科研儀器 | 硬核科普：模擬信號 PLL 鎖相環的核心組件、數學模型及蘇黎世儀器實操案例

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簡 介

模擬信號鎖相環(PLL)在當今物理和工程應用中無處不在。本白皮書將闡述其核心功能和工作原理，并介紹可通過蘇黎世儀器鎖相放大器便捷實現的多個實際應用案例。

歷史上，最早的PLL系統是為調幅(AM)信號接收機提出的，旨在利用零差檢測優勢并避免外差接收機產生的鏡像響應[1]。要實現有效工作，零差檢測器需要一個與接收信號載波頻率相同的本振(LO)，這意味著本振必須嚴格跟隨輸入載波的相位。于是人們設計出PLL電路，將本振相位鎖定至載波相位，確保兩個振蕩信號間保持恒定的相位關系。

PLL是一種具有負反饋的閉環控制系統，能在兩個周期信號（作為參考的輸入信號和作為跟隨的輸出信號）間維持明確的相位關系。通過相位鎖定，兩個信號具有相同頻率，從而實現多信號源的相干信號生成與檢測。PLL可簡化為以下核心模塊[2]:

1. 相位檢測器

2. PID控制器

3. 受控振蕩器

如圖1所示，PLL接收來自參考源的輸入信號，將其相位變化傳遞至受控振蕩器，生成跟隨輸入信號相位的輸出信號。

圖1. PLL的示意圖，顯示了其基本組成模塊。PLL產生跟隨其輸入信號的相位和頻率的輸出信號。它是使用負反饋閉環來實現的。

相位檢測單元測量兩信號間的相位差，檢測結果與相位設定值比較后生成誤差信號供比例-積分-微分(PID)控制器使用?；谡`差信號，PID控制器產生反饋信號來調節受控振蕩器頻率，使其跟隨輸入信號相位，最終生成與輸入參考同頻的信號。

在詳細解析PLL構建模塊后，我們將基于圖1的基本PLL方案描述典型應用及其實現差異，并提供PLL設置、關鍵參數選擇、性能表征與優化的實用技巧。最后概述PLL系統的不同噪聲特性與模型。

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PLL組成模塊

PLL系統根據應用場景處理模擬或數字信號。本文重點討論用于先進研發實驗中模擬信號的數字實現PLL。我們研究通過數字信號處理實現相位檢測器、PID控制器和參考/受控振蕩器的情況。

特別是——其現場可編程門陣列(FPGA)分別通過模數轉換器(ADC)和數模轉換器(DAC)連接模擬輸入輸出信號。

相位檢測器

相位檢測器以兩個周期信號為輸入，生成與兩輸入信號相對相位差成正比的輸出信號。根據信號類型采用不同相位檢測技術：例如數字系統中處理方波時，相位檢測器由異或門加低通濾波器構成[3]。更通用的方法是采用雙相解調器，通過測量一個輸入相對于另一個的正交分量X和Y來獲取相位差（圖2）。

圖2. 使用鎖相放大器的雙相位解調進行相位檢測。同相分量X和正交分量Y通過兩個單獨的信號路徑獲得，以導出輸入信號的相對相位θ和信號幅度R。低通濾波器可以幫助抑制不需要的頻率分量和噪聲。

鎖相放大器是最常見的雙相解調儀器，其嵌入式可調低通濾波器不僅能降噪，還可調節PLL帶寬（圖2）。低通濾波器可以幫助清除施加到PID控制器的輸入信號中的不期望的頻譜分量和相位檢測器信號輸入中的噪聲。這些濾波器的截止頻率和相位延遲決定了整個PLL帶寬上限。低通濾波器及其對信噪比（SNR）和測量速度的影響的更詳細描述見參考文獻[4]。

使用鎖相放大器進行相位檢測的額外優勢是能同步測量信號幅度，這可應用于自動增益控制(AGC)等其他控制機制[5]。通過笛卡爾坐標到極坐標的轉換，可從測量的同相X和正交Y分量輕松導出幅度R和相位θ：

使用'atan2'而非'atan'可確保相位角覆蓋相位圓的全部四個象限（取決于正交分量的符號，如圖3所示）。

圖3. (a)極坐標表示信號分量對(x, y)的相位，覆蓋-180°至+180°的范圍，由atan2(y, x)表示。(b)根據x的符號，atan2(y, x)是一個雙值函數，與y/x的比值相對，返回到點(x, y)的直線與正x軸之間的角度。

當相位信號變化速度相對于系統采樣率足夠慢時，象限跳變導致的不連續性可在數字域輕松檢測和解決。這種"相位展開"功能將可用相位值空間擴展到原始區間的多倍（圖4）。蘇黎世儀器鎖相放大器支持高達±1024π的相位捕獲范圍，例如在多波長距離的光學干涉儀穩定中就需要這樣的范圍[6]。

圖4.（a）由用作相位檢測器的鎖相放大器測量的相位。（b）展開的相位，表明實際相位和測量相位之間存在線性關系。

PID控制器

PID控制器接收來自相位檢測器的相位差信號，減去用戶定義的設定值后生成誤差信號e(t)。如圖5所示，通過對誤差信號施加比例、積分和微分運算產生反饋信號。因此最終反饋信號u(t)由下式給出：

其中K0為偏移值，Kp、Ki和Kp分別為P、I、D系數。多數實際應用中，僅使用比例P和積分I組件即可實現足夠優良的穩定性能。雖然微分項可進一步減小誤差信號均值偏差，但會通過增強誤差信號高頻分量引入不穩定性。附加低通濾波器可通過抑制高頻增益來維持穩定運行。PLL速度由閉環系統帶寬表征。調節控制環路帶寬時需考慮：

1. 最小化誤差信號均值偏差通常需要優化PID參數以實現最大反饋帶寬和增益。蘇黎世儀器PLL配備的自動調諧功能可幫助用戶快速找到最佳工作點。

2. 高穩定性和大捕獲范圍有時比誤差信號零偏更重要。通過刻意采用較弱較慢的反饋信號可增強抗干擾能力，但需人工調諧。

3. 由于只有環路濾波器帶寬內的輸入噪聲會轉移至受控振蕩器，有時需設定明確的濾波帶寬。蘇黎世儀器PLL的PID建議器可建模環路中所有組件，幫助用戶快速調節到所需帶寬。
   

圖5. PID控制器示意圖：從可調相位設定點中減去相位檢測器的相位信號，然后將結果通過三個不同的分支P、I和D，然后將得到的信號加到偏移量上。限制器有助于將范圍限制在有用的參數空間內。

另一個具有高實用價值的附加功能是可調輸出偏移，使PID控制器輸出能從默認位置啟動。設置反饋信號的上下限還能將控制操作限制在用戶定義的頻率范圍內，這在輸入信號含多頻成分或需避免外部設備損壞時特別有用。

振蕩器與頻率參考

鎖相環(PLL)中的受控振蕩器通常采用壓控振蕩器(VCO)或數控振蕩器(NCO)實現，二者分別通過模擬反饋和數字反饋進行頻率調節[7]。壓控振蕩器主要作為外部受控振蕩器使用，這類廣泛流通的有源元件可輸出固定幅度的正弦信號，其頻率則可通過模擬輸入電壓在一定范圍內調節。VCO的核心特性體現在頻率隨控制電壓的變化程度上，理想情況下應保持線性關系。與VCO不同，NCO始終能保證線性特性，并具備實時數字輸出頻率值的優勢，并且具有頻率計數功能。雖然產生可控周期信號的方法眾多，但就基本功能而言大多可歸為上述兩類。例如激光束與光學頻率梳產生的拍頻信號，通常在光電二極管輸出端形成射頻信號。當向激光器的調制輸入端施加反饋信號時，其光學頻率將隨電壓信號改變，進而導致光電二極管檢測到的頻率發生變化。若忽略所有光路信號，這種配置與使用VCO非常相似，可用于建立激光穩頻的系統。

使用蘇黎世儀器鎖相放大器時，相位檢測器的一個輸入始終來自內部數字振蕩器。這些FPGA實現的NCO可通過數字設定頻率值來調節，同時保證相位連續輸出。頻率調節的最高速率由FPGA時鐘或頻率寄存器的刷新速率決定。此速率遠高于控制閉環的最高帶寬。

依據PLL實施方案，內部NCO既可作為主導者、跟隨者，也可作為中介振蕩器。當數控振蕩器(NCO)跟蹤外部頻率參考源時，其頻率將通過PID控制器進行數字調節以追蹤參考信號。反之，若內部振蕩器為外部壓控振蕩器(VCO)提供頻率參考，則內部頻率保持固定值，而由PID控制器輸出反饋信號來調節外部VCO的頻率。如需鎖定兩個外部信號源，則需配置兩套PLL系統，并采用共用的內部NCO作為中間傳遞參數。

需要特別指出的是，寬頻段范圍內精確的周期信號生成對各種測試測量(T&M)應用至關重要。多數寬頻段T&M儀器采用基于PLL的頻率合成技術來產生頻率可調的周期信號。為兼具寬范圍精密頻率生成的靈活性以及高穩定性與準確性，PLL可整合高精度低相位噪聲振蕩器（如恒溫晶體振蕩器OCXO）與壓控振蕩器等可控振蕩器的優勢特性。具體實現方式是通過PLL將受控振蕩器頻率f與作為參考的OCXO頻率fREF進行分頻同步。

通過設置可調系數因子（如圖6所示，遵循f=(m/n)fREF關系式），可在保持OCXO參考頻率穩定（例如多數T&M儀器采用的10 MHz或100 MHz）的同時，通過數字調節m/n比值實現寬范圍頻率調諧。除頻率精度與穩定性外，PLL的具體實現方案還會影響相位噪聲、雜散邊帶和鎖定時間等關鍵指標，這些因素共同決定了生成信號的質量，進而影響整個頻率合成系統的性能表現。對于大多數數字信號處理儀器，該功能已內置集成，因此內部NCO信號可作為可靠的頻率基準源。

圖6. 示意圖顯示了具有擴展功能的PLL的構建塊，用于相位解包和分數頻率鎖定。除了輸出信號，許多應用還受益于中間信號，如誤差和反饋信號。

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應 用

鎖相環(PLL)的核心功能是實現兩個系統（通常體現為兩個振蕩器）的時基同步。在需要同步兩個或多個振蕩信號的應用場景中，PLL技術發揮著關鍵作用。雖然PLL在數字系統中被廣泛應用于抖動抑制、偏斜校正、頻率合成和時鐘恢復等操作，但本文將重點探討其在模擬信號領域的應用，具體包括以下三種典型配置方案：

1. 頻率跟蹤模式（如圖6所示）：通過PLL將外部信號源映射至內部振蕩器。

2. 諧振驅動模式（如圖9所示）：利用PLL驅動時變器件諧振。

3. 振蕩器控制模式（如圖10所示）：采用PLL為外部可變頻率源提供模擬反饋。

頻率跟蹤

在鎖相放大器、傳輸系統和嵌入式系統的廣泛應用中，相干信號檢測需要實現信號源與檢測器的同步。如圖6所示，頻率跟蹤系統的基本原理是通過接收外部參考信號，并將其頻率特征映射至系統內部振蕩器。典型應用案例是采用外參考的鎖相放大器實現零差檢測。為準確還原輸入信號的幅值和相位，鎖相放大器需要信號發生器提供外參考信號（例如光學斬波器）來確定測量頻率。此時，鎖相放大器需將其內部振蕩器鎖定至該外參考頻率，以實現對目標信號的相干檢測。這一過程通常采用類似圖6的PLL配置完成。雖然大多數情況下PLL的中心頻率和帶寬可自動匹配，但當存在特定帶寬要求或頻譜包含多分量時，則需要手動調整PLL參數以確保精確的頻率跟蹤。通過設定明確的帶寬將外參考信號映射至內部振蕩器，可在跟蹤頻率上獲得無抖動和雜散的純凈信號。這一特性特別有利于需要頻譜濾波的應用——通過有意設置較低的閉環帶寬，可有效抑制外參考信號中的噪聲成分。

全數字實現的另一優勢是可通過頻率倍頻/分頻生成諧波和分數倍參考信號，且不會損失信號質量。例如采用分數倍參考頻率進行解調，可在同一外參考下實現更多測量方案（如諧波葉片輪光學斬波）。

圖6所示PLL配置的另一重要應用是載波恢復。在傳輸系統中，相干解調要求接收端獲知載波頻率。由于收發端距離導致無法共享時鐘源，必須依靠PLL鎖定發射端載波才能實現完美同步。多數通信系統除調制信號外還會發送純音導頻供接收端PLL鎖定。若無PLL載波恢復功能，大多數收發系統將無法實現相干通信。當無導頻或調制信號抑制載波時，則需采用改進型PLL配置（如Costas環[8]）來提取載頻。同理，當鎖相放大器缺乏明確外參考時，若信號質量允許，可將內部振蕩器直接鎖定測量信號本身。這種"自動參考"配置僅能提取信號幅值信息，無法獲取相位數據。

頻率提取、濾波與計數

與前述應用類似，鎖相環(PLL)還能從含多頻成分的信號中提取特定頻率分量（見圖7）。啟動PLL時，需先將可變源調至目標頻率附近，從而將正確的頻譜分量轉移至PLL內部振蕩器。該方法能高效靈活地濾除特定頻譜成分，實現跟蹤監測，并作為純凈信號供系統其他模塊復用。由于對內部數控振蕩器(NCO)采用數字反饋，可實現高速率的瞬時頻率跟蹤記錄，從而額外提供頻率計數功能。

調頻(FM)解調

調頻技術通過載波頻率變化編碼信息信號，因其抗幅度噪聲干擾的優異特性，在模擬和數字系統中廣泛應用。FM系統中，載波的瞬時頻率隨信息信號時變，因此需要頻率跟蹤器解調載波并提取信息。在各種FM解調方案中，PLL以低失真度和弱幅噪敏感性脫穎而出。

如圖7所示，基于PLL的FM解調器結構簡明，無需改變基礎PLL配置。當載波未調制時，受控振蕩器的反饋信號處于中值范圍以產生基準載頻；當調制改變載頻時，環路濾波器通過調節振蕩器反饋電壓實現頻率跟蹤，使閉環系統保持鎖定狀態——即振蕩信號始終跟隨接收FM信號的相位變化。此時受控振蕩器的反饋信號與載波頻偏成正比，經放大后即可作為解調信號輸出至后續處理單元。

圖7. 基于PLL的FM解調器原理圖，其解調輸出與施加至受控振蕩器的反饋信號成正比。

設計PLL型FM解調器時，首要考量是由PLL閉環帶寬決定的解調帶寬。該帶寬不僅決定了信號傳輸帶寬，更直接制約著通信信道單位時間內可傳輸的最大信息量。因此，相位檢測器與PID控制器必須具備足夠快的響應速度，以覆蓋FM信號所需的工作帶寬。此外，采用具有高度線性響應特性的振蕩器至關重要——這能最大限度降低解調信號失真，確保解調過程保持最佳線性度。具體而言，當選用壓控振蕩器(VCO)作為受控振蕩器時，其電壓-頻率轉換曲線在FM信號接收頻段內必須盡可能保持線性。

諧振驅動

以受控相位和頻率驅動器件在諸多應用中具有關鍵作用，例如原子力顯微鏡（AFM）和微機電/納機電系統（MEMS/NEMS）。在此類應用中，系統某部分表現為具有洛倫茲型幅頻特性和S型相頻特性的諧振器，如圖8所示（展示了諧振頻率為1.84 MHz的諧振器的波特幅頻和相頻特性曲線）。通過在諧振點驅動器件，可以獲得諧振增強效應并使測量響應線性化。通常，這類系統的諧振頻率會隨溫度、作用力等物理量變化。因此，要在固定相位下驅動諧振器，就必須根據環境參數引起的諧振頻率變化來調整信號頻率。采用鎖相環（PLL）控制驅動頻率，使諧振器輸出相位保持在用戶設定點，即可實現這種諧振驅動。圖9展示了PLL控制諧振驅動的框圖，其中振蕩器同時為諧振器提供驅動信號，為相位檢測器提供參考信號。PLL確保器件即使在其諧振頻率隨時間變化時，也能持續工作在相同的工作點。

圖8.（a）由蘇黎世儀器鎖定放大器的頻率響應分析儀測量的晶體諧振器的波特幅度和（b）相位圖。

PID控制器將相位檢測器輸出的誤差信號轉換為振蕩器輸入的控制信號，根據諧振器響應的變化來調節信號頻率。

圖9. 通過PLL對諧振器進行閉環控制的示意圖。諧振器與儀器一起形成PLL系統，其中受控振蕩器通過保持相對相位恒定來跟隨變化的諧振頻率。

以AFM懸臂梁為例，其音叉諧振器通過諧振頻率的偏移來測量樣品表面施加的力場。要測量這種頻率偏移從而表征表面形貌，就需要PLL鎖定懸臂梁的諧振頻率。此時PLL的誤差信號即代表樣品表面特征。另一個典型示例是MEMS陀螺儀和加速度計等慣性測量系統[5]。必須使這類系統的振動質量塊始終工作在諧振狀態，而不受其檢測到的旋轉運動影響。由于旋轉會改變諧振頻率，PLL對于傳感器在變化諧振頻率下的穩定驅動至關重要。PLL在諧振系統控制中的應用還包括泵浦-探測、離子阱和參量反饋冷卻等實驗，其中PLL會經過特殊改進以滿足特定應用需求。例如在參量反饋冷卻[9]中，就需要在諧振頻率的二次諧波處對系統進行反相位驅動。

振蕩器控制

如前所述，為簡化分析，我們將所有待控制的外部振蕩器建模為壓控振蕩器(VCO)。在圖10所示的PLL配置中，內部振蕩器為相位檢測器提供參考信號，用于測量外部振蕩器相對于該參考的相位。PID控制器將測量得到的相位差轉換為反饋信號，并施加至外部VCO以調節其輸出頻率。通過這種方式，可以將穩定內部數控振蕩器(NCO)的時基特性映射至外部系統。相位檢測器的頻譜濾波功能，結合模擬電壓信號的可編程輸出限幅器，即使在失鎖后重新鎖定的情況下，也能確保系統在目標頻率下穩定工作。此外，該系統不會在定義的可靠工作安全區之外運行，即使積分器進入飽和狀態也能保證穩定操作。

圖10. 使用鎖相環基于參考振蕩器控制VCO的頻率。

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建立鎖相環(PLL)

以下步驟提供了成功閉合反饋環路并使PLL工作的系統方法：

1. 獲取系統的開環響應。

2. 找到一組粗略且保守的PID參數來啟動環路。

3. 調整PID參數以優化信噪比(SNR)、速度或魯棒性。

尋找合適的初始PID參數和啟動條件可能具有挑戰性。蘇黎世儀器的控制軟件LabOne?為這三個步驟提供了有效工具，使PLL啟動和優化這一耗時過程盡可能高效簡單。第一步需要獲取被測設備(DUT)的開環響應，這可以是諧振器的頻譜響應，或是顯示VCO調諧電壓與頻率關系的曲線。LabOne的掃頻模塊提供了獲取系統開環響應所需的所有功能，它可以掃描所施加信號的頻率、相位、幅度和偏置，并采集測量結果。此外，集成的數學工具如曲線擬合、跟蹤、峰谷查找等，可幫助用戶提取系統特性(如品質因數、增益和斜率)，這些是正確調諧PID控制器所必需的。

一旦獲知系統響應，就可以通過考慮相位檢測單元中使用的低通濾波器特性以及各環節引入的系統延遲，來設定特定的目標帶寬。

LabOne提供的PID建議器采用優化算法來調諧PID控制器，并確定給定PLL目標帶寬所需的濾波器設置。該建議器會考慮硬件的所有物理延遲和增益，還包含多種數學模型來考慮連接設備的傳遞函數。選擇器件模型(無論是內部PLL、外部諧振器還是VCO型配置)后，建議器會運行算法計算P、I和D參數，獲取濾波器特性以及相位裕度和實際帶寬。它還會顯示各種時域和頻域圖形，包括波特幅頻和相頻圖，以及整個系統各入口點的階躍響應，這些圖形展示了所設計PLL的工作速度和穩定性。

將PID建議器獲得的參數設置應用到儀器并啟用PID控制器，應該能成功閉合PLL。使用LabOne的繪圖工具，可以持續監控PID誤差和輸出信號，同時調整PID設置并觀察其對PLL性能的影響。除了手動調整PID參數外，LabOne中PID控制器的自動調諧功能可以自動修改PID設置以提升PLL性能。圖11顯示了LabOne用戶界面的PID/PLL選項卡，其中所有設計、優化和運行PLL所需的工具都以用戶友好的網頁環境提供。

圖11. LabOne用戶界面的PLL/PID控制器選項卡，顯示輸入、輸出、相位解包和PID參數（左）、PID建議器、調諧器和DUT模型（中），以及最終閉環系統的階躍響應（右）。

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PLL中的噪聲

鎖相環(PLL)的模擬輸出是一個具有固定幅度但頻率和相位隨設定點或參考信號變化的正弦信號。在設定點固定的理想PLL中，輸出信號的頻率和相位應該是時不變的。然而，由于實際系統中的噪聲，PLL會遭受相位和頻率波動的影響。相位波動可以用一個標準差為σφ的零均值隨機過程φ(t)來建模。因此，設定點固定的PLL輸出可以表示為以下載頻為fc(Hz)、相位為ψ(rad)的正弦信號：

其中A是固定幅度。相位噪聲最好用其功率譜密度(PSD)Sφ(f)表示，這是通過對φ(t)的自相關進行傅里葉變換得到的。相位噪聲PSD顯示了在偏離載頻fc的偏移頻率f處，1 Hz單位帶寬內存在的噪聲功率。其單位是rad2/Hz；然而在許多應用中，它也以相對于載波功率的dBc/Hz表示。這里我們解釋如何用不同單位表示相位噪聲。IEEE標準[10]將Sφ(f)定義為相位的單邊(雙邊帶或DSB)譜密度(單位rad2/Hz)，并引入雙邊(單邊帶或SSB)譜密度Lφ(f)作為以dBc/Hz表示相位噪聲的標準方法：

因此，數據手冊中提供的相位噪聲PSD總是比實際單邊譜低3 dB；在基于譜密度計算噪聲功率和時域抖動時需要特別注意。

換句話說，測量帶寬δf內的相位噪聲功率σφ2(單位rad2)可以通過以下兩個積分之一獲得：

(5)

例如，在某個偏移頻率附近具有-120 dBc/Hz恒定SSB相位噪聲的PLL，在該偏移頻率附近5 Hz測量帶寬導致的相位波動為。

根據頻率和相位的基本關系，PLL輸出的頻率波動ν(t)(單位Hz)可以通過其相位噪聲用以下表達式得到：

(6)

與相位噪聲PSD類似，我們可以將頻率噪聲的功率譜密度定義為其自相關的傅里葉變換。頻率噪聲PSD記作Sν(f)，單位是Hz2/Hz，可以通過相位噪聲PSD用下面的等式得到：

(7)

根據應用需求，可以關注相位或頻率噪聲；使用公式7可以實現將一種PSD轉換為另一種。

冪律模型

描述相位和頻率噪聲功率譜密度的一種啟發式方法是使用如下冪律函數[11]:

(8)

上述表達式中的每一項對應不同類型或顏色的噪聲。例如，b1表示閃爍相位噪聲在譜密度中的貢獻，其特征斜率為-10 dB/十倍頻程；而b2對應布朗相位噪聲，其噪聲譜斜率為-20 dB/十倍頻程。根據公式7，頻率噪聲譜可以用如下冪律函數描述：

(9)

表1. 各種類型的相位和頻率噪聲及其對噪聲頻譜的貢獻

表1展示了構成PLL整體噪聲譜密度的不同顏色相位和頻率噪聲。每種顏色決定了譜線在對數坐標上的斜率。實際上，表中的fi項對應譜密度中斜率為10i dB/十倍頻程的噪聲顏色。圖12和圖13展示了一個PLL控制振蕩器的相位和頻率噪聲譜。根據PLL系統的組成元件，在特定頻率范圍內可能以某一種噪聲顏色為主導，這可以從該頻率范圍內譜曲線的斜率來判斷。

圖12. 相位噪聲譜密度和不同噪聲顏色的貢獻。

例如，在圖12所示案例中，對于1 kHz以上的頻率，相位噪聲幾乎是白噪聲，因為在該頻率范圍內頻譜曲線近似平坦。作為頻域分析工具，相位噪聲的冪律描述與阿倫方差或阿倫偏差緊密相關，后者是分析振蕩器噪聲特性的時域工具。通過測量頻譜或阿倫方差，我們可以輕松獲得另一個域的表示，從而在時域和頻域提供完整的相位和頻率噪聲描述[11]。

圖13. 頻率噪聲譜密度和不同噪聲顏色的貢獻。

Leeson效應

諧振跟蹤中一個常見場景是由PLL驅動的諧振器，其VCO的白相位噪聲占主導地位。因此，我們預期會出現f2量級的頻率噪聲。然而，除了這種紫色頻率噪聲外，我們還能觀察到一個可以用Leeson效應[12]解釋的白頻率噪聲項。假設一個諧振頻率為f0、品質因數為Q的諧振器由PLL的VCO驅動。根據Leeson效應，諧振器輸出端的相位噪聲Sφ可以通過諧振器輸入端的VCO相位噪聲Sψ由以下表達式獲得[11]:

(10)

其中fL=f0/2Q稱為Leeson頻率。如果VCO具有b0的白相位噪聲，那么根據公式10，諧振器的相位噪聲包含一個b0的白噪聲項和一個b0fL2/f2的紅噪聲項。將公式7應用于諧振器相位噪聲，會產生包含兩項的頻率噪聲譜：一個b0f2的藍噪聲項和一個b0fL2的白噪聲項。圖14展示了當諧振器由具有白相位噪聲的VCO驅動時，其相位和頻率噪聲的頻譜。該圖清晰地顯示，對于高于諧振器Leeson頻率(本例中fL=20 Hz)的頻率，主導噪聲來自VCO；相比之下，對于低于fL的頻率，諧振器會對噪聲譜做出貢獻并改變噪聲顏色。

圖14.（a）由具有白相位噪聲（紅線）的受控振蕩器驅動的Leeson頻率為20 Hz的諧振器（藍線）的相位噪聲。（b）諧振器的頻率噪聲。

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結 論

鎖相環作為相位和/或頻率跟蹤和同步的重要組成部分，廣泛應用于物理學、電子學、光子學和通信領域。PLL包括三個主要組件：相位檢測器、PID控制器和受控振蕩器。這些構建塊中的每一個都有助于整個系統的整體響應。

最常見的PLL應用可以通過以下三種主要配置之一來實現：頻率跟蹤、諧振驅動和振蕩器控制。基于FPGA的模擬信號，如蘇黎世儀器鎖相放大器提供的，提供閉環頻率和相位控制，具有相位展開和自動調諧功能等集成功能，以及用戶友好的工具，包括PID建議器和參數掃描器。

參考文獻

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