多個(gè)領(lǐng)域的系統(tǒng)建模。從人工智能到經(jīng)濟(jì)學(xué)都在使用它，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中它被稱為“多項(xiàng)Logit”。

在一項(xiàng)研究中，兩名經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)這一普適規(guī)律進(jìn)行了更深入的研究，并從數(shù)學(xué)的角度證明了：玻爾茲曼分布是唯一能夠準(zhǔn)確描述不相關(guān)（或不耦合）系統(tǒng)的定律。

不相關(guān)系統(tǒng)

在創(chuàng)建模型時(shí)，科學(xué)家常常會(huì)面對(duì)一個(gè)基本要求：模型應(yīng)該只反映“真正相關(guān)”的因素，而不應(yīng)把不相關(guān)的事情聯(lián)系起來。

為了把這個(gè)概念說得更直觀，我們可以用經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究人們?nèi)绾卧趦煞N麥片品牌之間做選擇作為例子。在這種例子中，他們真正想解釋的是“麥片偏好”如何受價(jià)格、口味、品牌等因素影響。如果這時(shí)，一個(gè)模型預(yù)測(cè)了消費(fèi)者對(duì)某個(gè)麥片品牌的偏好，取決于他那天買了哪種洗潔精，或者去商店時(shí)穿了什么顏色的襯衫，那么研究人員就會(huì)立馬意識(shí)到——這個(gè)模型出了問題，它把本應(yīng)相互獨(dú)立的部分錯(cuò)誤地耦合在了一起，把一些荒謬的聯(lián)系硬扯了進(jìn)來。

玻爾茲曼分布之所以長(zhǎng)期以來被廣泛使用，其中一個(gè)重要原因就在于：它能夠?qū)Σ幌嚓P(guān)（不耦合）系統(tǒng)保持“互不影響”的性質(zhì)。然而，一個(gè)更深的問題隨之出現(xiàn)：是否只有這一套理論具備這種性質(zhì)？是否還存在別的理論，同樣能在“加入無關(guān)部分時(shí)預(yù)測(cè)不變”的意義下，正確描繪不相關(guān)系統(tǒng)？

如果答案是“存在”，那么這些替代理論可能同樣適用于經(jīng)濟(jì)學(xué)與物理學(xué)；但如果答案是“不存在”，那么就意味著一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論：玻爾茲曼分布并不只是“好用的工具之一”，而是在上述獨(dú)立性要求下被唯一確定的理論；相應(yīng)地，多項(xiàng)Logit也將是唯一能夠在“不相關(guān)情境”下預(yù)測(cè)獨(dú)立選擇的經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。這正是相關(guān)研究試圖澄清并證明的核心問題。

一枚普通的骰子

在這項(xiàng)研究中，為了尋找可能同樣適用于“不相關(guān)系統(tǒng)”的其他理論，Sandomirskiy和Tamuz發(fā)展了新的方法來檢驗(yàn)其背后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。Tamuz喜歡用骰子來解釋他們?nèi)绾翁幚磉@個(gè)問題。

擲骰子的每一次結(jié)果都是隨機(jī)的——可能擲出1、2、3、4、5或6——這可以看作一個(gè)個(gè)體或一個(gè)物理系統(tǒng)的單次行為。如果投擲骰子的次數(shù)很多，那么規(guī)律就會(huì)開始浮現(xiàn)：從1到6的每個(gè)點(diǎn)數(shù)，出現(xiàn)的次數(shù)大約都會(huì)是1/6，這就是單個(gè)骰子的分布。

現(xiàn)在，如果投擲的骰子數(shù)量變成了2，那么當(dāng)記錄它們的點(diǎn)數(shù)之和時(shí)，就會(huì)得到另一種分布。比如，擲出總和為2的概率是1/36，因?yàn)閿S出2只有一種方式（1和1）；但擲出總和為8的概率是5/36，因?yàn)閿S出8有五種方式（4和4、3和5、5和3、2和6、6和2）。關(guān)鍵在于：其中一枚骰子的結(jié)果并不包含關(guān)于另一枚骰子結(jié)果的信息，因?yàn)檫@兩枚骰子是兩個(gè)彼此無關(guān)的物理系統(tǒng)。

這時(shí)，回到經(jīng)濟(jì)學(xué)的選麥片例子中：一枚骰子就像是其中一種麥片，另一枚骰子就像“選洗潔精”。這些隨機(jī)選擇不應(yīng)相互影響。

怪異的骰子

接下來，要理解研究人員如何用這種思路檢驗(yàn)玻爾茲曼分布的其他替代理論，就需要引入一對(duì)“怪異骰子”，例如西克曼骰子——西克曼骰子是一對(duì)具有非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字的六面骰——其中一個(gè)骰子的六面分別為1、2、2、3、3、4，另一個(gè)為1、3、4、5、6、8。

一對(duì)西克曼骰子。（圖/Caltech）

雖然這兩枚骰子的數(shù)字有別于普通骰子，但如果我們同時(shí)擲出這兩枚骰子，并且只記錄點(diǎn)數(shù)之和，是無法把它們與普通骰子區(qū)分開來的：就像普通骰子一樣，用西克曼骰子擲出總和為2的概率也是1/36，而擲出總和為8的概率也是5/36。換句話說，這兩種骰子在“點(diǎn)數(shù)之和”上的概率分布是相同的。

研究人員意識(shí)到，他們可以利用西克曼骰子背后的數(shù)學(xué)來檢驗(yàn)替代理論：如果某種理論會(huì)導(dǎo)致“普通骰子”和“怪異骰子”在點(diǎn)數(shù)之和上具有相同的概率分布，那么它就通過了“能否準(zhǔn)確描述不相關(guān)系統(tǒng)”的檢驗(yàn)；如果兩者在點(diǎn)數(shù)之和上的概率分布不同（這就相當(dāng)于出現(xiàn)了那個(gè)荒謬情形：洗潔精的選擇會(huì)影響麥片的選擇），那么該理論就失敗了。

而檢驗(yàn)是否存在更多替代理論的關(guān)鍵，就在于找到除西克曼骰子之外的更多“怪異骰子”的例子。每發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的“怪異骰子”的例子，就能用它來檢驗(yàn)更多理論。由于可能的替代理論有無窮多種，而研究人員也成功地與之匹配了無窮多對(duì)“理論上的怪異骰子”。

數(shù)學(xué)證明

用數(shù)學(xué)的語言來說，這項(xiàng)研究最終可歸結(jié)為多項(xiàng)式：上述討論的所有分布，無論是玻爾茲曼分布還是替代理論——都可以用多項(xiàng)式來表示。比如，第一枚西赫爾曼骰子（六個(gè)面為1、3、4、5、6、8）可以表示為

第二枚西赫爾曼骰子（六個(gè)面為1、2、2、3、3、4）可以表示為

這兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積 f(x)·g(x)仍是一個(gè)多項(xiàng)式，它表示“點(diǎn)數(shù)之和”的分布。這個(gè)分布與兩枚普通骰子的點(diǎn)數(shù)之和分布相同；普通骰子各自可表示為

因此，h(x)·h(x)與f(x)·g(x)是相同的。

這種數(shù)學(xué)表達(dá)正對(duì)應(yīng)了“不相關(guān)系統(tǒng)的獨(dú)立性”。

最終。研究人員構(gòu)建出了一份數(shù)學(xué)證明，排除了所有替代理論，并表明：在科學(xué)中被持續(xù)使用了一百多年、久經(jīng)檢驗(yàn)的玻爾茲曼分布，是唯一真正可行的那一個(gè)。

#參考來源：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-025-03263-x

https://www.caltech.edu/about/news/economics-puzzle-leads-to-a-new-understanding-of-a-fundamental-law-of-physics

#圖片來源：

封面圖&首圖：Caltech