方法比結果更重要——七年級數學操作“穩定狀態”

方法比結果更重要

七年級數學操作“穩定狀態”

剛剛從小學步入初中，很多學習習慣需要進行調整，方法要修改，小學階段允許不求甚解，初中可不行，知其然，更要知其所以然，學生在面對數學操作類活動的時候，經驗很重要，但歸納經驗，形成數學思維更重要，我們追求的不僅是一個結果，更要學會數學方法。

題目

現有四個正整數分布在正方形上，規定一次操作為：將相鄰的兩個數作差再取絕對值，圖1是小歡兩次操作的示意圖：

(1)圖2是兩次操作的過程，請將空缺的數補全：

(2)在經過若干次操作后，如果這4個整數最終都變為0，我們就稱其進入了“穩定狀態”，請將2，4，6，8以某種順序排列在圖3所示的正方形上，通過若干次操作，使其進入“穩定狀態”，請畫圖呈現操作次數最少的過程；

(3)1，2，4，m這4個正整數以如圖4的方式排列在正方形上，如果通過三次操作進入“穩定狀態”，請直接寫出所有滿足條件的m值.

解析：

01

(1)先理解每一步操作所需要的數學運算，如下圖：

所以這個小題就很簡單了，結果如下：

02

(2)理解“穩定狀態”，我們借助上題的操作，繼續下去，如下圖：

會發現在上個小題中，經過3次操作，結果就是“穩定狀態”，這需要我們研究一下，怎樣才會進入“穩定狀態”，從倒數第二次操作的結果來看，正方形周圍的4個數相等；從倒數第三次操作結果來看，相鄰兩個數的差相等；

有了以上操作活動經驗，再來看第2小題，2，4，6，8這四個數，每相鄰兩個數相差2，但要注意最小數和最大數之間相差為6，如果按順序排列，我們可以嘗試下，看行不行，如下圖：

總共進行了5次操作，經驗告訴我們，這并不是次數最少的操作，原因在于按這四個數大小順序排列，會出現一個較大的差值，即2和8之間，而“穩定狀態”要求相鄰兩個數的差盡可能相等，這樣才能保證最后兩次操作后進入“穩定狀態”，從穩定兩個字也能發現，需要穩定，不要出現過大的差值，基于這個認知，我們調整這四個數在正方形邊上的位置，如下圖：

將2和8分別旋轉在正方形的對邊上，即可保證相鄰兩數差的絕對值盡可能接近，于是后兩次操作就進入了“穩定狀態”；

03

(3)不妨按操作進行，只不過結果用含m的代數式表示，如下圖：

觀察第1次操作后的結果，已知2和3作差的絕對值是1，則我們需要讓3和|1-m|作差的絕對值結果也是1，2和|2-m|作差的絕對值結果也是1，而|1-m|和|2-m|作差的絕對值結果是1；

因此可得|1-m|=2,|2-m|=3，又由于m是正整數，所以分別求出m=3或5.

解題思考

學生在解這道題的時候，我留意觀察了他們的草稿紙，幾乎都在進行窮舉，因為在第2小題過程中，他們先嘗試過按順序，再調整之后成功得到了結果，所以在第3小題時，他們也打算用同樣的方式，去蒙下運氣，有幾個運氣不錯的恰好得到了結果，運氣不佳的則還在換數嘗試中；

這并不是我想要的數學活動，挨個試，這種很笨的方式下，學生的數學思維是得不到鍛煉的，必須引導他們去尋找其中的規律，所以在第2小題結束之后，不急著進入第3小題的操作，而是復盤，為什么2，4，6，8這幾個數要這樣排列？在經過數分鐘的討論之后，學生得到了那兩條關鍵經驗，再進入到第3小題，用字母來表示結果之后，整個操作才有了數學味道。

七年級數學操作中，作為教師，應該多觀察學生的操作過程，結果不重要，怎樣得到的很重要，如果僅以結果導向數學活動，容易讓學生生成錯誤的經驗，這種經驗嚴重依賴試題匹配度，一旦題目條件不太像，或者圖形位置換了，學生立刻抓瞎，而教師如果不專業，試圖以大量類似題型進行所謂變式訓練，會更加重這些錯誤經驗的積累，長久下去，就會出現我們經常見到的現象“一講就會，一做就錯”，為什么？因為學生始終沒有掌握方法，只是記住了結果，然后用結果去碰死耗子。

數學操作，重在操作，重在過程，不要只看重結果。