四道函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算方法步驟舉例(1)

內(nèi)容目錄：

1.y=(4x+cosx2)3的導(dǎo)數(shù)計算

2.3y=ln(x2-y2)導(dǎo)數(shù)計算

3.函數(shù)y=4√[xsin(54x+30)]的一階導(dǎo)數(shù)計算

4.函數(shù)y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)的導(dǎo)數(shù)計算

具體內(nèi)容：

1.y=(4x+cosx2)3的導(dǎo)數(shù)計算

主要內(nèi)容：

本文通過函數(shù)的鏈式求導(dǎo)和取對數(shù)求導(dǎo)方法，介紹多種函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=(4x+cosx2)3的導(dǎo)數(shù)計算主要步驟。

鏈式求導(dǎo)法則

y=(4x+cosx2)3,則有：

dy/dx=3(4x+cosx2)2*(4x+cosx2)',即：

dy/dx=3(4x+cosx2)2*(4-sinx2*2*x).

則：dy/dx=3(4x+cosx2)2*(4-2x*sinx2)。

取對數(shù)求導(dǎo)方法：

因為y=(4x+cosx2)3,兩邊取自然對數(shù)有：

lny=3ln(4x+cosx2),再對方程兩邊同時對x求導(dǎo)，有：

y''/y=3(4x+cosx2)'/(4x+cosx2),

y'/y=3(4-2x*sinx2)/(4x+cosx2),

y'=3(4x+cosx2)3*(4-2x*sinx2)/(4x+cosx2),

所以：y'=3(4x+cosx2)2*(4-2x*sinx2)。

本題函數(shù)的復(fù)合

本題由函數(shù)y?=4x(一次函數(shù)，也為正比例函數(shù))，y?=x2（冪函數(shù)）,y?=cosy?（三角函數(shù)，也為正弦函數(shù)）,y?=y?+y?（兩個函數(shù)的和函數(shù)）,y=y?3（冪函數(shù)）復(fù)合而成。

知識拓展：

導(dǎo)數(shù),也稱之為導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的局部性質(zhì)，其幾何意義就是曲線上該點切線的斜率。

函數(shù)求導(dǎo)，實質(zhì)上就是一個求極限的過程，導(dǎo)數(shù)的四則法則也來源于極限的四則運算法則。反之，已知導(dǎo)函數(shù)，也可以反過來求原來的函數(shù)，此時即為求不定積分計算。

2.3y=ln(x2-y2)導(dǎo)數(shù)計算

主要內(nèi)容：

本文通過隱函數(shù)的求導(dǎo)法則及對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)法，介紹計算隱函數(shù)3y=ln(x2-y2)導(dǎo)數(shù)的計算主要步驟。

導(dǎo)數(shù)公式法：

3y=ln(x2-y2),兩邊同時對x求導(dǎo)有：

3dy=(2xdx-2y*dy)/(x2-y2),

3(x2-y2)dy=2xdx-2y*dy

[3(x2-y2)+2y]dy=2xdx

dy/dx=2x/[3(x2+y2)+2y].

構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)法

設(shè)F(x,y)=3y-ln(x2-y2),

則F(x,y)對x求導(dǎo)有：

F'x=-2x/(x2-y2),

進一步F(x,y)對y求導(dǎo)有：

F'y=3+2y/(x2-y2)，所以有：

dy/dx=-F'x/F'y

=[2x/(x2-y2)]/[3+2y/(x2-y2)]

=2x/[3(x2+y2)+2y]。

3.函數(shù)y=4√[xsin(54x+30)]的一階導(dǎo)數(shù)計算

主要內(nèi)容：

本文通過鏈式求導(dǎo)、取對數(shù)求導(dǎo)等方法，以及冪函數(shù)、正弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)乘積求導(dǎo)法則，介紹計算函數(shù)y=4√[xsin(54x+30)]一階導(dǎo)數(shù)的主要步驟。

主要步驟：

※.鏈式求導(dǎo)法

因為y=4√[xsin(54x+30)]=[xsin(54x+30)]^(1/4)，對x求導(dǎo)，有：

dy/dx=(1/4)*[xsin(54x+30)]^(1/4-1)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)].

=(1/4)*[xsin(54x+30)]^(-3/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)].

=(1/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/4√[xsin(54x+30)]^3。

※.取對數(shù)求導(dǎo)

y=4√[xsin(54x+30)]，兩邊同時取對數(shù)，有

lny=ln4√[xsin(54x+30)]=(1/4)[lnx+lnsin(54x+30)],

對方程兩邊同時求導(dǎo)，則：

y'/y=(1/4)[1/x+54cos(54x+30)/sin(54x+30)],

即：y'=(1/4)*y*[1/x+54cos(54x+30)/sin(54x+30)],

y'=(1/4)*y*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/[xsin(54x+30)],所以：

y'=(1/4)*4√[xsin(54x+30)]*

[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/[xsin(54x+30)],

進一步化簡可有：

y'=(1/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/4√[xsin(54x+30)]^3。

4.函數(shù)y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)的導(dǎo)數(shù)計算

主要內(nèi)容：

本文通過取對數(shù)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)法，介紹五個多項式乘積類型函數(shù)y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)導(dǎo)數(shù)計算的主要步驟。

主要步驟：

解：對已知方程取對數(shù)，默認符合對數(shù)定義要求，此時有：

lny=ln(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8),

即：lny=ln(2x+19)+ln(5x+20)+ln(30x+20)+ln(31x+24)+ln(28x-8),

再對上述方程兩邊同時對x求導(dǎo)，有：

y'/y=[ln(2x+19)]'+[ln(5x+20)]'+[ln(30x+20)]'+[ln(31x+24)]'+[ln(28x-8)]',

進一步求導(dǎo)有：

y '/y=2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8),

所以：

y'=dy/dx=y*[2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8)],綜合可知：

y'=dy/dx=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)*[2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8)]。

=(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(30x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(5x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)。